2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷（原卷及解析）【测试范围：人教A版选择性必修第一册全部内容】

-2026学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部内容。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则的值为（）A．1B．C． D．3．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（

）A．或 B．C． D．4．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（

）A．6 B．4 C． D．5．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．36．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（

）A． B． C． D．7．设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（

）

A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，，，则（

）A．直线的单位方向向量是B．平面的一个法向量是C．四点共面D．点到直线的距离为10．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．的最大值为D．圆心到直线的距离最大为411．已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（

）A．B．的最小值为C．若，则D．若、同在的左支上，则直线的斜率第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为．13．在四面体中，点为的重心，，，分别为，，的中点，且，则实数.14．抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线经过点.（直线要求化成一般式）(1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.16．（15分）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．17．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，试求直线的方程.18．（17分）折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.

(1)证明：平面；(2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由；(3)求二面角的余弦值.19．（17分）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.(1)求的渐近线方程：(2)求面积S的最小值：(3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部内容。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两直线垂求出直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率，因为直线与直线垂直，所以，即，设直线的倾斜角，则，所以直线的倾斜角.故选：C.2．已知向量，，若，则的值为（）A．1 B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值.【详解】由已知得，，且，由得，，即，解得故选：D3．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可.【详解】因为焦距为8，所以，即．若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则，此时，椭圆不存在，舍去；若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则，此时，，所以，椭圆存在，故椭圆的焦点在轴上，标准方程为．故选：C4．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（

）A．6 B．4 C． D．【答案】B【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解.【详解】圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，则，所以.故选：B.5．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得.【详解】过点作抛物线的准线于点，由抛物线定义可得，则，当且仅当、、三点共线，抛物线的准线，即时，有最小值.故选：B.6．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算表示，利用共面求出参数，据此求出即可得解.【详解】如图，设，则．又，，，四点共面，所以，解得，所以，，得．故选：A7．设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解.【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直，如图所示，则，由点到直线的距离公式可得，又，所以．设，则，得，从而，由，解得，由，得，解得．从而可得，所以离心率．故选：D．8．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目建立空间直角坐标系，再利用题干给出的条件列方程，找出轨迹端点进而算出轨迹长度.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面的法向量为，则，令，则，，故，设，则，，，又，，整理得，联立方程，则，可得，解得，当时，；当时，，记的中垂面为，又是内（包括边界）的动点，在空间中满足，点的轨迹是平面与三角形的公共部分，即点的轨迹为线段,则,故选：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，，，则（

）A．直线的单位方向向量是B．平面的一个法向量是C．四点共面D．点到直线的距离为【答案】BC【分析】对于A：利用直线的单位方向向量为，可判断；对于B：设平面的法向量是，利用，可得；对于C：利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断；对于D：利用空间向量点到线的距离公式可判断.【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或（注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误；对于B：设平面的法向量是，因为，，所以则.令，可得，故B正确；对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确;对于D：，，，则点到直线的距离为，故D错误.故选：BC10．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．的最大值为D．圆心到直线的距离最大为4【答案】BC【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，是圆上的点，所以的最大值为，A错误.对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B正确.对于C，设，则，等号成立当且仅当，所以C正确.对于D，圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D错误.故选：BC11．已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（

）A．B．的最小值为C．若，则D．若、同在的左支上，则直线的斜率【答案】ACD【分析】利用焦点到渐近线的距离可得出的值，再结合双曲线的离心率可求得、的值，再结合余弦定理可求出，可判断A选项；取直线的斜率为，求出的值，可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理以及判别式求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，设双曲线的一条渐近线为，即，则到直线的距离为，因为以为圆心的圆与相切于点，所以，因为，即，则，又，即，所以，.在中，，在中，，，，所以，故A正确；

对于B选项，当直线的斜率为时，、两点分别为双曲线的顶点，则，又因为，即的最小值不可能为，故B错误；对于C选项，因为，又，且，所以在的右支上，所以，所以，故C正确；对于D选项，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立，可得，因为直线与双曲线交于右支的两点，所以，，解得或，D对.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为．【答案】/【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算.【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即，因直线与直线平行，则，得，则直线与之间的距离为.故答案为：13．在四面体中，点为的重心，，，分别为，，的中点，且，则实数.【答案】3【分析】以为基底，将均用基底表示出来，利用表示的唯一性即可求出k的值．【详解】如图，连接，则，故，而，故．故答案为：3．14．抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为．【答案】【分析】先根据抛物线的性质得出直线过定点，进而确定点的轨迹方程，再根据两圆的位置关系求出的最大值.【详解】在抛物线中，若，即，根据抛物线的性质可知直线过定点.下面证明：设，.因为，则，时，.直线的斜率.直线方程为，即.把代入得.所以直线过定点，如下图：因为，所以点是以为直径的圆上的动点.的中点坐标为，.则点的轨迹方程为（）.点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去原点），点在圆上，圆的圆心为，半径.两圆的圆心距.的最大值为圆心距加上两圆的半径，即.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线经过点.(1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，又经过点，则方程为：，即：，所以直线的方程为.（2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点，则直线的方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，则有，解得，即直线的方程为，所以直线的方程为或.16．（15分）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，，于是有①，因为点A在圆上运动，即：②，把①代入②，得，整理，得，所以点P的轨迹的方程为．（2）将圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，则.17．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，试求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用椭圆过已知点以及向量数量积的条件，结合椭圆中的关系，求解椭圆的标准方程即可.（2）先分析特殊情况（直线与轴垂直），再设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合线段长度的比例关系建立方程，求解直线的斜率，进而得到直线方程.【详解】（1）根据题意作图如下：

设，椭圆过点，所以有，，又，则，所以，则，所以，整理得，因为，所以解得，故椭圆的方程为.（2）根据题意作图如下：

若，则.当直线与轴垂直时，其方程为，则，，不满足题意.设直线的方程为，代入椭圆方程得，整理得，即.设，则①，②.因为，在直线上，且在的两侧，所以，则，所以③.由①③解得，代入②，得解得，所以直线的方程为，即或，综上，直线的方程是或.18．（17分）折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.

(1)证明：平面；(2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3).【分析】（1）首先利用线面垂直证明得平面，则，同理得，最后利用线面垂直的判定即可证明；（2）假设所有顶点在同意球面