2016_17学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修.docx

2.3.1平面向量基本定理1理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义(重点)2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量(重点)3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)基础初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P74P75第一自然段的内容，完成下列问题1定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底()(2)0能与另外一个向量a构成基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()【解析】平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的(1)，(3)正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2平面向量的正交分解阅读教材P75第二自然段的有关内容，完成下列问题一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解如图231，在ABC中，P为BC边上一点，且.图231(1)用，为基底表示_；(2)用，为基底表示_.【解析】(1)，.(2).【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型基底的概念理解设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是_e1e2和e1e2；3e14e2和6e18e2；e12e2和2e1e2；e1和e1e2；2e1e2和e1e2.【精彩点拨】验证所给向量是否共线，若共线则不能构成基底【自主解答】由题意，知e1，e2不共线，易知中，3e14e2(6e18e2)，即3e14e2与6e18e2共线，不能作基底中，2e1e22，2e1e2与e1e2共线，不能作基底【答案】向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e10，e20，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等均不能构成基底再练一题1若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底【解】设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底用基底表示向量如图232所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来图232【精彩点拨】以，为基底表示向量，注意三角形法则的应用【自主解答】ab，b(ab)ab，()(ab)1若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系2若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，然后用上述方法求解再练一题2如图233所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，. 【导学号：06460051】图233【解】设a，b，则由得(2e1e2)，e2e1；e2e1.探究共研型平面向量基本定理与向量共线定理的应用探究1平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？【提示】是的探究2若e1，e2不共线，且e1e20，则，满足什么关系？【提示】0.如图234，在ABC中，点M是BC的中点，N在AC上上且AN2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值图234【精彩点拨】选取基底，表示，设，由求，的值【自主解答】设a，b，则(ab)，ab.A，P，M共线，设，(ab)，同理设，ab.，a(ab)，ab.a与b不共线，APPM41.1充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用2用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握再练一题3如图235，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AIIH的值图235【解】设a，b，则ab，ab.设，ab，又b(ab)a(1)b，故1，.AIIH21.构建体系1对于下列说法中：一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中正确的说法是_【解析】由平面向量基本定理直接就可推知正确【答案】2如图236所示，ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以e1，e2为基底时，_.图236【解析】e1，e2，e1e2.，(e1e2)，e2(e1e2)e1e2.【答案】e1e23向量a在基底e1，e2下可以表示为a2e13e2，若a在基底e1e2，e1e2下可表示为a(e1e2)(e1e2)，则_，_.【解析】由条件可知解得【答案】4设一直线上三点A，B，P满足m(m1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为_. 【导学号：06460052】【解析】由m，得m()，mm，.【答案】5已知G为ABC的重心，设a，b.试用a，b表示向量.【解】连结AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，()()ab.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十八)平面向量基本定理(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是_【解析】如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底【答案】2已知向量a和b不共线，实线x，y满足向量等式(2xy)a4b5a(x2y)b，则xy的值等于_【解析】由平面向量基本定理得解得xy1.【答案】13(2016苏州高一检测)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.【解析】2，().又，.【答案】4若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a3e14e2，b6e1ke2不能作为一组基底，则k的值为_【解析】易知ab，故设3e14e2(6e1ke2)，k8.【答案】85如图237所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分，(不包括边界)，若ab，且点P落在第部分，则a_0，b_0.(填“”或“”)图237【解析】由向量的分解可知，a0，b0.【答案】6设e1，e2是不共线向量，e12e2与me1ne2共线，则_.【解析】由e12e2(me1ne2)，得m1且n2，2.【答案】27(2016南京高一检测)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_. 【导学号：06460053】【解析】设b，a，则ba，ba，ba，代入，得baba，即解得，.【答案】8如图238，在ABC中，a，b，c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则_.图238【解析】原式()()()0.【答案】0二、解答题9如图239，在ABCD中，a，b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使，试以a，b为基底表示向量与.图239【解】ab.abaab.10设e1，e2为两个不共线的向量，ae13e2，b4e12e2，c3e112e2，试用b，c为基底表示向量a.【解】设a1b2c，1，2R，则e13e21(4e12e2)2(3e112e2)，即e13e2(4132)e1(21122)e2，abc.能力提升1如图2310，已知a，b，3，用a，b表示，则_.图2310【解析】()ba.【答案】ba2.如图2311，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_图2311【解析】设，mm，()，m.【答案】3点M是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABM与ABC的面积之比为_【解析】如图，分别在，上取点E，F，使，在上取点G，使，则EG