10控制网平差计算.doc

测绘信息网9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n个观测值的平差值作为未知数，列出v个未知数的条件式，在情况下，用条件极值的方法求出一组v值，进而求出平差值。9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。当有个多余观测时，则平差值 应满足个平差值条件方程为： （9-1） 式中、（=1、2、）为条件方程的系数；、为条件方程的常项数以（=1、2、）代入(9-1)得条件方程 （9-2） 式中、为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 （9-3）令 则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为 （9-4） （9-5）上改正数条件方程式中的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在的无穷多组解中，取= 最小的一组解是唯一的，的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，设 ，称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数： 将对求一阶导数，并令其为零得： （9-6） 上式称为改正数方程，其纯量形式为 （=1、2、） （9-7） 代 入 得 （9-8）上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距阵，为 （9-9） 因 故，是阶的对称方阵。法方程的纯量形式为 （9-10）从法方程解出联系数后，将值代入改正数方程，求出改正数值，再求平差值，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。9.1.2 精度评定当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。1.单位权中误差条件平差中单位权中误差 （9-11） 或 （9-12）从中误差计算公式可知，为了计算，关键是计算。下面将讨论的计算方法。（1）、由直接计算 （9-13）（2）、由联系数及常数项计算因 故 （9-14） （3）、直接在高斯杜力特表格中解算将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有 令 则 （9-15） （2）平差值函数的权倒数设有平差值函数为 （9-16）它的权函数式为： （9-17）令 则 （9-18） （9-19）这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与计算规律完全相同。9.2 条件方程列立及线性化9.2.1 水准网水准网平差的主要目的，是确定网中未知点的最或然高程。例如图(9-1)的水准网中，有四个已知水准点(图中以“”表示的点)，两个未知点（图中以“”表示的点），并有六个观测值。从图中可以看出，要确定和点的高程，必须观测两个观测值，如和，或个数。图（9-1）中必须观测个数， 而条件方程个数图9-1 图9-2如果水准网中无知点，这时只能假定某点的高程为已知并此为基准，去确定其次各点的相对高程。例如图(9-2)的水准网中，其中没有已知水准点，这时，通过平差计算，只能确定各点的相对高程。为此，可先假定某一点高程值为已知，例如设m并以此为基准，去确定、等点的相对高程。这样，只要观测三个观测值就行了，所以，在没有已知点水准网中，必须观测个数等于网中全部未知点个数减去1。图(4-2)水准网中，必须观测个数, 而条件方程个数为。例(9-1)如图（9-3)所示的水准网中，、为已知点，及为未知点，为观测高程，试列条件方程。解：未知点个数=3 按照水准闭合环平差后高差之和应等于零的关系，列出3个闭合环条件方程，又按照平差后高差与已知高差高应相等的关系，列出1个附合条件方程，它们是 （1） （2） （3） （4）相应的改正数条件方程为 式中 图9-3 9.2.2测角网如图（9-4）的测角网，其中、为已知点，或者是已知或点坐标及边长和方位角，、为待定点，共观测了9个水平角（1，2，3），根据两个已知点来确定一个待定点，至少需要观测两个角，或者两条边，或者一个角和一条边，因此确定一个待定点的必要观测值为两个，若网中有个待定点，则必要观测个数为待定点（未知点）个数的两倍。于是，图（9-4）中，必要观测个数，则多余观测个数。故总共应列出5个条件方程。另外，如果网中没有已知点，或者不具备四个起算数据，则一个点的坐标（）和一条边的方位角可以是假定或是已知的，而一条边的边长是必须测定的，这就等价于已知有两个已知点的测角三角网，若设网中共有个三角点，则必要观测个数。测角网的基本条件有三种类型，现以此例说明。一类是三角形内角和条件，通称图形条件，由该图列出三个图形条件，即 将 （1，2，3）代入上式得： 图9-4其中 一类是圆周角条件或称水平条件，由图（9-4）可列出一个圆周条件，即 或 式中 一类是极条件或称边长条件即 这个条件方程是围绕中点推算边长的，故称为以点为极的极条件方程。此方程为非线性形式，将其线性化是按台劳公式展开取至一次项，即可得线性形式的极条件方程，经化简得：=0 9.3 水准网按条件平差算例在图(9-5)所示水准网中,两点高程及各观测高差和路线长度列于表(9-1)中。图9-5 表9-1观测号观测高差(m)路线长度（km）观测号观测高差(m)路线长D （km）已知高程（m）12341.3592.0090.3630.64011225670.6571.0001.650112试求： （）、及点高程之最或然值； （）、点间平差后高差的中误差。解:(1)列条件方程式,不符值以“mm”为单位。已知，故，其条件方程式为 （2）列函数式： 故 （3）组成法方程式。1）令每公里观测高差的权为1，按1/,将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于表9-2中。2)由表9-2数字计算法方程系数,并组成法方程式:+=0表9-2 条件方程系数表观测号11112-11003-1-1-14-110051-10116-110071-1001-1-110 011 1观测号1111121-1132-2-2-242-22511-11161-11722-210-31-1 -110 0 （4）法方程式的解算。 1）解算法方程式在表9-3中进行。 2）计算之检核。 由表9-3中解得，两者完全一致，证明表中解算无误。（5）计算观测值改正数及平差值见表9-4。（6）计算点高程最或然值。mmm表9-3 高斯-杜力特表格行的符号 3.00 =-0.441-1.000.3334.003.67=3.35000-1.00-1.000.2725.004.73=2.199-1.000.333-2.00-2.330.635-2.00-2.630.5565.001.72 =2.3317.00-2.333-7.00-4.671.272-3.00-4.270.903-1.00-4.012.3310-35.478.00-2.667-7.00-4.331.179-1.00-2.170.459-1.00-2.291.331-4.008.00-2.667-7.00-4.331.180-1.00-2.180.459-1.00-2.291.331-4.00-35.471.00-0.333-1.00-0.670.1830-0.180.0380-0.190.1101.000.522.00-0.667-1.00-0.330.0902.001.92-0.40601.530.8901.002.00-0.667-1.00-0.330.0902.001.91-0.40701.520.8841.000.51表9-4 改正数与平差值计算表观测号(mm)(mm)平差值(m)-0.443.352.202.33111-0.44-0.441.3591.3592-1110.442.332.772.0092.0123-12-2.20-4.420.3630.3594-112-2.202.330.260.6400.64051-11-0.44-3.35-3.790.6570.6536-111-3.352.20-1.151.0000.99971-123.35-2.332.041.6501.652 （7）精度评定。1）单位权（每公里观测高差）中误差 2）点间平差后高差中误差 9.4 附合导线按条件平差算例9.4.1附合导线的条件平差方程式如图9-6所示，符合在已知，之间的单一符合导线有条与是已知方位角。设观测角为、 、，测角中误差为 ，观测边长为、 、，测边中误差为（1、2、）。此导线共有个观测值，有个未知数，故则。因此，应列出三个条件方程，其中一个是坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。 图9-6 单一附合导线图1、坐标方位角条件设观测角的改正数为（1、2、1），观测边的改正数为（1、2、）。由图9-6知 （9-1） （9-2）式中方位角条件的不符值，按 （9-3）若导线的点与点重合，则形成一闭合导线，由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。2、纵、横坐标条件 设以、表示图中各导线边的纵坐标增量之平差值；、表示图中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。 （9-4）令 （9-5）则 （9-6） 以微分量代替改正数，则有 将上式代入式9-6得纵坐标条件式，且同理已可得横坐标的条件式即 （9-7）上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的不符值，按 （9-8） 式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。 计算时一般以秒为单位，、以cm为单位；若、 以m为单位，则，从而使全式单位统一。若单一导线的与点重合形成闭合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件，以增量平差值表示为 （9-9） 9.4.2符合导线的精度评定1、单位权中误差：单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同，按 （9-10） 2、平差值的权函数式：为了平定平差值函数的精度，必须要列出权函数式。一般有下列三种函数式。（1）边长平差值权函数式由导线边 故其权函数式为 （9-11）（2） 坐标方位角平差值权函数式 由图9-6得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为 （9-12）（3） 坐标平差值的权函数式 由图9-6得点坐标平差值的权函数式为 （9-13）9.4.3附合导线按条件平差算例在图9-7所示附合导线中，为已知点，其坐标为 m m m m方位角，应用红外测距仪观测导线的转折角和边长列入表9-5。试按条件平差法，求各观测值及平差后边的边长相对中误差。图9-7 附合导线观测示意图表9-5 近似坐标计算点号观测角方位角边长（m）(1)234(5)291 4527.8275 16 43.8128 49 32.3274 57 18.2289 10 52.9229 3013.4341 15 41.2 76 32 25.0 25 21 57.3120 19 15.5 49 30 08.41628.5241293.4801229.4211511.1850.94699430.23276170.6035902-0.5048436-0.32125030.97253370.42839760.8632108点号(m)(m)(m)(m)(1)234(5)1542.203301.0731110.893-762.912-523.1641257.953526.6811304.4716556.9478099.1508400.1169511.1168748.2044101.7353578.5714836.5245363.2056667.676+1.062+0.315+0.169-0.370-1.244-1.498-0.888-0.632解：（1）确定观测值的权。测角中误差 边长中误差按仪器给定公式为 （cm）式中以cm为单位。由上式算得 cm cm cm cm以角度观测的权为单位权，即表9-6 条件方程及权函数式系数表观测编号111115-1.244-1.498-0.888-0.6320.9470.2330.904-0.505-2.6831.0620.3150.169-0.370-0.3210.9720.4280.8633.118110.818-0.1830.281-0.00210.6261.2052.3320.3586.435/6.435111110.1010.0740.0700.091观测编号=-0.187111115=-2.703-1.244-1.498-0.888-0.6320.0960.0170.063-0.046-4.132=-4.7491.0620.3150.169-0.370-0.0320.0720.0300.0781.3240.0700.0700.818-0.1830.281-0.00210.0640.0890.1630.0322.262/2.262-1.9+2.4+1.4+3.3-0.2-0.11-0.39-0.31-0.25则边长的权为 边长权倒数为 （2）计算条件方程式不符值。由表9-4-1得 cm cm（3）计算条件方程式系数及权函数式系数列于表9-6中。（4）组成法方程式并解算。根据表9-6中系数组成法方程系数，然后填于表9-7中相应行内。法方程式的解算在表9-7中进行。表9-7 法方程式解算表行的符号=-0.187=-2.703=-4.7495.000-4.2620.85245.1551.5221.176-0.2352-1.734-0.7320.48091.5520.923-5.0001.00004.9000.638-0.41922.9004.383-4.74860-26.080-3.0860.61724.0591.428-0.93833.8945.306-5.74862.800-3.0860.61724.0591.428-0.93823.8945.306-5.74862.800-26.081000.0630.063-0.04140.0300.060-0.06500.0700.0641.914-0.3828-0.7780.853-0.56051.0240.983-1.06500.1631.914-0.3828-0.7780.853-0.56041.0240.984-1.06500.1630.064表9-8 观测值之平差值计算边 角 号观 测 值改 正 数平 差 值角度291 4527.8275 16 43.8128 49 32.3274 57 18.2289 10 52.9-1.9+2.4+1.4+3.3-0.2291 4527.9275 16 46.2128 49 33.7274 57 21.5289 10 52.7边长1628.524m1293.4801229.4211511.185-0.11 cm-0.39-0.31-0.251628.523m1293.4761229.4181511.182（5）计算改正数和平差值。由法方程解算表解得的联系数和观测边加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见表9-8。（6）计算边的精度。1）单位权中误差，按 2） 计算边的中误差。 边边长相对中误 9.5 间接观测平差原理 间接平差又称参数平差。水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数（按方向平差时，还增加测站定向角未知数），平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。9.5.1 基础方程和它的解设平差问题中，有个不等精度的独立观测 ，相应权为（1，2, , ），并设需个必要观测，用 表示选定的未知数，按题列出个平差值方程为 (9-13)令 则 （9-13）式为 (9-14)上式称为误差方程，式中为误差方程系数及常数项，且 （1，2，, ） (9-15)若设 则 (9-14)的矩阵形式为 (9-16)式中有个待定的改正数和个未知数，共个待定量，而方程只有个，所以有无穷多组解。为了寻求一组唯一的解，根据最小二程原理在的准则下求，按数学上求函数自由极值的理论，即转置后得 (9-17)代(9-16)入(9-17)得法方程 令 式(9-18)式可表示为 (9-18) 其纯量形式为 (9-19) 将上式算得的代入(5-16)求出改正数向量V，进而求出观测平差值。9.5.2 精度评定1单位权中误差和的计算同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为 （9-20）或 （9-21）的计算方法为（1）、由直接计算 （9-23）（2）、由未知数改正数及法方程常数项及计算 由误差方程 可得 顾及 （9-24）其纯量形式为 （9-25）（3）、在高斯杜力特表中解算 （9-26）2未知数函数的权倒数间接平差中，平差后得到了未知数平差值及观测值的平差值，但往往在许多平差问题中，除了得到上述结果，还需根据未知数的平差计算某些量，这些是未知数的函数，故也应作精度评定。 设某平差问题的未知数的函数为 （9-27）它的权函数式为 （9-28）令 则上式的矩阵形式为 （9-29）根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数 （9-30）因为 所以 （9-31）令 （9-32）称转换系数。则 （9-33）其纯量形式为 （9-34）将（9-32）的方程两边乘N得 （9-35） (9-36)其纯量形式为 （9-37） 由线性对称方程组的特性可写成 （9-38）由上可知：只要约化表中增加个（）列。在与、同行的位置上填入-，-， ，-，0等数值，便可随同法方程组一起约化，利用两列规则，在（）列中与同行的位置上求出 ，反时号即为所求函数的权倒数。3未知数的权逆阵 由间接平差中法方程式 （9-39）或 （9-40） （9-41）由权逆阵的传播律得 （9-42） 即法方程系数距阵的逆阵就是未知数向量的权逆阵 ，令 （9-43）因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵，即 未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素为未知数的权倒数，非对角线上的元素 称为未知数关于 的相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。 权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法求权系数的方法。9.6 误差方程的列立按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中未知参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。9.6.1 未知数个数的确定在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数，在第四章中，已经对确定必要观测个数问题作了讨论，这里不再重复。9.6.2 未知数的选取在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差作为未知数，但一般实用上是选取待定点高程作为未知数的。平面控制网参数平差总是选择未知点的坐标为平差参数。9.6.3 测角网坐标平差误差方程列立 这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。如图（9-44）为某一测角网的任一角为三个待定点，它们的近似坐标为改正数为，则平差值分别为 由图（9-44）可得的平差值方程为 （9-44）令 误差方程为 （9-45）现求坐标改正数与坐标位角改正数的线性关系 由图可知 （9-46）将式右端按台公式展开得（9-47） （9-48） （9-49）或 （9-50）同理 （9-51）或 （9-52）上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系，称为坐标方位角改正数方程，其中以秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活运用。讨论：（1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系就是（9-51）式，此时 与前的系数是绝对值相等，符号相反； 与前的系数也是绝对值相等，符号相反。（2）若测站点为已知点时，则=0有，得 若照准点为已知点，则有=0 ，得 （3）若某边的两个端点均为已知点，则 =0 ， （4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系也一样。 即 因为： 顾及 据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可。 9.6.4 测边网坐标平差的误差方程列立这里讨论测边网中，选待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。如图（9-8）为某一测边网中的任意一条边，为两个待定点，它们的近似坐标为，改正数为 则，的坐标平差值为 图9-9图9-8 由图（9-9）可写出的平差值方程为 （9-53）按台劳公式展开， 得 （9-54）式中 同理： 将以上公式代入（9-54） 式得测边网边长误差方程为 （9-55） （9-55）就是测边网坐标平差的一般形式，它是假定两端点都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。讨论：1、若某边的两端均为待定点，则（9-55）就是该边的误差方程式。式中与的系数是绝对值相等，符号相反。与的系数也是绝对值相等，符相反。2、若为已知点，则 若为已知点，则 3、若，均为知点，则该边为固定边，不需要列误差方程。4、某边的误差方程，按方向列立与按方向列立结果完全相同。 若按方向，则 按方向，则 顾及 9.7 水准网按间接平差算例例 在如图9-10所示的水准网中,为未知点,水准测量时依图中箭头所示方向观测高差,其结果及路线长度见表9-10。试求各点的相对高程，未知数及平差值的中误差。解：（1）本题为没有已知点的独立网，故。设，。令 mmm 表9-9编号观测高差（m）路线长（km）1234560.0231.1141.1420.0780.0991.216555222 图9-10（2）列误差方程，得 式中 mm mm mm mm mm mm （3）组成法方程，将误差方程系数、常数项以及权填入表9-10。 表9-10编号（mm）-1.09180.90740.1794123456-10-1+100+1-100+100+1+100+1-2+3-4000-2+3-4+1+1+122255502.3-2.7- -1+1+3-30（3）法方程解算，见表9-11。（4）求相对高程，计算改正数和平差值。令点高程为零，则各点的相对高程为 24表9-11列号行号9.00-1.0918-2.00+0.22229.008.560.9074-2.00+0.2222-2.00-2.44+0.28509.007.860.1794+12.00-1.3333-10.00-7.33+0.8563-2.00-1.41+0.179458.0035.47+17.00-1.8889-5.00-1.21+0.1413+3.00+6.43-0.8206+58.00+17.00-1.8889-5.00-1.22+0.1414+3.00+6.45-0.8206+58.0035.45+1-0.1111-1-0.78+0.09110000-0.18+6-0.6667+4+5.34-0.6239+5+7.86-1.00000+6-0.6667+4+5.33-0.6238+5+7.86-1.00000-0.18-1+0.11110-0.22+0.02570-0.28+0.035600-1-1+0.11680-0.28+0.035600000-1-1+0.1272+0.127对称+0.036+0.127+0.036+0.036+0.127将代入法方程检验:权系数检验: 测绘信息网m m m改正数计算见表9-10，高程平差值为 m m m m m m（5）精度评定 mm mm mm mm 9.8 边角网坐标平差算例 例9 今有一边角网如图9-11所示。网中、是已知点，起算数据见（表9-12），、是待定点。同精度观测了九个角度（见表9-13），测角中误差为；测量了五个边长，其观测结果及中误差见表9-13。试按间接平差法求得待定点及的坐标平差值和坐标中误差。解：1、计算待定点近似坐标。由已知点、观测角、，用余切公式计算待定点的近似坐标。由、推算到点的近似坐标方位角，再利用观测边按增量公式计算待定点的近似坐标。其结果为 图9-11m m m m表9-12点 名坐标（m）边长（m）坐标方位角31432374609361765766141571975260334502569650718978853254148478130486503505427.005206.01093144.9表9-1