高二上学期期末数学复习宝典

融安高中高二数学 1 高二数学复习宝典 必看资料高二数学复习宝典 必看资料 不等式不等式 基本概念 公式复习宝典基本概念 公式复习宝典 一 不等式一 不等式 1 不等式性质 不等式性质 1 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 若 则 ab cd acbd 若 则 但同向不等式不可以相减 ab cd acbd 2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘左右同正不等式 同向的不等式可以相乘 但不能相除 若 则0 0abcd acbd 异向不等式可以相除异向不等式可以相除 但不能相乘 若 则 0 0abcd ab cd 3 左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方 若 则或 0ab nn ab nn ab 4 倒数法则倒数法则 若 则 若 则 0ab ab 11 ab 0ab ab 11 ab 2 2 作差法比较作差法比较不等式大小不等式大小 步骤 作差 变形 判断符号 关键是第二步 通过因式分解 通分 配方等将差式变形为积 商 或平方和的形式 判断差式与 0 的大小 3 3 证明不等式的方法 证明不等式的方法 比较法 分析法和综合法 1 比较法的步骤是 差 商 变形 分解因式 配方 通分等 判断符号 下结论 2 分析法 由结论到条件 优点是思路自然 容易掌握 3 综合法 由条件到结论 某些证明过的不等式 结论或已知条件 通常从均值不等式定理出发 关键是如何使用均值不等式 怎样对已知等式进行适当的变形 证明问题时 分析法与综合法常结合使用 练习 1 若 a b 0 则下列式子 a 1 b 2 a b ab 中 正确的有 1 a b 11 ab A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如果 则的大小关系为 01 ba 22 1 1 ab ab 3 设且 则的大小关系为 RxxxBxA 2 21 234 1 xBA 4 若 则的取值范围为 的取值范围为 53 42 baba 3 b ba 2 5 证明下列不等式 1 已知 求证 Rba baabba 1 22 2 已知 求证 1 0 0 0 cbacba9 111 cba 二 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 融安高中高二数学 2 2 当且仅当 a b 时取 号 2 2 22 ba ba 三 均值不等式 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 1 条件条件 一正二定三等 和定积最大 积定和最小 2 2 定积或积定的常用方法 定积或积定的常用方法 1 添项 2 分离法 换元分离或取倒数分离 3 1 的整体代换 4 消元代换 5 构造不 等式 3 3 若均值不等式取不了等 用对勾函数的单调性解决 若均值不等式取不了等 用对勾函数的单调性解决 对勾函数的一般形式 0 0 ba x b axy 对勾函数图象 练习 1 已知 求的最大值 4 5 x 54 1 14 x xy 2 已知 求的最大值 2 1 0 x 21 xxy 3 已知 求的最大值 0 x 4 2 x x y 4 已知 求的最小值 2 x 42 96 2 x xx y 6 已知 求的最小值 1 91 0 yx yxyx 7 已知 求的取值范围 3 0 yxxyyxxy 8 已知 求的最大值 2 0 x 9 2 x x y 四 不等式的解法四 不等式的解法 1 1 分式 二次 高次不等式分式 二次 高次不等式 标根法 前提条件 分子分母中的最高次项系数为正 步骤 1 求根 分解成若干个一次因式的积 并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正 2 标根 将每一个一次因式的根标在数轴上 注意实心与空心 3 串根 从上到下 从右到左 奇穿偶不穿奇穿偶不穿 4 写出不等式的解集 注 注 解分式不等式时 注意移项使一边为 0 一般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去分母 2 2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 公式法 xgxfxgxgxf 次转化无需讨论的正负 xgxfxgxfxgxf 或 xg 2 平方法 两边非负 22 xgxfxgxf 3 零点分段法 含两个绝对值以上 edcxbax 令求出零点 零点将数轴分为 3 段 分段讨论 最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集0 0 dcxbax 4 数形结合法 利用绝对值的几何意义 表示数轴上点到点的距离 ax xa 练习 解下列不等式 融安高中高二数学 3 1 2 0 352 2 2 xx x 1 32 5 2 xx x 3 0 107 6 22 xxxx 4 5 3 9 2 xx 2 xx 6 7 34 2 xx 2 2 12 xx 3 3 含参不等式的解法 含参不等式的解法 分类讨论法 1 讨论最高次项的系数是否为 0 2 讨论两根的大小 3 讨论与 0 的关系 提醒 提醒 1 1 解不等式是求不等式的解集 最后务必有集合的形式表示 2 2 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值 3 解完之后要写上 综上 原不等式的解集是 练习 解下列含参不等式 1 2 0 43 2 xxa065 22 aaxx 3 4 0 2 2 xx ax 01 2 axx 4 不等式恒成立问题与存在性问题 有解 的区别不等式恒成立问题与存在性问题 有解 的区别 不等式恒成立和存在性是有明显区别的 以下充要条件应细心思考 甄别差异 恰当使用 等价转 化 切不可混为一团 1 不等式 f x k 在 xI 时恒成立 xI kxf max 2 不等式 f x k 在 xI 时恒成立 xI kxf min 4 不等式 f x k 在 xI 时有解 xI kxf max 解决不等式恒成立和存在性问题的基本策略常常是构作辅助函数 利用函数的单调性 最值 或上 下界 图象求解 基本方法包括 数形结合 分离参数等 练习 1 的取值范围 aaxxx恒成立 求实数 不等式对任意实数 21 2 若不等式的解集为非空集合 求实数的取值范围axx 3 4 a 3 若不等式在上恒成立 求实数的取值范围 01 2 xaxRa 4 若不等式在上恒成立 求实数的取值范围 01 2 axx 2 0 a 融安高中高二数学 4 直线与圆的方程直线与圆的方程 基本概念 公式复习宝典基本概念 公式复习宝典 一 直线一 直线 1 直线的两个特征量 直线的两个特征量 1 斜率 斜率 定义法 倾斜角 tan k 000 18090 90 0 不存在k k k 90 0 18090 0 900 0 00 00 斜率公式 当 斜率不存在 21 12 12 xx xx yy k 21 xx k 直线的方向向量 化为斜截式 m n knma bkxy 求直线方程时求直线方程时注意讨论是否存在 当斜率不存在时 直线垂直于轴kx 斜率的应用 斜率的应用 证明三点共线CBA BCAC kk 求分式函数的最值 看作动点与定点连线的斜率最值 ax by y yx ba 2 截距 截距 定义 定义 直线 与轴交点的横坐标或纵坐标 lyx轴或 求法 求法 令 求出 00 yx或xy或 求直线方程时求直线方程时注意讨论截距是否为 0 若截距为 0 直线过原点 练习 练习 1 三点在同一条直线上 求的值 2 5 3 4 3 2 k k 2 直线上两点 的方向向量为 1 l aBA2 2 1 1 l 6 2 a 1 求的值和直线的斜率 2 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的 2 倍 求直线的斜率 a 1 l 2 l 1 l 2 l 3 若直线在坐标轴上的截距等于在坐标轴上的截距 求实数 012 3 nymxl 1 lnm 2 直线的四种方程直线的四种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的纵截 ykx b l 1 m kxlaamyx 轴上的横截 在为直线 3 截距式 为直线的横 纵截 1 xy ab ab 0a b 4 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 3 待定系数法求直线方程 待定系数法求直线方程 选定直线的一种形式 已知点一般用点斜式 已知斜率或截距一般用斜截式 通过方程待定未知变量 练习 求下列直线方程 1 在轴上的截距是 倾斜角的正弦值是y5 5 3 2 经过点 且在两坐标轴上的截距相等 2 3 P 3 倾斜角为 且与坐标轴围成的面积为 1 4 4 过点 与轴的正半轴交于 A B 两点 且面积最小 2 3 Pyx AOB 4 平行和垂直平行和垂直 融安高中高二数学 5 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2不都为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 或 或 111 12 222 ABC ll ABC 0 0 1221 1221 CACA BABA 0 0 1221 1221 CBCB BABA 121212 0llA AB B 练习 1 已知两直线平行 求的值 023 04 1 2 21 ymxlymxla 2 已知两直线垂直 求的值 0 12 02 21 aayxalayaxla 5 角度角度 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 1 夹角公式 夹角公式 夹角范围 21 2 1 tan 1 kk k k 2 0 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 2 到角公式 到角公式 到到的角 的角 范围 1 l 2 l 0 当时 12 1k k 21 2 1 tan 1 kk k k 当直线时 直线 l1到 l2的角是 12 ll 2 练习 1 已知直线 经过点 且被两平行直线 截得的线段长l 1 3 P01 1 yxl06 2 yxl 为 5 求直线 的方程 l 2 一等腰三角形的底边所在直线 一腰所在直线 又另一腰所01 1 yxl012 2 yxl 在直线过点 求的直线方程 3 l 0 2 3 l 6 距离 距离 1 点到直线的距离 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 2 两平行线的距离 两平行线的距离 22 21 BA CC d 0 0 2211 CByAxlCByAxl直线 练习 1 已知两平行直线的距离为 求的值 0430186 myxyx与 5 2 m 2 已知正方形 ABCD 的中心为 其中一边所在直线方程为 求其他三 0 1 EAB013 yx 边所在直线方程 7 四种常用直线系方程 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中是待定的系数 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 定点的求法定点的求法 对变量取 2 个特值 联立方程求解 方程的解就是定点 k 2 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 ykxb 融安高中高二数学 6 与直线平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy C 3 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0BxAy 练习 1 已知直线02 1 ayxal 1 若 在坐标轴上的截距相等 求的值 2 若 不过第二象限 求的取值范围 lala 3 若 恒过一定点 求该定点坐标 l 2 已知直线 求直线的方程 01243 1 yxl 2 l 1 与平行 且过点 1 l 2 l 3 1 2 过两直线的交点 且与垂直 02042 yxyx和 1 l 2 l 3 已知 直线与线段相交 求实数的取值范围 2 3 3 2 BA01 kykxlABk 8 8 对称问题对称问题 1 点关于点对称 求点关于点的对称点 利用中点坐标公式 即 00 P xy baM yxP b yy a xx 2 2 0 0 2 点关于直线对称 点关于直线 不全为零 对称点 则 00 P xyl0 CByAxBA P x y 0 0 00 1 0 22 yyA xxB xxyy ABC 注 1 中点在对称直线上 方程 2 过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直 方程 3 直线关于直线对称 直线 关于直线对称0 1111 cybxal0 2222 cybxal0 3333 cybxal 法一 1 交点在这三条直线上 2 利用到角公式求斜率 法二 转化为点关于直线对称问题 即在取一特殊点 其对称点一定在上 1 l 2 l 注 1 两直线到对称直线距离相等 2 对称直线必过两条直线的交点 且对称直线为两直线夹角的角平分线 练习 1 已知光线通过 经直线反射 若反射光线通过点 求入射光线 4 2 A072 yx 8 5 B 和反射光线所在的直线方程 2 在中 已知 BC 边上的高所在的直线方程是 的平分线所在的直线方ABC 012 yxA 程为 若点 求点的坐标 0 y 2 1 BC 二 线性规划 二 线性规划 1 1 区域的画法 区域的画法 1 直线定界 注意虚 实 2 特殊点定域 1 0 0 1 0 0 2 2 线性规划求法 线性规划求法 1 1 平移法 平移法 画区域 令找截距的最值点 解方程求交点代入目标函数 0 0 byaxz平移直线 2 2 角点法 角点法 画区域 解方程求区域边界的交点 代入目标函数 融安高中高二数学 7 3 3 线性规划目标函数 线性规划目标函数的三种类型 的三种类型 z 1 Z 表示直线的纵截或纵截的相反数 byaxz byaxz 2 Z 表示可行域中的点与定点连线的斜率 ax by z yx ba 3 Z 表示可行域中的点与定点的距离 22 byaxz yx ba 练习 1 下面给出的四个点中 位于表示的平面区域内的点是 10 10 xy xy A 0 2 B 2 0 C 0 2 D 2 0 2 已知点和点在直线的两侧 则的取值范围是 1 3 6 4 023 ayxa A 24 7 B 7 24 C 7 24 D 24 7 3 若满足约束条件 则目标函数的最大值为 yx 12 1 0 yx yx yx yxz 5 4 若满足约束条件则的最大值为 xy 0 30 03 xy xy x 2zxy 5 若实数 x y 满足 则的取值范围是 10 0 2 xy x y y x 6 若实数 x y 满足 则的最小值是 033 042 022 yx yx yx 22 yxz 三 轨迹的求法 三 轨迹的求法 1 直接法 一个动点 步骤 建系设点列式代换化简 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 常用于求直线 圆 圆锥曲线的方程 3 代换法 两个动点 即未知动点随已知动点 在已知曲线 C 上运动 而动 yxP 00 yxQQ 步骤 设点与找出与的坐标关系 注意中点坐标公式和三角 yxP 00 yxQ yxP 00 yxQ 形重心公式的应用 将表示为的式子 再代入的曲线方程 00 y xyx Q 4 定义法 1 一个动点到两个定点的距离和 或差 是常数 则该动点轨迹一定是椭圆 或双曲线 2 一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离比是常数 当时是椭圆 当常数时是双曲线 当常数时是抛物线 10 常数1 1 练习 1 由动点向圆引两条切线 切点为 求动点的轨迹 P1 22 yxPBPA BA 0 60 APBP 2 直线与圆交于 A B 两点 求线段 AB 的垂直平分线的方程 0243 yx04 22 xyx 融安高中高二数学 8 3 设是椭圆上一个动点 为其上焦点 求中点的轨迹方程 P1 2 2 2 y xFPFM 4 若一动圆与两圆 M 和 N 都外切 求动圆圆心的轨迹08 22 yyx0128 22 yyx Q 5 点 P 与定点的距离和它到定直线的距离之比是 4 5 求点 P 的轨迹方程 0 4 F 4 25 x 四四 圆的方程圆的方程 1 1 圆的三种方程 圆的三种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 当时 方程表示一个圆 其中圆心 半径 22 4DEF 0 2 2 ED C 2 4 22 FED r 当时 方程表示一个点 04 22 FED 2 2 ED 当时 方程无图形 22 4DEF 0 注 常用配方法求圆心和半径及判断二次方程是否是圆的方程 3 圆的参数方程 常用于求与圆有关的最值问题 cos sin xar ybr 练习 方程表示圆的充要条件是 0524 22 mymxyx A B C D 1 4 1 m1 4 1 mm或 4 1 m1 m 2 2 点 直线 圆之间的位置关系 点 直线 圆之间的位置关系 1 1 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 圆心与点 P 的距离 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆内 点在圆上dr Pdr P rdP 2 2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 rd相离0 rd相切0 rd相交 其中 圆心到直线的距离 22 BA CBbAa d 3 3 两圆位置关系的判定方法 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 半径分别为 21 O O 21 r rdOO 21 交交交交交交4 21 rrd交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 练习 1 若直线与圆相交 则点 P a b 的位置是 1 byax1 22 yx A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 都有可能 2 已知点是圆内一点 直线是以为中点的弦所在的直线 直线 0 abbaM 222 ryx mM 融安高中高二数学 9 的方程是 则 l 2 rbyax A 且 与圆相交 B 且 与圆相切ml lml l C 且 与圆相离 D 且 与圆相离ml lml l 3 3 待定系数法求圆的方程待定系数法求圆的方程 1 已知圆过两点 A 3 1 B 1 3 且它的圆心在直线上 320 xy 2 求经过点 P 2 1 且与直线相切 圆心在直线上 10 xy 20 xy 3 一个圆与轴相切 圆心在直线上 且在直线截得的弦长为 x03 yxxy 72 4 4 圆的常见问题圆的常见问题 1 1 求切线方程 求切线方程 切点 A在圆上 则 00 xy 切线只有一条 其方程是利用圆心和 A 点的连线和切线垂直来求切线的斜率 过圆外一点的切线方程可设为 再利用圆心到直线的距离等于半径求 00 yyk xx k 这时必有两条切线 注意不要漏掉平行于 y 轴切线 即斜率不存在的直线 斜率为的切线方程设为 再利用圆心到直线的距离等于半径求 b 必有两条切kykxb 线 2 2 求弦长 求弦长 利用半径 半弦长 圆心到直线的距离之间的勾股关系 3 3 求切线长 求切线长 利用半径 切线长 到圆心的距离之间的勾股关系 4 4 中点弦问题 中点弦问题 利用中点与圆心的连线与弦垂直的斜率关系 5 5 和圆有关的最值问题 和圆有关的最值问题 1 转化为与圆心距离有关的最值问题 注意垂直和勾股关系的应用 2 利用圆的参数形式转化为函数最值 3 利用线性规划知识 4 数学结合 注 注 解决直线与圆的关系问题时 要充分发挥圆的平面几何性质的作用平面几何性质的作用 如半径 半弦长 弦心距构成 直角三角形 切线长定理 割线定理 弦切角定理等等 练习 1 自点发出的光线 射到轴上 被轴反射 其反射光线所在直线与圆 3 3 Alxx 相切 求光线 所在的直线方程 0744 22 yxyxl 2 若圆与圆 的公共弦的长为 则 22 4xy 22 260 xyay 0 a2 3 a 3 过点作圆的切线 则切线长为 1 4 P 22 4 6120 xyxy A 5 B C D 3510 4 已知圆内一点 则以为中点的弦所在直线方程为 01264 22 yxyx 2 4 AA A B C D 02 yx062 yx0642 yx0624 yx 5 已知直线与圆 则上各点到 的距离的最小值为 40l xy 22 112Cxy Cl 6 曲线与直线有两个交点时 实数 k 的取值范围是 22 4 1 22 xyx4 2 xky 融安高中高二数学 10 A B C 0 D 12 5 12 5 4 5 12 5 3 1 4 3 7 如果对圆上的任意一点 不等式恒成立 求的取值范围 1 1 22 yx yxP0 cyxc 圆锥曲线圆锥曲线 基本概念 公式基本概念 公式 一 基本概念及公式一 基本概念及公式 一一 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 1 1 椭圆的定义 椭圆的定义 1 1 第一定义 第一定义 到两焦点的距离之和是常数 即 22 2 21 caaMFMF 若小于 则这样的点不存在 若等于 则动点的轨迹是线段 a2 1 F 2 Fa2 1 F 2 F 1 F 2 F 2 2 第二定义 第二定义 到焦点和对应准线的距离比是常数 即e d MF 10 e 3 3 焦半径公式 焦半径公式 点椭圆上 是左 右焦点 则 00 yxP 21 F F 关键记得如何用第二定义推导而不是死记 01 exaMF 02 exaMF 注 注 若跟两焦点距离和有关用第一定义 若跟一个焦点和对应准线距离有关用第二定义 若跟焦点和准线距离且同时与椭圆上的点的坐标有关时用焦半径公式 练习 1 椭圆 22 1 92 xy 的左 右焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则到右准线距离为 P 2 已知椭圆内有一点 是椭圆的上焦点 在椭圆上求一点 则1 59 22 yx 1 1 P 2 FM 的最小值是 2 2 3 PFPA 3 已知点 A 2 y 是椭圆上的点 F 是其右焦点 求 AF 31 1216 22 yx 4 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若 3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 2 2 椭圆的方程 椭圆的方程 1 标准式 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b y a x 0 bax 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b x a y 0 bay 融安高中高二数学 11 2 一般式 0 0 1 22 BAByAx 3 参数式 为参数 cos sin xa yb 注 1 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到 所以1 2 2 2 2 b y a x 1sincos 22 椭圆参数方程的实质是三角代换 2 求椭圆方程常用定义法和待定系数法 练习 求下列椭圆方程 1 一焦点坐标为 且过点 0 4 3 5 P 2 长轴是短轴的 3 倍 且过点 0 3 3 过点 3 16 2 62 3 QP 3 3 焦点位置的判别 焦点位置的判别 哪个分母大焦点就在对应的轴上 即如果项的分母大于项的分母 则椭圆的焦点在轴上 反之 焦点在轴上 2 x 2 yxy 4 4 的关系的关系 长轴 短轴 焦距 cba 222 cba a2b2c2 5 5 焦点三角形 焦点三角形 面积或高 21F PF 1 第一定义 1 PF 2 PFa2 2 余弦定理 PF 2 4 PF cos 21 22 2 2 1 PF cPF 若焦点三角形是特殊的直角三角形 则直接用三角函数的定义解决 3 配方思想 PF 2 PF PF 21 2 21 2 2 2 1 PFPFPF 练习 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P在椭圆上 且 21 PFPF 21F PF 的面积为 9 则b 6 6 离心率或范围的求法 离心率或范围的求法 1 定义法 利用第一或者第二定义 2 构建和有关的齐次式 式子两边同除以的最高次 ca a 3 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 注意平面几何知识的应用 如解三角形 中位线定理 相似三角形 平行线段成比例等知识 练习 1 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 21 世纪教育网 2 直线 过椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的两顶点为 若原点到直线 的距离等于l0 ba 0 0 bBaAl 求椭圆的离心率 a 2 1 融安高中高二数学 12 3 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P 满足线 段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 二二 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 设椭圆方程 0 1 2 2 2 2 b y a x ab 1 范围 bybaxa 00 caPFcacaPFca 21 或 2 特殊点 长轴顶点 短轴顶点 焦点 0 a b 0 0 c 3 离心率 0 e 1 e 越大越扁 越小越圆 a c e 4 准线 焦点在轴上 焦点在轴上 c a x 2 x c a y 2 y 5 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 通径长 a b22 6 有关距离 一般不用距离公式处理 而是尽可能分两段相加或相减处理 三三 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1 1 双曲线的定义 双曲线的定义 1 1 第一定义 第一定义 到两焦点的距离之差的绝对值是常数 即 22 2 21 caaMFMF 若定义中只是距离的差则表示双曲线的其中一支 若 则这样的点不存在 a2 1 F 2 F 若 则动点的轨迹是以 为端点的两条射线 a2 1 F 2 F 1 F 2 F 2 2 第二定义 第二定义 到焦点和对应准线的距离比是常数 即e d MF 1 e 3 3 焦半径公式 焦半径公式 点双曲线右支上 是左 右焦点 则 00 yxP 21 F F 关键记得如何用第二定义推导而不是死记 aexMF 01 aexMF 02 注 注 若跟两焦点距离和有关用第一定义 若跟一个焦点和对应准线距离有关用第二定义 若跟焦点和准线距离且同时与双曲线上的点的坐标有关时用焦半径公式 练习 1 如果双曲线上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2 那么点 P 到 y 轴的距离是 1 24 22 yx A B C D 3 64 3 62 6232 2 若 是双曲线的焦点 过右焦的直线交双曲线右支于两点 1 F 2 F1 918 22 yx 2 FBA 则的周长是 1 AB 1 ABF 2 2 双曲线的方程双曲线的方程 1 标准式 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 bax 焦1 2 2 2 2 b x a y 0 0 ba 点在轴上 y 融安高中高二数学 13 2 一般式 0 1 22 ABByAx 3 渐近线式 若渐近线方程为 则双曲线可设为x a b y 0 2 2 2 2 mm b y a x 当时 焦点在轴上 当时 焦点在轴上 0 mx0 my 注 求双曲线方程常用定义法和待定系数法 练习 求下列双曲线方程 1 焦点坐标为 且过点 6 0 5 2 2 与椭圆有相同焦点 一渐近线为1 26 22 yx xy3 3 过点 3 24 4 9 5 4 渐近线为 过点xy 3 4 142 6 3 3 焦点位置的判别 焦点位置的判别 看二次项系数的正负 即项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 2 x 2 y 4 4 的关系的关系 cba 实轴 虚轴 焦距 222 bac a2b2c2 5 焦点三角形焦点三角形面积问题 的高度 21F PF 21F PF 1 第一定义 1 PF 2 PF a2 2 余弦定理 PF 2 4 PF cos 21 22 2 2 1 PF cPF 若焦点三角形是特殊的直角三角形 则直接用三角函数的定义解决 3 配方思想 PF 2 PF PF 21 2 21 2 2 2 1 PFPFPF 练习 若 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点在上 则到轴的距离PC 0 21 60 PFFPx 为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 6 6 离心率或范围的求法 离心率或范围的求法 1 定义法 利用第一或者第二定义 2 构建和有关的齐次式 式子两边同除以的最高次 ca a 3 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 注意平面几何知识的应用 如解三角形 中位线定理 相似三角形 平行线段成比例等知识 练习 1 设 1 F 2 F分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 F1AF2 90 且1 2 2 2 2 b y a x AF1 3 AF2 则双曲线离心率为 A B C D 2 5 2 10 2 15 5 2 双曲线 的左 右焦点分别是 过作倾斜角为的直线交 22 22 1 xy ab 0a 0b 12 FF 1 F30 双曲线右支于点 若垂直于轴 则双曲线的离心率为 M 2 MFx 融安高中高二数学 14 A B C D 632 3 3 3 已知双曲线 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲1 2 2 2 2 b y a x 0a 0b 线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 7 7 双曲线的方程与渐近线方程的关系 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 0 2 2 2 2 mm b y a x 练习 1 已知双曲线的一条渐近线方程为 则双曲线的离心率为 1 2 2 2 2 b y a x xy 3 4 A B C D 5 3 4 3 5 4 3 2 2 已知双曲线的两条渐近线的夹角为 则双曲线的离心率为 2 1 2 2 2 2 a y a x 3 A 2 B C D 3 2 6 3 2 3 3 四四 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 设双曲线方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 1 范围 axax 00 或caPFcaPF 21 或 2 特殊点 实轴顶点 虚轴顶点 焦点 0 a b 0 0 c 3 离心率 越大开口越阔 越小越窄 a c e a b 11 ee 4 渐近线 规律 对应成比例 轴上焦点在xx a b y 轴上焦点在yx b a y 渐近线斜率和离心率的关系 22 1 a b e 5 准线 焦点在轴上 焦点在轴上 c a x 2 x c a y 2 y 6 焦点到渐近线的距离为 b 7 通径 过焦点垂直于对称轴的弦通径长 a b22 8 有关距离 一般不用距离公式处理 而是尽可能分两段相加或相减处理 五五 抛物线 抛物线 1 1 抛物线的定义抛物线的定义 到一个定点和一条定直线的距离相等 即 1 ee d MF 融安高中高二数学 15 2 2 抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程的特点 1 顶点在原点 二次项的系数为 1 以一条坐标轴为对称轴 焦点在对称轴上 顶点到焦点的顶点到焦点的 距离等于顶点到准线距离 距离等于顶点到准线距离