高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用课件 理.ppt

第四节导数的综合应用 总纲目录 教材研读 1 利用导数证明不等式的基本步骤 考点突破 2 一元三次方程根的个数问题 考点二利用导数研究恒成立 存在性问题 考点一利用导数研究函数的零点或方程的根 考点三用导数证明不等式 教材研读 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 5 下结论 2 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 当 0 即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在r上为增函数 又易知存在x x r 使f x f x 0 即b2 3ac时 方程f x 0有两个实根 设为x1 x2 x1m a 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 b 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 c 当m0时 方程f x 0有 三个实根 d 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 e 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 考点一利用导数研究函数的零点或方程的根典例1 2016北京 20 13分 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 考点突破 3 求证 a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 因为f 0 c f 0 b 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c 所以f x 3x2 8x 4 令f x 0 得3x2 8x 4 0 解得x 2或x f x 与f x 在区间 上的情况如下表 所以 当c 0且c 0时 存在x1 4 2 x2 x3 使得f x1 f x2 f x3 0 由f x 的单调性知 当且仅当c 时 函数f x x3 4x2 4x c有三个不同零点 3 证明 当 4a2 12b0 x 此时函数f x 在区间 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 当 4a2 12b 0时 f x 3x2 2ax b只有一个零点 记作x0 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 综上所述 若函数f x 有三个不同零点 则必有 4a2 12b 0 故a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要条件 当a b 4 c 0时 a2 3b 0 f x x3 4x2 4x x x 2 2只有两个不同零点 所以a2 3b 0不是f x 有三个不同零点的充分条件 因此a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 方法技巧利用导数研究方程根的方法 1 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 2 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 3 可以通过数形结合的思想去分析问题 使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 1 1 2018北京海淀高三期末 19 已知函数f x 2ex ax2 2x 2 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 当a 0时 求证 函数f x 有且只有一个零点 3 当a 0时 写出函数f x 的零点的个数 只需写出结论 解析 1 因为函数f x 2ex ax2 2x 2 所以f x 2ex 2ax 2 故f 0 0 f 0 0 曲线y f x 在x 0处的切线方程为y 0 2 证明 当a 0时 令g x f x 2ex 2ax 2 则g x 2ex 2a 0 故g x 是r上的增函数 又g 0 0 故当x0时 g x 0 即当x0时 f x 0 故f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 函数f x 的最小值为f 0 又f 0 0 故f x 有且仅有一个零点 3 当01时 f x 有两个零点 考点二利用导数研究恒成立 存在性问题命题方向一不等式恒成立问题 典例2设函数f x aex x 1 a r 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 当x 0 时 f x 0恒成立 求a的取值范围 3 求证 当x 0 时 ln 解析 1 当a 1时 f x ex x 1 则f x ex 1 令f x 0 得x 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x0时 f x 0 f x 在 0 上单调递增 2 因为ex 0 所以f x aex x 1 0恒成立等价于a 恒成立 设g x x 0 则g x 当x 0 时 g x 0 所以g x 在 0 上单调递减 所以x 0 时 g x 恒成立 所以a 1 3 证明 当x 0 时 ln 等价于ex x 1 0 设h x ex x 1 x 0 则h x ex 由 1 易知 x 0 时 ex x 1 0恒成立 所以x 0 时 0 有 1 0 所以h x 0 所以h x 在 0 上单调递增 当x 0 时 h x h 0 0 因此当x 0 时 ln 典例3已知函数f x x alnx g x a 0 1 若a 1 求函数f x 的极值 2 设函数h x f x g x 求函数h x 的单调区间 3 若存在x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 求a的取值范围 命题方向二存在性问题 解析 1 f x x alnx的定义域为 0 当a 1时 f x 令f x 0 解得x 1 当01时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 无极大值 且当x 1时 函数f x 取得极小值 极小值为f 1 1 ln1 1 2 h x f x g x x alnx 其定义域为 0 则h x 由a 0可得1 a 0 当x 0 1 a 时 h x 0 所以h x 的单调递减区间为 0 1 a 单调递增区间为 1 a 3 由 2 可知 在 1 e 上存在x0 使得f x0 因为 e 1 所以a 当1 1 a e 即0 a e 1时 易知h x 在 1 1 a 上单调递减 在 1 a e 上单调递增 故h x 在 1 e 上的最小值为h 1 a 2 a aln 1 a 因为02 即h 1 a 2 不满足题意 综上所述 a的取值范围为 方法技巧 恒成立 与 存在性 问题可看作一类问题 一般都可通过求相关函数的最值来解决 如 当f x 在x d上存在最大值和最小值时 若f x g a 对于x d恒成立 应求f x 在x d上的最小值 将原条件转化为g a f x min 若f x g a 对于x d恒成立 应求f x 在x d上的最大值 将原条件转化为g a f x max 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 在x d上的最大值 将原条件转化为g a f x max 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 在x d上的最小值 将原条件转化为g a f x min 2 1 2017北京东城二模 18 设函数f x x2 ax a e x a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 设g x x2 x 1 若对任意的t 0 2 存在s 0 2 使得f s g t 成立 求实数a的取值范围 解析 1 当a 0时 f x x2 e x 此时f x x2 2x e x 所以f 1 3e 又因为f 1 e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为3ex y 2e 0 2 对任意的t 0 2 存在s 0 2 使得f s g t 成立 等价于 在区间 0 2 上 f x 的最大值大于或等于g x 的最大值 因为g x x2 x 1 所以g x 在 0 2 上的最大值为g 2 1 f x 2x a e x x2 ax a e x e x x 2 x a 令f x 0 得x 2或x a 当 a 0 即a 0时 f x 0在 0 2 上恒成立 此时f x 在 0 2 上为单调递增函数 f x 的最大值为f 2 4 a 由 4 a 1 得a e2 4 当00 此时f x 为单调递增函数 所以f x 的最大值为f 0 a或f 2 4 a 由 a 1 得a 1 由 4 a 1 得a e2 4 又因为 2 a 0 所以 2 a 1 当 a 2 即a 2时 f x 0在 0 2 上恒成立 此时f x 在 0 2 上为单调递减函数 f x 的最大值为f 0 a 由 a 1 得a 1 又因为a 2 所以a 2 综上所述 实数a的取值范围是a 1或a e2 4 考点三用导数证明不等式 典例4 2018北京朝阳高三期中 19 已知函数f x lnx 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求证 lnx 3 判断曲线y f x 是否位于x轴下方 并说明理由 解析 1 函数的定义域为 0 f x f 1 1 又f 1 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y x 1 即x y 1 0 2 证明 x 0 lnx 等价于xlnx 设函数g x xlnx 令g x 1 lnx 0 解得x 列表如下 因此 函数g x 的最小值为g 故xlnx 即lnx 3 曲线y f x 位于x轴下方 理由如下 由 2 可知lnx 所以f x 设k x x 0 则k x 令k x 0 得01 所以k x 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 所以当x 0时 k x k 1 0恒成立 当且仅当x 1时 k 1 0 又因为f 1 0 所以f x 0恒成立 故曲线y f x 位于x轴下方 规律总结证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 3 1 2017北京石景山一模 18 已知函数f x lnx 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求证 当x 0时