线性系统解耦

2020 4 18 1 耦合 控制量与被控量之间是互相影响 互相关联的 一个控制量的变化同时引起几个被控制量变化的现象 解耦 消除系统之间的相互耦合 使各系统成为独立的互不相关的控制回路 解耦方法 线性系统的解耦 减小耦合选择变量配对调整控制器参数减少控制回路 消除耦合串联补偿解耦状态反馈解耦 2020 4 18 2 串联补偿解耦法 状态反馈解耦法 对于多输入多输出系统 实现解耦的前提条件是输入变量的个数和输出变量的个数相同 解耦控制设计的目的是消除输入输出的关联耦合作用 实现每一个输出仅受相应的一个输入的控制 每一个输入也仅能控制一个相应的输出 在此将介绍两种经典解耦方法 时域法 频域法 2020 4 18 3 设系统是一个维输入维输出的系统 1 若其传递函数矩阵转化为对角形有理分式矩阵 2 则称该系统是解耦的 2020 4 18 4 串联动态补偿解耦 设耦合系统的传递函数矩阵为 2020 4 18 5 由上图可以求得解耦系统的闭环传递函数矩阵为 其中 3 4 由式 3 得 2020 4 18 6 将上式代入式 4 得 这就是串联补偿器的传递函数矩阵 对于单位反馈矩阵 即 此时 解耦系统的闭环传递函数矩阵为 5 2020 4 18 7 此时得到单位反馈串联补偿器的传递函数矩阵为 单位反馈解耦系统的开环传递函数矩阵为 由于解耦系统的闭环传递函数矩阵为对角矩阵 6 2020 4 18 8 2020 4 18 9 2020 4 18 10 评注 为此 首先设在串联补偿器的作用下 多输入 多输出系统已经得以解耦 2020 4 18 11 状态反馈解耦 设完全能控的多输入 多输出线性定常系统 的传递函数矩阵为 2020 4 18 12 为非对角线矩阵 其中 2020 4 18 13 选取控制规律 使得如图所示的状态反馈系统 2020 4 18 14 为解耦系统 并要求其传递函数矩阵具有如下形式 7 2020 4 18 15 其中矩阵为状态反馈矩阵 矩阵为输入变换矩阵 非奇异矩阵 是非负整数 其值由式 确定 2020 4 18 16 定理 采用式 所示的控制律 实现多输入 多输出线性定常系统 状态反馈解耦的充分必要条件是 矩阵 2020 4 18 17 为非奇异 其中 为了使解耦系统 具有式 7 所示的传递函数矩阵 2020 4 18 18 其中矩阵定义为 其中为系统输出矩阵的行向量 2020 4 18 19 因此 系统的极点全都等于零 因此 不便直接应用 通常的解决办法是 2020 4 18 20 例2 已知完全能控的多输入 多输出线性定常系统 其中 2020 4 18 21 解 计算给定系统的传递函数矩阵 2020 4 18 22 从传递函数矩阵看出 由于 2020 4 18 23 均不为零 所以在给定系统中存在着耦合现象 为确定矩阵 需要按照式 来计算 2020 4 18 24 2020 4 18 25 其中 由此求得 2020 4 18 26 由于 故 矩阵为非奇异 满足给定系统实现积分型解耦的充分必要条件 为确定矩阵 需要计算 2020 4 18 27 2020 4 18 28 由此求得 现在计算状态反馈矩阵 2020 4 18 29 现在计算输入变换矩阵 最后 计算解耦系统的传递函数矩阵 2020 4 18 30 2020 4 18 31 例19 考虑双容水箱的水位调节系统 2020 4 18 32 偏差状态空间开环模型 这里对水箱的结构进行了改造 两个水箱的水位偏差均可测量 这就构成了一个2输入2输出2阶线性定常系统 2020 4 18 33 开环系统的传递函数矩阵为 2020 4 18 34 开环系统的输入 输出关系为 显然这是一个耦合系统 在此我们进行状态反馈解耦控制设计 2020 4 18 35 状态反馈解耦控制律为 2020 4 18 36 2020 4 18 37 由此求得 2020 4 18 38 为确定矩阵 需要计算 2020 4 18 39 由此求得 状态反馈矩阵为 2020 4 18 40 输入变换矩阵为 闭环传递函数矩阵为 2020 4 18 41 从参考输入到输出信号的传递关系为 系统解耦已实现 写成时域动态关系为 这是一个临界稳定的解耦系统 很遗憾 在实际中是行不通的 2020 4 18 42 现在可以分别对两个相互独立的通道进行进一步设计 进一步引入输出反馈控制律 代入后可得 其中就是人为配置的极点 同理可以引入输出反馈控制律 2020 4 18 43 最终得出完整的反馈