经典十字相乘法分解因式整理.doc

因式分解的一点补充十字相乘法一、学习目标1使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式。四、自主学习：（一）导入新课关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1- x2+2 x+15 2（x+y）2-8（x+y）+12 3x4-7x2+18 4x2-5xy+6y2 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。（二）、探究： 例1 把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）： 2=12=21；分解常数项： 3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3）。用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -113+21 11+23 1（-3）+2（-1） 1（-1）+2（-3） =5 =7 = -5 =-7经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。归纳：一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 c2 a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。例2 把6x2-7x-5分解因式。 例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。 例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 （三）、课堂练习1用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。2把下列各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。（四）、小结1用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜 a2 c2向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。” （2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。 （3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。2形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。3凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。（五）、作业1用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。2把下列各式分解因式：（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。十字相乘法因式分解练习题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、 15、16、 17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、 29、30、 31、32、 33、 34、35、 36、37、 38、答案：