等价无穷小量的应用及推广

本科毕业论文 题 目：等价无穷小量的应用及推广学 生： 刘 夫 田 学 号： 201040510322 学 院： 数学与计算科学学院 专 业： 数学与应用数学 入学时间： 2010 年 9 月 1 日指导教师： 刘 静 职称: 讲 师 完成日期： 2014 年 3 月 27 日诚 信 承 诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文伴随矩阵的性质及应用均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人：刘夫田 2013年4月15日 等价无穷小量的应用及推广姓名：刘夫田 学号：201040510322 指导教师：刘静摘要：等价无穷小量具有很好的性质及推广，灵活运用这些性质并对其进行推广，无论是在求极限的过程中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可以得到预想不到的效果，能达到洛必达法则所不能取代的作用。关键词：性质 应用 推广Equivalent Infinite Small Amount of Application and Promotion Name: Liu Futian Student number: 201040510322 Advisor: Liu JingAbstract: Equivalent infinite small has good properties and promotion,flexible use of these properties and carries on the promotion,whether in the limit of the process,or in judgment in positive series of divergence,can get unexpected results,can achieve LHospital can not replace the role of. Key words: Property Application Promotion目 录1引言12无穷小量的定义及等价无穷小量性质22.1无穷小量的定义22.2无穷小量的比较4 2.2等价无穷小量的性质43等价无穷小量的应用63.1求函数的极限63.11直接利用等价无穷小量的性质求函数的极限63.12利用等价无穷小量结合泰勒公式求函数的极限63.2等价无穷小量在近似计算中的应用63.3等价无穷小量在级数的敛散性的判别中的应用64等价无穷小量的推广64.1等价无穷小量性质的推广64.2等价无穷小量在求函数极限过程中的推广65小结10致谢10参考文献111.引言 等价无穷小量在各种数学书籍是很少提及的，可以说在数学分析和高等数学等这一类书中也是占了很小的篇幅，在其它数学类的书籍中更是难得一见。虽然等价无穷小量在高等数学中占了很小的篇幅，可是其性质的推广和应用是十分广泛的，包括在求函数极限的运算等等。只要充分的掌握并在实际的的解决问题中运用好这些性质，就会使一些很难解决的问题变得容易解决，从而使解题变得更加轻松。因而，对等价无穷小量的研究也就有了必要性，而使其在解决问题过程中的应用和推广的叙述变得十分有意义。2.无穷小量的定义及等价无穷小量的性质2.1无穷小量的定义定义 如果函数当（或）时的函数极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小量。如,都称作是时的无穷小量。注意：无穷小量是一个与它的变化过程紧密相关的变量，而不是一个确定的值。无穷小量，顾名思义就是非常小的无限接近于零的数，是变量。所以说，绝对值很小的数并不是无穷小量，包括0在内。无穷小量和有界函数（常数）的乘积依然是无穷小量。2.2无穷小量的比较我们知道，在求函数极限的运算中无穷小量之间可以求和、差或者乘积，而它们计算的结果还是不是无穷小量呢？答案当然是肯定的，求解的结果依旧是无穷小量，在这里就不多做赘述。但是对于无穷小量的商会出现什么情况呢？这就是下面要讨论的问题。说明：和（）都是无穷小量且拥有同一个自变量。当的时候，就称与为同阶无穷小量。特别地，当的时候，就称与为等价无穷小量，这时可写成 。 当的时候，就称为的高阶无穷小量，这时可以写成。另外，若，且，则称是的阶无穷小量。注：通过上面的定义我们对无穷小量有了一个更深的认识，但是这并不能说明任意的两个无穷小量的比较都是有意义的，如：当时，与都是无穷小量，而它们的商是求不出来的，所以就不可能对它们的阶进行比较。2.3等价无穷小量的性质令，都是无穷小量且拥有相同的自变量，若，且存在，则。若，则。3. 等价无穷小量的应用3.1求函数的极限3.11直接利用等价无穷小量的性质求函数的极限下面这些是在求解函数极限类问题的过程中经常用到的一些等价无穷小量，当，,，。例1求的函数极限。解 原式= =。例2求的函数极限。解 当时，所以，原式。通过以上的几个例子我们可以知道，如果不是利用等价无穷小量去替换的话，是很难把问题中的极限求出来的。所以说，等价无穷小量对于求函数极限方面的问题是非常重要的，起到了简化式子的目的。3.12利用等价无穷小量结合泰勒公式求函数的极限例3求的函数极限。分析：由于，所以上式可以利用等价无穷小量替换化简为，又因为是型，可对分子分母分别求导，而对分子分母的求导过程比较复杂从而使化简变得相当繁琐，因此就需要更简单便捷的方法求解这类问题，从而就引出了下面求解函数的方法。解 对于函数的分母可以利用等价无穷小量化简，即，所以只需要将函数中的分子与函数中的分母和分别表示为佩亚诺型余项的麦克劳林公式，即：，。所以，原式。例4求的函数极限。解 因为，所以，原式。 通过以上例子我们不难发现，在求一些未定型的函数极限时，如果只是单纯的用等价无穷小量的替换来计算，则会出现求导次数较多或化简过程较繁琐的问题。而利用等价无穷小量结合泰勒公式的方法去求解某些函数的极限时，则具有简洁方便、准确高效的作用，从非常轻松地解决一些数学问题。3.2等价无穷小量在近似计算中的应用对于近似计算之类的问题可以说是很难拿来直接进行计算的，但是运用等价无穷小量的话就会使计算变得非常方便。例5求的近似值。解 因为当时，所以。我们可以计算出的保留小数点后6位的准确值是2.005175，这时它的相对误差为（2.005208-2.005175）/2.0051750.0000016，这说明计算精度已经很高。例6求的近似值。解 因为时，所以，1-0.03=0.97。3.3等价无穷小量在级数的敛散性的判别中的应用在正项级数的敛散性的判别中用得较多的是比较法，可以说它也是无穷小量正项级数的敛散性的判别中的一个应用。正项级数的比较法中有以下这几种情况：设和都是正项级数，如果，当时，和同时收敛或同时发散；当时，若级数收敛，则级数也收敛；当时，若级数发散，则级数也发散。 通过上面的这几种形式可以知道，对中时，由于级数和是等价无穷小量，而由比较法的极限形式可以知道，和此时具有相同的敛散性。所以说，当已经知道了和中的某一个的敛散性的时候，另一个的敛散性也就可想而知了 。例7 判定的敛散性。解 ，又因为收敛，所以也收敛。例8 判定的敛散性。解 因为，而发散，所以发散。上面的两个例子充分的说明，利用等价无穷小量判断函数的敛散性是非常方便的。由此我们可以知道，简单的运用洛必达法则、等价无穷小量和泰勒公式等相关的知识中的一种不一定能得到最好的效果，甚至会让解题变得更加困难。所以这就要求我们熟练掌握这些知识，并加以适当的运用，才能得到我们想要的结果。4. 等价无穷小量的推广4.1 等价无穷小量性质的推广。证明 因为 所以，。但是在解决这类问题的时候，往往在上忽略了“”这个条件，千篇一律的认为“若”。在同一变化过程中，且存在，则 。证明 因为故结论得证。若，且存在，则当，且存在，则有。证明 因为，又，于是，从而，即，同理可证，故命题得证。设、及、都是拥有同一个自变量的无穷小量。（以下简写为、及、）若、且存在，且，则有。若、且存在，且，则有。若、且存在，且，则有。证明 因为，又因为，故上式等于1。因为，又因为，故上式等于1。要证成立，只需证，因为 ，所以结论得证。由上面的性质和可以知道，在加减求极限的过程中等价无穷小量是可以进行替换的，这就使得在求函数极限的过程中大大地简化了计算。但是要值得注意的是条件“”，“”的使用。注意：在运用无穷小量的替换解决问题时，一般的对于等价无穷小量之间的和、差是不能直接替换的，而只能替换其积商的某一项。由上面的性质我们可以知道，对等价无穷小量在和、差层面做了一定的推广，让等价无穷小量的适用范围变得更大，从而使得对函数极限的求解变得更加简便。4.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的推广例9求的函数极限。解 方法一（利用等价无穷小量直接替换）当时，得 。方法二（利用等价无穷小量的两个重要极限）由于，所以有。方法三（利用洛必达法则，对分子、分母进行求导）。通过上面的例子我们可以知道，求解函数极限的问题时可以运用很多方法，但是每种方法的求解步骤和难易程度是不尽相同的，这就需要我们具体问题具体分析，要进行全方位、多角度的思考，从而找出最适合的求解问题的方法。例10求的函数极限。方法一（利用等价无穷小量直接替换）由于当时，有，则由无穷小量替换定理得。方法二（利用洛必达法则，对分子、分母进行求导）。通过上面的例子我们知道，利用洛必达法则求解不定式极限是非常常见的方法，但是单纯的使用这种方法是达不到简化计算的目的的，而利用无穷小量的替换则使解答本题变得更加简洁方便。另外，对于本例解法二中在使用洛必达法则计算时，如果不是把放到分母上，而是放在分子上，就会使解题无限的进行下去，这样是不可能得到想要的结果的。由此不仅可以说明极限为无穷大时同样可以使用无穷小量替换，而且更能体现等价无穷小量的替换求解函数极限的重要作用。经过通分可以化为，如果直接使用洛必达法则对分子和分母求导，就会使得在求导的过程中分母上的求导运算变得越来越复杂。如果换一种方法的话，即当时，利用等价无穷小量替换就可以将上式化为像这种比较简单的式子,虽然在后面的运算中还是使用用洛必达法则,但是其求解的过程就会变的更加简单了。我们来看下面这道的例题：例11求的函数极限。 解 原式=（洛必达法则，对分子、分母求导） （通过三角函数的变换和非零极限得出） （继续用洛必达法则） （与原式相同）。 求解到这里会发现上式出现循环,此时如果继续求解下去是得不到结果的。下面我们试着运用另外一种方法，即利用等价无穷小量的替换来求解函数极限的方法，解法如下： 因为，所以，原式而得解。例12 求的函数极限。解 原式()。 如果上式只是单独的使用一种方法，如洛必达法则，然后对分子、分母分别求导，可得原式。假如继续对分子和分母求导的话就会很难继续求解下去,因为这样会使式子变得越来越复杂，所以很难求出结果。但是，将分母进行等价无穷小替换化为,分子也可以在转化为乘积后进行等价无穷小量替换,这样就会使解题变得更加简便。 通过对上面两个例子的分析我们可以知道，对等价无穷小量的性质作出相应的补充是十分有必要的，这会使我们的解题变得更加简单准确。4小结函数极限的计算是高等数学中的一个非常重要内容,而等价无穷小量的替换又是函数极限运算中的一个重要的方法。通过对等价无穷小量的运用，特别是结合洛必达法则一起使用时，可以使求解函数极限的问题变得更加快速简单便捷。所以说，如果想要使解决函数极限这类问题变得不再棘手，就要求我们充分的了解等价无穷小量的性质，对其进行推广和应用，不断积累经验，那么就会得到意想不到的效果。此外，在求解函数极限这类问题时要注意的是：如果分子（或分母）是乘积的话，这时就可以直接利用等价无穷小量进行替换；如果分子（或分母）是加减运算的话，是不能将其中的一项单独替换的，要么整体进行替换，要么化成乘积因子就可以单独替换了。对于这两种情况，可以只对分子（或分母）进行替换，也可以分子和分母同时替换，不会影响题目的结果。 致谢 不知不觉间大学四年就这样即将匆匆走完了。回想这四年里的汗水与泪水、笑声与哭声，怀揣着对同伴对学校的恋恋不舍，伴着这次论文的完成，即将为我这几年的努力添上完美的一笔。这次论文最需要感谢的人就是我的指导老师刘静老师，她不辞辛劳、日以继夜地指导我完成了本次论文。从论文题目的选择到大纲的确定再到初稿的完成，无处不体现了刘静老师认真负责，关心学生的优秀品质和崇高师德。论文的完成同时也凝聚着刘静老师心血。我怀着激动的心情不得不向刘静老师报以深深的感谢和无比崇高的敬意！在此，我也要向在这四年里的教育过我或者帮助过我的老师表示由衷的敬意。如果没有你们教诲和帮助，我也很难学到真么多东西。俗话说，一日为师，终身为师，我是不会忘记你们的，能从你们身上学到知识、经验，是我莫大的荣幸。我很庆幸遇到你们，让我有了这充实的四年，也很庆幸你们对我论文的帮助，让我以后的路更加平坦和充满希望。还有,我借鉴的一些参考文献和论文的作者，也谢谢你们对我的帮助。在此，再一次感谢帮助过我的人。谢谢你们！参考文献：1同济大学应用数学系,主编.高等数学.第5版M.高等教育出版社,2002,7 56592杨文泰,等.价无穷小量代换定理的推广J.甘肃高师学报,2005,10（2）：11133王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨J.黔西南民族师专学报,20014华东师范大学数学系. 数学分析M. 北京: 高等教育出版社, 20015盛祥耀. 高等数学M. 北京: 高等教育出版社, 19876冯录祥. 关于等价无穷小量代换的一个注记J. 伊犁师范学院学报, 2006( 3) : 25-26.7段丽凌,杨贺菊。关于等价无穷小量替换的几点推广. J . 河北自学考试, 2007, (06).8华东师范大学数学系.数学分析（上册）