湖北省十堰市2019届高三数学四月调研考试试题理（含解析）.docx

湖北省十堰市2019届高三数学四月调研考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。2.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合，进而计算与，分析选项即可得答案【详解】解：根据题意，则，则A、C、D都错误，B正确；故选：B【点睛】本题考查集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题3.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出【详解】解：；为非零向量；故选：B【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直双曲线的渐近线方程为，得，此时，离心率故选：C【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题5.已知正项数列满足：，则使成立的的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 25【答案】C【解析】【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式。即可求解。【详解】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列所以，所以，又，所以，即解得，又，所以，故选C【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到为等差数列，再进行求解。而不是直接求，属基础题。6.某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为从中抽取个样本，如下提供随机数表的第行到第行：若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可【详解】解：第行第列的数开始的数为，不合适，不合适，不合适，不合适，重复不合适，合适则满足条件的个编号为，则第个编号为，故选：D【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.8.定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为。【详解】当时，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题。应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反。9.已知，满足约束条件，若目标函数可在点处取得最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可【详解】解：，满足约束条件的可行域如图：由目标函数可得，由解得，可得，即故选：A【点睛】本题考查线性规划的简单应用，数形结合，考查计算能力10.若点在函数的图象上，则的零点为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】将点代入函数，利用对数的运算性质即可求出k值，进而求出的零点。【详解】解：根据题意，点在函数的图象上，则，变形可得：，则若，则，即的零点为，故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质、零点知识。熟练掌握对数的运算性质是解题的关键。11.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即为与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即 ，在中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.12.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（）是在年发现这一规律的我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就如图，在“杨辉三角”中，去除所有为的项依次构成数列，则此数列前项和为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理可得解【详解】解：去除所有为的项后，由图可知前行共有个数，当时，即前行共有个数，另第行的和为，所以前行的和为，第项的最后的两个数为，故此数列前项和为，故选：C【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是_【答案】【解析】【分析】先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.【详解】依题意可得，所以的最小正周期是.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.14.的展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】写出的二项展开式中的一次项和常数项，再结合即可求得常数项【详解】的展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式及展开式中常数项的问题，属于中档题15.若直线与曲线相切，则_【答案】14或18【解析】【分析】因为切点既在曲线上，又在切线上，所以由导数可求得切线得斜率。联立方程组解得即可。【详解】解：的导数为，直线与曲线相切，设切点为，可得，即有；故答案为：14或18【点睛】本题主要考查利用导数求解计算出曲线方程。对于涉及到切线或单调性的问题时，要有求导意识。16.过抛物线：的焦点作两条斜率之积为的直线，其中交于、两点，交于，两点，则的最小值为_【答案】24【解析】【分析】依题意可设，代入，得，根据韦达定理、抛物线的定义以及基本不等式可得【详解】解：依题意可设，代入，得，所以，以代，得，所以，故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1），.（2）设的内角的对边分别为.，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.如图，在三棱锥中，（1）若为的中点，证明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明平面（2）法一：取的中点，连结，取中点，连结，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值法二：取的中点，连结，推导出，平面，则，从而为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值【详解】证明：（1），为的中点，又，平面解：（2）解法一：取中点，连结，取中点，连结，又为的中点，由（1）知平面平面，平面平面，平面，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意知，设平面的法向量，则，令，得，平面的法向量，由图知二面角为锐角，二面角的余弦值为解法二：取的中点，连结，为的中点，又，由（1）知平面，则，为二面角的平面角，又，则，即二面角的余弦值为【点睛】本题是有线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立，出现故障时需名工人进行维修每台机器出现故障的概率为已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有名维修工人（）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？【答案】（1）；（2）（）；（）不应该.【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；（）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论【详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障该工厂正常运行的概率为：（2）（i）的可能取值有，的分布列为：X 31 44 P （）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为万元，因为，该厂不应该再招聘名维修工人【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题20.已知椭圆离心率为，是椭圆的一个焦点点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且求的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，解得即可得出。（2）分两种情况，当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式大于0可得出；利用列出等式可求得k的值，即可得出的方程。【详解】（1）由题意，可得，解得，则，故椭圆的方程为（2）当的斜率不存在时，不合题意，故的斜率存在设的方程为，联立，得，设，则，即，设，则，则，即整理得故，的方程为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、点斜式、斜率的计算公式。21.已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设函数，若斜率为的直线与函数的图象交于，两点，证明：【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数与单调性的关系即可求解（2）先根据已知求出，令，要证明，只要证，结合导数进行证明【详解】解：（1），令可得，或当即时，当时，函数在，上单调递增当时，函数在上单调递减当时，在上恒成立，即在上单调递增当即时，时，函数在，上单调递增，在上单调递减，（2），则故令要证明，只要证由可知，故只要证明设，则，故在上单调递增即设，则，故在上单调递增即综上可得，【点睛】本题主要考查了导数知识的综合应用，体现了分类讨论思想的应用（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为（1）求曲线的极坐标方程；（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）由圆的切线长公式，先求，再利用勾股定理求得，作比即可.【详解】（1）由，得，即，故曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.因为A（0，3），所以，所以.因为，所以.故.【点睛】本题考查了参数方程化为