二次函数复习学科导学案.doc

中小学1对1课外辅导专家 知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a0) (1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0(0(0(0)的解集为或者是题型讲解 例1函数是单调函数的充要条件是（）A B C D解：函数的对称轴，函数是单调函数，故选A例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点和，又过点， ，例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或例4 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为例5设二次函数，已知不论，为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令 从而知 （2）由即， 又因为 （3） 当 由 解得 点评注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b （1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；证明（1）：f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 f(1)=a+b+c=0又abc3aa+b+c3c a0,c0由 =(ba)24a(cb)(b+a)24ac0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=,x1x2=,由题意，A1B1=x1x2=abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范围是（，2）例7是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x，都有xf(x) ” 解： a=c=,b=例8设f(x)是定义在-1，1上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当（1）求f(x)的表达式（2）对于任意解： （2）例9设函数f(x)=|xa|ax，其中0a1为常数（1）解不等式f(x)10a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 8两个常用的推论:， （ a, b 0且均不为1）9对数函数的性质：a10a0（转化法）(3) af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)题型讲解 例1 计算：（1）；（2）； （3）解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 例2 已知，求的值解：， ， 又， 例3 已知，且，求的值 解：由得：，即，； 同理可得，由 得 ，例4 设，且，求的最小值解：令 ， 由得， ，即， ， ，当时，例5 设、为正数，且满足 （1）求证： （2）若，求、的值证明：（1）左边；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，从而 例6 （1）若，则，从小到大依次为 ； （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） A B C D解：（1） （2）（3）取，知选例8 已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根证明：（1）设，则，；，且，即，函数在上为增函数；另法：，函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即， 当时,而由知 式不成立；当时，而式不成立综上所述，方程没有负数根例9已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧； （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明：（1）由得：，当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，当时，由（1）知，又，；当时，由（1）知，又，函数图象上任意两点连线的斜率都大于课内练习与训练二次函数学生练习 30分钟1设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ）(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值2函数f(x)=2x2-mx+3,当x(-,-1时是减函数，当x-1,+)时是增函数，则f(2)= 3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 _ ；至少有一根为零的充要条件 _ 4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是 5设方程x2-mx+1=0的两个根为,b,且01,1b2,则实数m的取值范围是 _ 6直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是 7已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是 8方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则m ;或m=6-2)在(0,1)内至少有一根，则m 9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围10已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x都成立，试求f(1-)的值12已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系：销售量g(t)与时间t满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0t40),tN),求这种商品日销售量的最大值14已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围 15若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一点c使f(c)0,求实数p的取值范围16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围17设 2sin2x+acosx13a对xR恒成立，求实数a的取值范围18在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b(ab),A=60,在AB,AD,CB,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0xb),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？19已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a0)在区间-3/2,2上的最大值为1，求实数a的值20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根，证明：()如果2，2，那么2a4+b且b4；()如果2a4+b且b4，那么2，221已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,f(x)1()证明:bl;()证明:当-1x1时,g(x)2;22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意实数x，都有f(x)-x0,并且x(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)23若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-20恒成立，求实数k的取值范围 24线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围指数函数对数函数学生练习 合，若，则，则运算可能是（ ） (A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法已知集合，则满足条件的映射的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时24时）体温的变化情况的图是 ( ) 时0612182437体温() 37体温()时06121824 37时06121824体温() 37时06121824体温()(A ) (B) (C) (D)定义两种运算：，则函数为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 ( )（A）（B）（C）（D）6如图，指出函数y=ax;y=bx;y=cx;y=dx的图象，则a,b,c,d的大小关系是Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dlogy30,则下列不等式恒成立的是 ()Ay1/3 B3xy C 31y 8已知函数f(x)=lg(axbx)(a,b为常数，a1b0),若x (1,+)时，f(x)0恒成立，则()Aab1 Bab1 Cab1 Da=b+19如图是对数函数y=logax的图象，已知a取值,4/3,3/5,1/10,则相应于, , , 的a值依次是 10已知y=loga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是 11已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C 试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_12设函数f(x)=lg,其中aR,如果当x(,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围13 a为何值时，关于x的方程2lgxlg(x1)=lga无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低005元，则可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15已知定义域为0，1的函数