函数依赖推理资料.doc

5.2.3 函数依赖公理系统1974年W.W.Armstrong首先提出了函数依赖的公理系统，称为Armstrong公理。对于一组已知的函数依赖，利用该公理可导出所蕴函的函数依赖。 对于关系模式R(U,F)，为了确定一个关系模式的码，为了从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖，我们需要从现有的函数依赖集合F下推导或者至少需要判断函数依赖XY是否为F所蕴含。为此，我们需要一套推理规则。这样的推理规则，在1974年由Armstrong首先提出来，称为Armstrong公理(Armstrongs axioms) 系统。在介绍Armstrong公理系统之前，我们先给出逻辑蕴含和F的闭包的概念。1. 逻辑蕴含给定一个关系模式，只考虑给定的函数依赖是不够的，必须找出在该关系模式上成立的其他函数依赖。逻辑蕴含：设F是关系模式R（U）的函数依赖集合，由F出发，可以证明其他某些函数依赖也成立，我们称这些函数依赖被F逻辑蕴含。例如，设F= AB，BC ，则函数依赖AC被F逻辑蕴含，记作：F |= AC。即函数依赖集 F 逻辑蕴含函数依赖AC。2. F的闭包F+对于一个关系模式，如何由已知的函数依赖集合F，找出F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合呢？这就是我们下面要讨论的问题。F的闭包F+：设F为一个函数依赖集，F的闭包是指F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合。 F的闭包记作F+。例如，给定关系模式R(A,B,C,G,H,I)，函数依赖集合F=AB，AC，CGH，CGI，BH。可以证明函数依赖AH被F逻辑蕴涵。设有元组s和t，满足sA=tA，根据函数依赖的定义，由已知的AB，可以推出sB=tB。又根据函数依赖BH，可以有sH=tH。因此，已经证明对任意的两个元组s和t，只要有sA=tA，就有sH=tH。所以，函数依赖AH被F逻辑蕴涵。计算F的闭包F+，可以由函数依赖的定义直接计算，如上面的示例。但是，当F很大时，计算的过程会很长。为了从已知的函数依赖推导出其它函数依赖，Armstrong 提出了一套推理规则，称为Armstrong 公理 ，通过反复使用这些规则，可以找出给定F的闭包F+。其推理规则可归结为如下3条：自反律(reflexivity)、增广律(augmentation)和 传递律(transitivity)。 3Armstrong 公理 设U为属性总体集合，F为U上的一组函数依赖，对于关系模式R（U，F），X、Y、Z为属性U的子集，有下列推理规则：A1：自反律(reflexivity)若Y X U，则XY为F所蕴函。A2：增广律(augmentation)若XY为F所蕴函，且Z是U的子集，则XZYZ为F所蕴函。式中XZ和YZ是XZ 和 YZ的简写。A3：传递律(transitivity)若XY、YZ为F所蕴函，则XZ为F所蕴函。由自反律所得到的函数依赖都是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于F，而只依赖于属性集U。Armstrong公理是有效的和完备的。可以利用该公理系统推导F的闭包F+。由于利用Armstrong公理直接计算F+很麻烦。根据A1, A2, A3这三条推理规则还可以得到其他规则，用于简化计算F+的工作。如下面扩展的三条推理规则:合并规则: 由XY, XZ, 有XYZ伪传递规则: 由XY, WYZ, 有XWZ分解规则: 由XYZ, 则有XZ，XYArmstrong公理可以有多种表示形式，例如，增广律A2可以用合并规则代替。例如，用自反律A1，传递律A3和合并规则可推导出增广律A2。证明：XZ X (A1：自反律)X Y (给定条件)XZ Y (A3：传递律)XZ Z (A1：自反律)XZ YZ (合并规则)4属性集的闭包原则上讲，对于一个关系模式R(U,F)，根据已知的函数依赖F，反复使用前面的规则，可以计算函数依赖集合F的闭包F+。但是，利用推理规则求出其全部的函数依赖F+是非常困难的，而且也没有必要。因此，可以计算闭包的子集，即选择一个属性子集，判断该属性子集能函数决定哪些属性，这就是利用属性集闭包的概念。 （1）属性集闭包的定义设F为属性集U上的函数依赖集，XU，即X为U的一个子集。在函数依赖集F下被X函数决定的所有属性为F+下属性集X的闭包，记作X+。即X+ A| XA 。（2）计算属性集闭包X+的算法如下：输入：X，F输出： X+ 迭代算法的步骤： 选取X+的初始值为X ，即X+X； 计算X+， X+XZ ，其中Z要满足如下条件：YX+，且F中存在一函数依赖YZ。实际上就是以X+中的属性子集作为函数依赖的决定因素，在F中搜索函数依赖集，找到函数依赖的被决定属性Z放到X+中。 判断：如果X+没有变化？或X+等于U？则X+就是所求的结果，算法终止。否则转。因为U是有穷的，所以上述迭代过程经过有限步骤之后就会终止。例如，已知关系模式R(U,F)，U=A,B,C,D,E,G，F=ABC,DEG,CA,BEC,BCD,ACB,CEAG,求(BD)+ 解： (BD)+ = BD； 计算(BD)+ ，在F中扫描函数依赖，其左边为B,D或BD的函数依赖，得到一个DEG。所以，(BD)+= BDEG。 计算(BD)+，在F中查找左部为BDEG的所有函数依赖，有两个：DEG和BEC。所以(BD)+(BD)EGC=BCDEG。 计算(BD)+，在F中查找左部为BCDEG子集的函数依赖，除去已经找过的以外，还有三个新的函数依赖：CA,BCD,CEAG。得到(BD)+(BD)ADGABCDEG。 判断(BD)+=U，算法结束。得到(BD)+ABCDEG。说明：上面说明(B,D)是该关系模式的一个候选码。5. Armstrong公理系统的有效性和完备性Armstron