部分压开井渗流井底瞬时压力计算.doc

部分压开井渗流井底瞬时压力计算摘要:论文将实际的垂直裂缝井简化成裂缝高度小于地层有效厚度的矩形,在此基础上采用乘积解给出该问题渗流的地层压力及井底瞬时压力（详见）. 使用Laplace 变换技术,给出考虑井筒存储及表皮系数的部分压裂垂直裂缝井在Laplace 空间上的井底压力解,最后通过Laplace 数值反演给出考虑井筒存储及表皮系数的部分压开垂直裂缝井无量纲压力及导数.1、引言水力压裂是开发低渗油气藏的重要措施之一. 在对油气藏进行水力压裂时,一般认为油层埋藏深度在1 000 m 以下的裂缝是垂直裂缝,为了评价垂直裂缝井的压裂效果,就必须对垂直裂缝井的井底压力进行分析.垂直裂缝井由于计算模型复杂,所以目前对所有的垂直裂缝井井底瞬时压力都假设垂直裂缝的高度与油层有效厚度相等,即认为是完全压裂油层. 在此假设下,垂直裂缝井井底瞬时压力的求解方法比较成熟1,2,3 . Gringarten4等人用误差函数给出了无限大地层均匀流量型垂直裂缝和无限传导型垂直裂缝井的瞬时地层压力,同时给出了时间较小时和时间较大时的井底瞬时压力渐近解. Cinco-ley5等人将渗流方程变成一组积分方程,然后采用数值方法求解积分方程,得到了裂缝内压力和流量的数值解. Cinco-ley6,7等人进一步研究了有限传导垂直裂缝,提出了有限传导垂直裂缝双线性流模型,考虑井筒存储(C) 及表皮系数(S) , 利用Laplace 变换及数值反变换技术,得到了双线性流模型下考虑无量纲井筒存储(CD) 及表皮系数(S) 和不考虑CD 、S 有限传导垂直裂缝井底瞬时压力及其导数解.Lee8发展了Cinco-ley 等人的有限传导垂直裂缝双线性流模型,提出了考虑井筒存储、表皮系数和裂缝存储的有限传导垂直裂缝三线性流模型,同样利用Laplace 变换及数值反变换技术,得到了三线性流模型有限传导垂直裂缝井底瞬时压力及其导数解. 针对有界地层垂直裂缝井这一难题,给出了考虑井筒存储、表皮系数的有界地层垂直裂缝井井底瞬时压力及其导数解.上述所有的模型及方法都是基于垂直裂缝的高度与油层有效厚度相等这一假设. 然而,实际水力压裂井垂直裂缝形状往往非常不规则,垂直裂缝的高度与地层有效厚度也并不相等,实际的垂直裂缝在井壁附近的高度与地层有效厚度近似相等. 随着裂缝半长的增加垂直裂缝高度小于地层有效厚度,形成“舌形”,如图1 所示. 图1 实际垂直裂缝形状 图2 部分压开垂直裂缝井模型本文针对实际垂直裂缝复杂的形状,将垂直裂缝简化成矩形且假设垂直裂缝高度小于地层有效厚度,即部分压裂垂直裂缝井(如图2 所示) . 在此基础上给出井底瞬时压力解,同时考虑井筒存储及表皮系数对井底瞬时压力的影响.2、数学模型及求解在对油井实施水井压裂，如果产生垂直裂缝，则不可能是理解的情况，即垂直裂缝高度与油藏有效厚度相等，而多数垂直裂缝形状是不规则的，为比较真实地反应实际情况，假定裂缝为矩形且垂直裂缝的高度小于油藏有效厚度，我们称之为部分压裂垂直裂缝井。对于这种情况下的井底压力计算采用以下图形表示，如图2所示。 （1） （2） （3） （4） （5）对于微可压缩的流体,地层压力与流体密度之间为线性关系. 从图2 可以看出: x 、y 方向为无限大, z 方向有界,而密度方程及定解条件都为线性. 则可以使用乘积解给出无限大地层中,该模型无表皮及井筒储存情况下的压力分布,如下式所示:（6）其中: 为径向导压系数, 为垂向导压系数.为使方程的解更加简洁,需要定义如下无量纲参数:式中: kr 、kz 分别为径向与垂向地层渗透率(m2) ; b、xf 、zw 分别为垂直裂缝半高、垂直裂缝半长、垂直裂缝(位置见图2,m) ; q 为油气井地面产量(m3/ d) ; 为地层条件下的流体粘(mPaS) ; 为地层孔隙度; Ct 为地层综合压缩系数(1/MPa) ; h 为地层有效厚度(m) .通过以上无量纲量,可以得到无量纲压力（8）其中: 分别是无量纲形式函数,表达式如下:石油工程中人们关心的是井底压力,对于无限大地层的垂直裂缝井,可采用均匀流量及无限传导的假设,对均匀流量垂直裂缝取方向取平均值. 对方程(8) 在ZD 方向取其平均值得到井底瞬时压力 （9）式中如果考虑井筒存储及表皮系数,则井底压力PWD 可表示成（10）对方程(10) 进行Laplace 变换,最终得到Laplace 空间上的井底压力为 （11）其中: 是PfD 的Laplace 空间上的解; u 为Laplace 空间的变量; 为无量纲井筒存储系数; S 为表皮系数.3 解的结果及讨论对Laplace 空间上的井底压力进行Laplace 数值反演,可以得到实际空间上的井底无量纲压力及导数,图3 为考虑井筒存储及表皮系数的均匀流量型垂直裂缝压力及其导数双对数图,图4 为该参数下井底无量纲压力半对数图. 图3 及图4 的计算参数都为 CD =0.01 , S = 1 , ZWD = 0. 682 5 , BD = 0. 365 , hD = 1600. 从图3 及图4 可以看出:图3 双对数压力及导数图 图4 无量纲井底压力半对数图1) 当无量纲时间较小时,无量纲压力与导数双对数图重合,且斜率为1 的直线段,表明受井筒存储影响;2) 无量纲时间在110 范围内,由于受裂缝壁面的污染影响,存在井筒存储段向裂缝线性流段过渡;3) 无量纲时间在10100 范围出现裂缝线性流段,在井底无量纲导数双对数图上表现为斜率为存在一条1/ 2 的直线段.4) 无量纲时间在102104 时间段时,是假定油藏有效厚度为b 时的径向流段, 在井底无量纲导数双对数图上表现为数值为1 (2BD) 的水平线段. 在井底无量纲压力的半对数图上有一条直线段,如图4 中的虚线.5) 无量纲时间在104105 时间段,为部分压开时的流动特征,在井底无量纲导数双对数图上表现为存在斜率为- 1/ 2 直线段,即部分压开的球形流段.6) 无量纲时间大于105 的时间段为地层的总径向流动段,在井底无量纲导数双对数图上表现为数值为0. 5 的水平线段. 在井底无量纲压力的半对数图上有一条直线段,该直线段与第一条直线段相交,该直线段的斜率是第一条直线段斜率的2BD 倍, 如图4 中的实线.我们可以从上述方程的精确解中,得到部分时间段下井底无量纲压力的渐近解. 当无量时间较小时,即当tD 0 时,Laplace 变换的变量u , 方程(11) 可近似简化成 （12）对方程(12) 进行Laplace 变换,可以得到无量纲时间较小时的井底无量纲压力表达式PSD =tD/ CD. 该式表明:当无量纲时间较小时,无量纲压力双对数图上有一条斜率为1 的直线段.当井筒存储结束后,地层可能会出现裂缝线性流,进一步简化方程(9) ,井底无量纲压力(无井筒存储及表皮系数) 可近似成 （13）式中: 为误差函数；为指数积分函数；当无量纲时间较小时erf ( x) 1 ,而- Ei ( - x) 0 , 方程(13) 可近似成线性流解 （14） 采用同样方法可以得到在球形流动期间和径向流动期间的无量纲井底压力的近似解,由于受文章篇幅限制,本文不一一推导.4 结论1) 本文使用乘积原理与Laplace 变换技术给出部分压开垂直裂缝井底无量纲压力及其导数的半解析半数值解;2) 在