高斯公式的应用

高斯公式的应用 摘要：高斯公式是重积分中一个极其重要的公式, 揭示了空间区域的三重积分与其边界面上的曲面积分之间的关系1-2 . 然而在教学实践中, 却有不少学生被发可现不能正确恰当用高斯公式, 原因在于其对于高斯公式应用的条件理解不够准确透彻和对解决此类问题的方法、技巧掌握不够灵活.现通过积分区域S的不同情况时，对高斯公式的应用进行讨论，更深入的了解高斯公式的应用条件以及应用技巧。关键词:第二型曲面积分；高斯公式；应用技巧。Abstract:Gaussian formula is an extremely important formula of re-integration, reveals the relationship between the surface integral of the triple integral of it boundary surface of the region of space 1-2 in the teaching practice, however, there are a lot of students are sent can be is not correct and appropriate use Gauss formula, as understood in its application conditions for the Gaussian formula not thorough and accurate method to solve such problems, not flexible enough to master skills through the integration region S, the Gaussian formula discussions, a deeper understanding of the Gaussian formula conditions and application skills.Keywords: surface integral; Gaussian equation; application skills.1.预备知识3定理1 设求第二型曲面积分，一般是将它投影到平面化为二重积分来积分.R是定义在光滑曲面 上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线方向与z轴正向成锐角），则有 定理2 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P, Q, R 在V 上连续, 且有一阶连续偏导数（1）其中S取外侧.（1）式称为高斯公式。注意 该公式的适用条件有两个：（1）为曲面S为一个封闭的曲面，并且S是有方向的，一般外则为正向.（2）函数P，Q，R在封闭曲面S所围成的空间区域V上连续且有一阶连续偏导数.下面通过对曲面S进行不同的分类以及函数P, Q, R 在V 上连续情况，讨论不同条件下高斯公式的应用方式及应用技巧.2.高斯公式的应用2.1封闭曲面直接应用高斯公式 当涉及到的曲面时一个封闭的曲面时 ，可以直接利用高斯公式将封闭曲面的二重积分 化成相应的三重积分，但要注意曲面S的方向. 例14 求第二型曲面积分,其中S：的外侧.解 因为题目中的条件满足高斯公式的两个条件，其中P=x Q=,R=1 由高斯公式得，所求积分I= = = =由于，关于平面y=0对称,为y的奇函数，故,所以I=例2.求第二型曲面积分,其中S为且其外法线方向与x坐标轴的夹角为钝角.分析：由S的外法线方向与x坐标轴的夹角为钝角，知取S的内侧，不满足高斯公式应用的条件，所以不能直接使用 高斯公式，但是因为，其中为S的反向，即为S的外侧，可以利用该结论对题目进行转化进而利用高斯公式.解 =-， 其中P=x Q= R=1 I=- 为S的外侧，满足高斯公式的应用条件由高斯公式得，I=- =- =-由于1，关于平面y=0对称,为y的奇函数，故,所以I=-2.2构造封闭曲面在运用高斯公式 当题目中所涉及的曲面不封闭时，这时要利用高斯公式来计算第二型曲面积分，则需要添加辅助面，一般为平行于坐标平面的辅助平面，构成封闭曲面.例35.计算J=,其中S为圆柱面被z=0,z=3截的部分外侧.解 分别补充圆柱面与z=0,z=3的交平面，其中 ，合起来为一个封闭的曲面，记P=x Q=y R=z J=其中由高斯公式得=而垂直平面,平面，垂直平面，平面从而J=9-3=62.3曲面封闭但存在有限个奇点2.3.1 当在封闭的曲面内有奇点（即被积函数不连续或偏导数不存在的点），当这个奇点为良性奇点（不妨把使被积函数满足等式的奇点定义为良性奇点，反之则定义为非良性奇点)一般会用小圆或小椭圆来挖掉这个奇点，从而使这个小圆或小椭圆和原来的曲面共同构成一个封闭的复连通区域，则在这个复连通区域内可以利用高斯公式，是小圆还是小椭圆要根据所给的被积函数的形式.例46.计算Gauss曲面积分,其中S是封闭光滑曲面，原点不在S上， r是S 上动点至原点的距离，动点处外法线方向与径向量的夹角.解 =表示动点的径向量，则模r=， =，表示S在动点的外法线单位向量.则 题目分两种情况:若原点位于S之外部区域，则函数P=Q= R=在S内部区域直到边界S上有连续偏导数.因此可应用高斯公式I=注意由轮换对称性得+ + = -=0故I=若原点位于S的内部区域.这时P、Q、R在原点处不连续，不能直接在S的内部区域上应用高斯公式公式.今以原点为中心，以（充分小）为半径，作一球面，使得全位于S的内部区域.以V表示S与之间的区域.则V内部不含原点可以应用中已得结论.因此原积分I=-= 总之 I=因为该例题中涉及被积函数的分母中有这种球面形式形式，所以利用用充分小的球体去挖掉这个奇点.例57.计算曲面积分,其中S是球面，取外侧.解 记，则在不包含原点的任何区域上有，对充分小的，作封闭曲面，取内侧，用充分小的椭球体来挖掉奇点,因为S与构成复连通区域，设,在围成的封闭区域应用高斯公式得 =0-而在曲面上有，则其中表示曲面的外侧=再利用一次高斯公式得I=其中为椭球体，则I=因为该题中涉及到的被积函数的分母中是这种椭球体形式，所以用充分小椭球体来挖掉（0,0,0）这个奇点. 2.3.2 当被积函数个有无数奇点，且为非良性奇点，这时计算第二型曲面积分，一般用投影化成二重积分.例7.计算，其中S为椭球面方向取外侧.分析：因为x轴，y轴，z轴上的点都为被积函数的奇点，且为非良性的，所以只能用将椭球面分别投影到三个坐标平面,从而化成三个二重积分来计算.解 首先将椭球面将投影到平面，得先计算，因为在椭球面上有所以I= =2利用广义的极坐标变换令所以I=2=，由轮换对称的性质得，所以=2.4曲面不封闭，构造辅助平面时产生奇点当需要求的曲面积分中涉及到的曲面不是封闭的曲面，要用高斯公式，则首先需要添加辅助平面，而恰好在添加的平面上有奇点，则要用通过小椭球体或小球体绕过这个奇点.例6.求曲面积分I=,上侧.分析：因为S不封闭，添加辅助平面：z=0，但仅仅构造这个平面之后，带来奇点（0,0,0）,所以构造的平面不符合要求. 要绕过（0,0,0）构造辅平面.解 设,其中取外侧 取下侧，为足够小的常数，使上半球面与积分曲面S不相交，而S与构成复连通区域，在该区域上可直接应用高斯公式，则有因此I=0-=-而在=0，故I=-在上，有r=,故I=-再补充平面，取下侧，则构成封闭的半球，所以在上应用高斯公式得=+ =-，由曲面积分得知识得=0所以I=-=- = =（文献8 9 10 11）参考文献：1 马知恩. 工科数学分析基础 M . 北京: 高等教育出版社, 1998: 150.2 吉林大学数学系. 数学分析: 中册M . 北京: 人民教育出社,1978:146. 3 华东师范大学数学系.数学分析:下册 第三版M.高等教育出版社，2001:286-292.4 钱吉林.数学分析题解精粹第二版M.湖北长江出版集团 崇文书局，2009:576.5 钱吉林.数学分析题解精粹第二版M.湖北长江出版集团 崇文书局，2009:572.6 裴礼文.数学分析中典型问题与方法第二版M.高等教育出版社，2006:987.7 谢惠民.数学分析习题课讲义下册M. 高等教育出版社，2004:348.8 李菊.运用高斯公式应注意的一个问题J.高等数学研究,2000,（3）:13-14.9 邓东皋，伊晓玲.数学分析