大学文科数学1-1 极限ppt

微小的知识使人骄傲 丰富的知识是人谦虚 所以空心的禾穗高傲地仰头向天 而充实的禾穗则低头向着大地 向着他的母亲 欢迎同学们 学习 大学文科数学 课程 主讲 陈美蓉 cmrzl 理A314学会学习 学会生存 学会做事 学会合作 联合国教科文组织 引言 一 为什么文科生也要学习数学 二 大学文科数学的主要内容 三 如何学习大学文科数学 一 为什么文科生也要学习数学 数学是一种语言 一切科学的共同语言 严密性 精确性 数学是一把钥匙 一把打开科学大门的钥匙 科学素养 数学是一种工具 一种思维的工具 理性思维 数学是一门艺术 一门创造性艺术 美的熏陶 数学与音乐 任何周期性声音 乐音 都可表示为形如asinbx的简单正弦函数之和 小提琴奏出的声乐 数学与绘画 观念体系 光学体系 达 芬奇 欣赏我的作品的人 没有一个不是数学家 数学与语言 数理语言学 数学与历史 计量史学 二 大学文科数学的主要内容 理解数学的基本思想 加强数学思维的训练 数学素养 微积分 线性代数 随机数学 概率论 应用数学 数学规划 对策论 最优控制 数学史 数学家及数学分支介绍 1 微积分 近似逼近精确的思想 分而治之 化大为小 化难为易 各个击破的精神 由多到少 逐步降级的思想 以及在大规模问题中的规律程序化的重要性 2 线性代数 3 随机数学 4 应用举例 研究与揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 在相同条件下 重复同样的试验 所得结果不确定 以至于在实验之前无法预料哪个结果会出现 但是在大量重复实验中其结果又具有统计规律性 三 如何学习大学文科数学 基本思想 数学思维 理性精神 认识其重要性 培养浓厚的学习兴趣 与直观不符的一个悖论 经验和直觉尽管对数学十分重要 从某种方面来说 它甚至可以说是数学思想的重要来源 但是 直观也可能不正确 因此理论的建立必须要抛开直观 用一种逻辑的 理性的讨论把问题说清楚 学习一些具体内容 做习题是最好的学习方法之一 思考 分析 参考书 数学的思想 方法和应用 修订版 张顺燕主编 北京大学出版社 文科高等数学 华宣积等编 复旦大学出版社 教材 大学文科数学 张饴慈等编著 科学出版社 1极限 第一章微积分大意 2积分 4无穷级数 3导数 基本初等函数图形教学演示实验 1 区间 定义 介于某两个定数 点 之间的一切实数 点 称为区间 而那两个定数 点 称为这个区间的端点 开区间 闭区间 以a b为端点的区间 半开区间 无限区间 2 绝对值 数轴上点x到点a的距离为 3 邻域 其中 a称为邻域中心 称为邻域半径 去心 邻域 左 邻域 右 邻域 用微积分讨论问题时 往往要在x a点处研究某个 性质 但是又不能孤立地从a点着手 必须从a点附近 全面地看才能收效 邻域 以a为中心 0 为半径的一个开区间 称为点a的 邻域 记为 函数的两要素 4 函数 定义域 自变量 因变量 定义域 对应规律 5 函数的几种特性 定义 设函数 1 有界性 恒有 则称 说明 还可定义有上界 有下界 无界 在 a b 内为有界函数 任意给定 总是存在 否则称 在 a b 内为无界函数 有界函数必介于直线 与 之间 则称f x 则称 上的单调增函数 上的单调减函数 2 单调性 定义 设函数 且 在 在 单增和单减函数统称为单调函数 3 奇偶性 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 定义 设函数 在对称区间 上有定义 且满足 其图形对称于y轴 其图形对称于原点 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 6 基本初等函数 1 幂函数 此函数的定义域要由 来确定 基本初等函数图形教学演示实验 2 指数函数 它的定义域是整个实数 3 对数函数 4 三角函数 正割 余割 从现在开始角度用x表示 机动目录上页下页返回结束 正割函数 余割函数 常用的三角函数的公式 5 反三角函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 7 复合函数 可定义复合函数 二 函数的极限 三 极限的性质与运算 一 数列的极限 1 1极限 第一章微积分大意 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的 我国数学家刘徽 公元3世纪 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 割圆术 就是极限思想在几何学上的应用 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 1 割圆术 一 数列的极限 1极限 第一章 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示 刘徽割圆术教学演示实验 一尺之棰 日截其半 万世不竭 n天后截丈总长 2 截丈问题 注意 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法 已经成为微积分中的基本方法 3 观察下列数列的变化趋势 趋势不定 观察可见 的变化趋势只有两种 不是无限地接近 某个确定的常数 就是不接近于任何确定的常数 由此 得到数列极限的初步定义如下 数列极限教学演示实验 若当 时 一般项 无限地接近于 则称A为数列 的极限 或 称有极限的数列为收敛数列 无极限的数列为发散数列 若当 时 不接近于任何确定常数A 某个确定的常数A 数列 没有极限 数列极限的描述性定义 记作 则称 例如 而 无极限 数列极限的数学定义 语言 若数列 及常数A 具有下列关系 正整数N 当n N时 总有 即 则称该数列的极限为A 注意 1 不等式 刻画了 与A的无限接近 2 N与任意给定的正数 有关 举例说明 数列 当n无限增大时xn与2的距离 当n N时 总有 欲使 几何解释 由 取 只要 即从10001项起以后的所有点 与2的距离小于 即有 取 只要 即从101项起以后的所有点 与2的距离小于 即有 若 则称A是函数 的极限 记作 或 函数极限的描述性定义 二 函数的极限 类似数列的极限 也可以考虑函数 的极限 时 函数 与某个常数A 无限接近 在 若 函数 没有极限 则称函数是 发散的 函数极限教学演示实验 1 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 大于某一正数时有定义 若 则称常数 时的极限 几何解释 记作 直线y A为曲线 的水平渐近线 A为函数 直线y A仍是曲线y f x 的渐近线 两种特殊情况 当 时 有 当 时 有 几何意义 都有水平渐近线 如 单边极限 例如 2 自变量趋于有限值时函数的极限 定义2 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 当 时 有 则称常数A为函数 当 时的极限 或 若 记作 几何解释 左极限与右极限 当 时 有 右极限 当 时 有 结论 左极限 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 利用结论 因为 显然 所以 不存在 三 极限的性质与运算 考虑下列极限问题 不只是计算和逻辑推理 直觉与经验也很重要 可以推测 但是 仅有直觉与猜测也是不行的 需要证明 单调有界准则 递增 减 有上 下 界的数列是收敛的 证明略 证明 极限 证明 利用二项式公式 有 设 存在 两个重要极限教学演示实验 大 大 正 又 比较可知 记此极限为e e为自然无理数 其值为 即 有极限 又 根据性质1可知数列 若数列满足 且 对于函数也有类似的结论 夹逼准则 圆扇形AOB的面积 证明 当 即 时 所以 AOB的面积 AOD的面积 故 证明 实验演示 则有 若 注意 对于函数上述运算性质仍然成立 极限的四则运算法则 求下列函数的极限 作业P11 极限的性质与运算 2 奇 刘徽 约225