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企业退休职工养老金制度的改革摘要现在我国养老保险改革正处于过渡期，进一步健全和完善养老保险制度具有重大现实意义。以山东省某企业职工的养老金替代率和养老基金收支平衡为研究课题，本文建立了一般的精算模型和考虑职工收入梯度的“收入分级”精算模型。在此基础上，本文对影响替代率及收支平衡的风险影响因素进行了定性和定量分析，提出了有利于兼顾目标替代率和基金收支平衡的建议。针对问题一，本文首先根据原始数据走势特征建立了三种不同预测模型。通过拟合检验，并与发达国家平均工资水平对照，最终确定正交多项式最小二乘法为最佳预测函数。进而得到2011年-2035年山东省职工的年平均工资的预测值，结果合理。针对问题二，我们首先依据附件2数据求出职工缴费指数的参考值，建立了一般养老金替代率模型。在此基础上引入“收入分级”概念，将职工按照工资水平分为低等收入、中等收入、高等收入三类，对模型进行了改进。得到了三类收入级别企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始交养老保险一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）的养老金替代率。经过敏感性分析，定量求出了退休年龄和缴费年限对替代率的影响。针对问题三，根据现值和终值的计算原理建立养老基金收支平衡精算模型，以职工个体为研究对象计算个人养老基金缺口。结合“收入分级”模型计算得到某职工2000年起从30岁开始交养老保险一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），75岁死亡的基金缺口以及收支平衡点。针对问题四，本文在已有模型中提取了替代率及收支平衡的风险影响因素，并对主要因素进行了分析，提出了有利于兼顾目标替代率和基金收支平衡的建议。本文的特色是建立了区分职工收入梯度的“收入分级”养老金精算模型。最后以兼顾替代率和收支平衡为目的，提出建立多目标决策模型的思路，不过时间限制未能实现。 关键词 多项式拟合 最小二乘 养老金精算 替代率 收支平衡 风险因素 多目标决策1 问题重述现在我国养老保险改革正处于过渡期，养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。需要解决的问题：（1）预测：以1978-2010年山东省职工历年平均工资统计数据为参考，建立预测模型，预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。（2）养老金替代率的计算：建立替代率模型，并计算职工自2000年起分别从30、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁）这六种情况下的养老金替代率。在这个问题中，允许把该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值。（3）该企业某职工养老保险基金缺口的计算：该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁），退休后一直领取养老金直到75岁死亡。需要建立基金缺口模型，并计算三种情况下的职工养老保险基金缺口，进而得到收支平衡的临界点。（4）影响因素分析：提取养老保险金的影响因素进行分析。采取合理的措施，既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡。2 问题分析2.1 问题一的分析我们首先查找文献来了解中国经济近年发展情况。中国经济自1991年开始出现回升,GDP增长从1990年3.9%上升到8.0%。改革开放以来中国整体国民经济体系开始转向工业化发展，以这样的趋势中国经济在未来几十年内还会持续上升。故有理由认为中国企业职工的工资水平也会随着经济的持续增长而上升。根据附件1“山东省职工历年工资统计表”给出的数据，画出散点图，通过观察图像特征即可选择合适的预测模型。可供选择的预测模型包括指数模型，多项式模型，差分阻滞模型等。在附件1数据中留出少量数据用于拟合检验。若吻合度较高，即可用于拟合山东省职工历年工资随时间变化的函数曲线。通过模型计算得到得2011-2035年平均工资的预测值，还需进一步分析是否符合实际。 2.2 问题二的分析若将2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值作为职工缴费指数的参考值，而这些参考值在一个五年的时间段内为常数。本应逐年计算的缴费指数得到了简化，进而减少了附件三给出的“本人指数化月平均缴费工资”公式的计算量。首先利用“养老金=基础养老金+个人账户养老金”的公式求出职工刚退休时的养老金，然后求出职工退休前的工资，即可建立替代率精算模型。职工自2000年起分别从30、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁），这六种情况相当于对模型中的退休年龄和缴费年限做出不同设定。对六种情况的替代率计算结果进行敏感性分析，我们可以得到退休年龄和缴费年限对替代率的影响。以此可印证现在呼声愈高的“适当延长退休年龄”措施是合理的。注意到企业职工依据个人工资与平均工资的比值不同可分为：低等收入、中等收入、高等收入，我们可以建立起新的考虑“收入分级”的替代率精算模型。2.3 问题三的分析根据现值和终值的计算原理，养老保险基金的缴费收入在满足各年养老金发放之后在目标期末结余为零，则可看做养老保险基金在目标期内实现了收支平衡。养老保险基金的收支不平衡则是指当养老保险基金在目标期末出现收大于支的结果，即出现了缺口。建立收支平衡模型时假定统筹账户基金不计息，个人存储账户以一定利率计息。同时注意到养老金随着经济水平的提高而增长，需要考察养老金及其增长率的变化趋势。2.4 问题四的分析影响替代率和收支平衡的风险影响因素很多，包括退休年龄，工资增长率，缴费年限，缴费率，利率，死亡极限年龄等。我们将对主要因素逐一分析，尤其需要重点讨论工资增长率，缴费年限和退休年龄。若要兼顾目标替代率和收支平衡，问题转化为多目标决策。可以采用目标排序法来确定替代率和收支平衡在决策中的重要性差异，进而建立多目标决策模型。需要注意的是，替代率和基金缺口量纲不同，需做无量纲化处理。3 假设与说明1) 假设研究对象为标准人，即个人工资增长率等于社会工资增长率2) 假设个人账户储存额以利率3%计息3) 假设不考虑男女职工的性别差异4) 假设职工不间断缴费，无需缴纳基金管理费5) 假设不考虑隐形债务及其通货膨胀4 符号的使用：职工刚退休时的养老金：基础养老金：个人账户养老金：个人账户储存额：全省前一年度平均工资 职工退休前一年的工资：替代率：计发月数：退休前一年龄分段（步长为五年）职工的参考缴费指数：是距离退休的时间：初缴费年度全省在岗职工月平均工资：全省在岗职工平均工资增长率：退休后第j年的养老保险缺口：退休后第j年累计领取的养老金数额：退休后第j年养老金账户余额：职工退休第j年时的年龄：职工退休年龄：养老金的年平均增长率5 预测模型的建立与求解5.1图像处理将附录一数据绘制散点图（图5.1）图5 .1 1978-2000年山东省平均工资散点图5.2预测模型建立以1978年作为初始值，t为自变量、平均工资为因变量分别建立指数拟合模型、差分阻滞模型、正交多项式最小二乘模型。5.2.1指数模型建立指数函数模型： （5.1）用MATLAB绘制出其函数曲线（图5.2），并拟合得到参数值（相关程序代码见附录1） ，则有 （5.2）图 5.2 指数拟合曲线5.2.2差分模型 （5.3）5.2.3正交多项式最小二乘拟合模型设山东省平均工资关于时间t的变化函数为 （5.4）其中32分别代表1978-2010各年，即记1978年为第1年， 。已知一组数据，。代表第年指标的真实数据。求参数,使得 （5.5）有最小值。由多元函数取得极值的必要条件得 （5.6）即有未知量为的正规方程组 （5.7）观察离散图可判断曲线走向符合二次多项式特征。设关于时间的函数为 （5.8）已知相应的一组数据分别为，。附件中最后五个数据留作模型检验。求参数，使得 （5.9）有最小值。MATLAB编程求解4，得 （5.10）即 （5.11）MATLAB绘制函数曲线（图5.3）图 5.3 正交多项式最小二乘拟合曲线5.3三种模型结果分析及检验5.3.1指数模型预测结果结果见表5.1表5.1 指数模型预测2011-2035年山东省职工年平均工资年份t平均工资年份t平均工资2010333207420234618177020113437212202447206710201235424592025482358602013364844620264926912020143755276202750307060201538630702028513503502016397196220295239975020174082108203053456110201841936852031545204202019421068902032555938002020431219702033566775202021441391602034577730502022451587802035588820405.3.2差分模型预测结果结果见（表5-2）表5-2 差分模型预测2011-2035年山东省职工年平均工资年份平均工资年份平均工资201032074202315040820113462620241699912012391352025192123201344230202621713820166385320293134742017721672030354288201881563203140041720199218220324525512020104185203351147320211177492034578067202213308020356533315.3.3多项式最小二乘法模型预测结果结果见（表5-3）表5-3 多项式最小二乘模型预测2011-2035年山东省职工年平均工资年份t平均工资年份t平均工资201021320742023348699820112234718202435924822012233812120253698139201324416972026371039702015264937020283911615020172857737203041129030201930667972032431425902020317158720334414964020213276550203445156860202233816882035461642505.3.3模型检验（1）以2006-2010年的五个历史数据对三种模型分别作拟合检验：指数模型和差分模型的误差非常大。多项式最小二乘模型有良好的吻合度。（2）以发达国家平均工资标准做检验：查询国家统计局数据资料，我们搜集了部分发达国家、地区的人均年工资水平5（见表5.4） 表5-4 发达国家年平均工资水平国家（地区）人均年工资水平美国299052日本261768英国256920德国235320中国香港184392时至2035年，指数模型、差分模型、多项式最小二乘模型预测山东省职工平均工资结果分别为：882040元，653331元，164250元前两个模型的预测值远远超越高等发达国家的工资水平。二次多项式模型的预测结果在五十年内都非常吻合我国实际经济发展水平，也能顺利达到在二十一世纪中叶进入中等发达国家行列的目标。结论：若后续模型需要用到山东省未来平均工资的预测值，我们将弃用指数模型和差分模型，而选用用多项式最小二乘法模型计算出的数据，作为对2011-2035年山东省职工的年平均工资的预测。 6 替代率精算模型的建立与求解6.1 “缴费指数”的计算在对附件2“2009年山东省某企业各年龄段工资分布表” 中各年龄段职工的月收入数据处理时，认为用中值代替真值是合理的。然后用excle计算出该企业各年龄段职工的平均值在企业平均工资中所占比重，既可作为缴费指数的参考值结果。(见表5.5) 表6.1 该企业各年龄段职工的平均工资、企业平均工资及比值年龄段职工平均工资企业平均工资比值20-24岁1726.525720.6725-29岁2093.625720.8130-34岁2532.625720.9835-39岁2747.325721.0740-44岁3010.825721.1745-49岁3244.425721.2650-54岁3103.225721.2155-59岁2962.425721.15 6.2 养老金替代率模型的建立与求解结合2005年颁布的国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定，我们知道养老金的计算方法：（1）记作 （6.1）（2）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%。记作 （6.2）其中s为本人指数化月平均缴费工资 （6.3） （6.4）（3），记作 （6.5） （6.6）6.2.1 一般替代率模型的建立替代率的计算公式为：，记作 （6.7）其中 （6.8） 6.2.2 “收入分级”替代率模型的建立以企业职工平均工资作为基点，对职工进行简化分类：低等收入职工：个人工资=0.5，记=0.5中等收入职工：个人工资=，记=1高等收入职工：个人工资=1.5，记=1.5此种情况下的替代率模型为 （6.9）其中 （6.10）6.3 模型求解6.3.1低收入人群六种情况下养老金替代率结果表6.1 低收入职工六种情况下养老金替代率缴费年龄段全省上半年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数个人账户存储额养老金替代率40-55岁37871.21317459.87731.25240.19309540-60岁5566.4171.197532851.551459.5620.26220940-65岁7706.8331.17855922.422651.8730.34409430-55岁7706.8331.13855922.422388.6070.30993430-60岁102081.1488843.613915.9310.38361430-65岁13071.671.134134132.76209.6620.4750476.3.2中等收入人群六种情况下养老金替代率结果表6.2 中等收入职工六种情况下养老金替代率缴费年龄段全省上半年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数个人账户存储额养老金替代率40-55岁37871.21334919.73833.95750.22021640-60岁5566.4171.197565703.091695.9040.30466740-65岁7706.8331.178111844.83205.560.41593730-55岁7706.8331.1381118442717.5570.35261730-60岁102081.14177687.24555.0930.44622830-65岁13071.671.134268265.57537.7090.5766456.3.3高等收入人群六种情况下养老金替代率结果表6.3 高收入职工六种情况下养老金替代率缴费年龄段全省上半年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数个人账户存储额养老金替代率40-55岁37871.21352379.6936.66260.24733640-60岁5566.4171.197598554.641932.2460.34712640-65岁7706.8331.178167767.33759.2480.48778130-55岁7706.8331.138167767.33046.5180.39530130-60岁102081.14266530.85194.2560.50884230-65岁13071.671.134402398.28865.7560.678242所有情况汇总如表6.4表6.4 低、中、高收入职工六种情况下养老金替代率汇总各个年龄段低收入人群的替代率中等收入人群的替代率高收入人群的替代率30-55岁0.3099340.3526170.39530130-60岁0.3836140.4462280.50884230-65岁0.4750470.5766450.67824240-55岁0.1930950.2202160.24733640-60岁0.2622090.3046670.34712640-65岁0.3440940.4159370.4877816.4敏感性分析针对缴费年限及退休年龄作敏感性分析，excel画出趋势图，（见图6.1，图6.2）由替代率的增长率走势图可知：（1）退休年龄固定，缴费年限增加，替代率的增长率随缴费年限增多而减少。替代率的增长率逐渐稳定于3%（2）缴费年限固定，缴费年龄越小替代率的增长率越大图6.1 山东省替代率增长率随缴费年限变动趋势图图6.2 固定退休年龄山东省替代率增长率随缴费年限变动趋势图 7 养老金缺口精算模型的建立与求解7.1 养老金缺口模型的建立根据现值和终值的计算原理，养老保险基金的缴费收入在满足各年养老金发放之后在目标期末结余为零，则可看做养老保险基金在目标期内实现了收支平衡。建立收支平衡模型时假定统筹账户基金不计息，个人存储账户以一定利率计息。同时注意到养老金随着经济水平的提高而增长，需要考察养老金及其增长率的变化趋势。养老保险基金缺口=养老保险基金发放支出养老保险基金缴费收入 （7.1） （7.2） （7.3）则有（7.4） （7.5）7.2养老金缺口模型的求解针对企业某职工从2000年自30岁、40岁起缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取至75岁死亡。养老保险基金的缺口计算结果部分列表如（表7.1），表7.1 从30岁缴纳到55岁退休从30岁缴纳到60岁退休从30岁缴纳到65岁退休年龄养老金支出与收入之差年龄养老金支出与收入之差年龄养老金支出与收入之差5629178861445719666432836013966565822627017215475-144711875-107164075-623512当该职工领取养老金到64岁时，达到收支平衡。当该职工领取养老金到66岁时，达到收支平衡。当该职工领取养老金到72岁时，达到收支平衡。7.3养老金缺口模型的定性分析可以发现，适当的延长退休年龄可以延缓养老保险基金入不敷出年度的到来。 8 养老金精算模型的影响因素分析影响替代率和保险基金收支平衡的因素很多，包括就业年龄、退休年龄、工资增长率、缴费年限、缴费率、利率、死亡极限年龄等。我们首先对主要因素逐一分析，尤其需要重点讨论工资增长率，缴费年限和退休年龄。已有研究成果表明，目标替代率降低的时间长度对收支平衡产生负影响。有数据显示，目标替代率下降时间从35年降低到15年，即可令赤字年份推迟到2050年以后。 若要兼顾目标替代率和收支平衡，问题转化为多目标决策。可以采用目标排序法来确定替代率和收支平衡在决策中的重要性差异，进而建立多目标决策模型。需要注意的是，替代率和基金缺口量纲不同，需做无量纲化处理。下面结合问题二和问题三建立的替代率模型和收支平衡模型，对上述主要因素逐一分析。分析某一因素时假定其他因素保持不变。8.1 替代率的影响因素分析（1）缴费年限对替代率的影响其它条件不变，缴费年限m增加，替代率增加。 （2）退休年龄对替代率的影响其它条件不变，退休年龄b增加，替代率增加。（3）工资增长率对替代率的影响其它条件不变，工资增长率k增加，替代率会下降。随着中国经济发展，原本高替代率低保障的基本养老保险必然会被低替代率高保障的养老保险所取代。8.2养老金收支平衡的影响因素分析（1） 缴费年限对养老保险基金平衡的影响其它条件不变，缴费年限增加，会使得养老金支出减小，收入增加，有利于减小缺口，维持收支平衡。（2）退休年龄对养老保险基金平衡的影响其它条件不变，延迟退休年龄，会使得养老金支出减小，收入增加，有利于减小缺口，维持收支平衡。（3）工资增长率对养老保险基金平衡的影响工资增长率增加，基金收入增加。增长率越高，基金缴费总额越大，基金缴费收入增加越快；反之越慢。3另一方面，工资增长率越高，养老金发放额越大，因为养老金与职工工资同步增长。综合两方面结论是：工资增长率增加，会使得基金缺口增大。故应该适当降低工资增长，来维持基金收支平衡。（4）除了控制以上因素达到收支平衡和目标替代率，还可以采取扩大范围 、成立基金投资、商业社保、避免个人账户受通货膨胀的影响，保障个人账户平稳增长等措施。8.3兼顾替代率和收支平衡的多目标决策模型可以根据不同需要，为替代率和基金缺口设置不同权重。若看重替代率，看轻缺口，可设置权重分别为0.3 ，0.7。若认为二者重要程度相当，权重设置分别为0.5 ,0.5即可。这样就可以对替代率和收支平衡的风险因素做定量评价了。时间原因，本文中无法实现。9 模型评价与改进9.1 模型的评价在预测模型中，本文最终选定正交多项式最小二乘法拟合历史数据作为最佳预测函数。与普通最小二乘法相比，正交最小二乘拟合的精确度更高。灰色预测也是常选用的一种预测方法。但本文中所知数据比较多、预测时期长，灰色预测并不适合。在正确、清楚地分析养老保险背景原理的前提下，做出合理的简化假设，建立了替代率精算模型和收支平衡精算模型，具有较高的可行性。本文的优点包括：（1）针对若干种预测模型进行拟合检验，选定最佳模型。（2）建立区分低收入职工、中收入职工和高收入职工的“收入分级”模型。（3）替代率模型建立后，进行了敏感性分析（4）以兼顾替代率和收支平衡为目的，提出建立多目标决策模型的思路。模型的不足和改进方向（1）实际生活中男女退休年龄是不同的，本文假设男女无差异。今后可以建立考虑男女性别的养老金模型。（2）在对替代率和收支平衡作风险因素分析的过程中，还可以利用“主成分分析法”确定多个因素的影响水平。若赋予权值，即可建立综合评价模型。也可结合模糊数学知识建立模糊综合评价模型。（3）本文最后提到的兼顾替代率和收支平衡的多目标决策模型，因时间关系未能实现。这可作为今后模型优化和改进的方向。参考文献1 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2010年；2 邓大松 李琳，中国社会养老保险的替代率及其敏感性分析，武汉大学学报（哲学社会科学版）2009.097-1053 吕志勇，王霞，张良，新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析-以山东省为例，山东大学学报（哲学社会科学版），2009,14 龚纯，王正林，MATLAB语言常用算法程序集，电子工业出版社，2008年5世界各国工资水平/s/blog_48a5982f0100r2l3.html 2011.9.116中华人民共和国国家统计局/ 2011.9.11附录1.指数预测模型t=1:1:33;x=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0