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文档简介

高等代数要点一、填空1求多项式有理根（应用书上定理12）如书上例1，习题272求排列的逆序数、奇偶性， 习题1 1）、2）3. 利用行列式性质计算行列式，如已知一个三阶行列式值，求4齐次线性方程组有非零解的条件如：设有非零解，则 5. 求矩阵的逆，二阶的公式法6求矩阵的秩（3阶）：用初等行变换化为阶梯形7二次型的矩阵及矩阵表示（3元）8求（二阶、三阶）矩阵的特征值及特征多项式9正交矩阵的行列式为 10求不变因子（补第八章）习题2，例二、计算题1计算三阶、四阶行列式（数字、字母）（书习题13的1）2）3） 阶行列式习题18的3）换成数字2求齐次线性方程组的基础解系，并用之表示全部解书习题20的1）2） 3求线性空间的基与维数（书习题14）或换对角矩阵 4已知实对称矩阵，求正交矩阵，使得为对角形书习题7例 1）的特征多项式则特征值为（二重） 2） ，解 得基础解系为 ，单位化： ， 解 ，得基础解系为 ，正交化：单位化： ， 令，则为对角形矩阵注意：如三个单根，则只要分别单位化（自己做一题）三、定理叙述（记牢）1艾森斯坦因(Eisenstein)判别法（书，定理13）2高斯引理（书，定理10）四、证明题1（维数公式）如果，是线性空间的两个子空间，那么维（）+维（）= 维（）+维（）.（书的定理7）设A是维线性空间的线性变换，则 A的秩+A的零度=.（书的定理11） -11考题(A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.) 2若向量组线性无关，而线性相关证明：向量可由线性表示,且表示法唯一（书的习题3）证明：由线性相关，所以存在不全为0的数，使得 假设则不全为0，使得，这与向量组线性无关矛盾，故，即有 下证唯一性：假设存在两组不同的表示方法分别为： 其中不全相同，即中至少有一个不为0将两中表示法相减得到：，其中不全为0，这与向量组线性无关矛盾，所以表示法唯一 3（书的补充题3、4题）1）设为矩阵，且证明：秩+秩证明：因为 ，所以 又为阶矩阵，则由书上习题有 秩+秩 注意到 秩=秩，再由另一结论，有 秩+秩=秩+秩秩 所以， 秩+秩 2）设为阶矩阵，且 证明：秩+秩证明：因为 ，所以 又为阶矩阵，
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