第7章 假设检验.doc

第七章 假设检验第一节 假设检验的基本概念对总体的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设，这一统计推断过程就是所谓的假设检验。下面通过一个实例说明假设检验的基本思想及推理方法。例1 某工厂生产一种电子元件，在正常情况下电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布.某日从该厂生产的一批电子元件中随机抽取16个，测得样本均值 ，假定电子元件寿命的方差不变，能否认为该日生产的这批电子元件的寿命均值.解：依题意，就是已知总体，且，要求检验下面的假设 通常称假设为原假设，称假设为备择假设，检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其中之一，若认为原假设是正确的，则接受；若认为原假设是不正确的，则拒绝而接受备择假设.从抽样检查的结果知样本均值，显然样本均值与假设的总体均值之间存在差异，对于之间出现的差异可以有两种不同的解释：(1) 原假设是正确的，即总体均值，由于抽样的随机性，之间出现某些差异是完全可能的；(2) 原假设是不正确的，即总体均值，因此之间出现的差异不是随机性的，即之间存在实质性、显著性的差异。上述两种解释哪一种较合理呢? 回答这个问题的依据是小概率的实际不可能性原理，在原假设正确的条件下，合理地构造小概率事件A，再对一次试验的结果考察A有没有出现，若A出现，则说明不正确，若A没有出现，则没理由认为不正确。请看下面的具体操作。设原假设正确，即，则统计量，考虑其中称为显著水平，称为统计量u的临界值，通常取较小的值，如0.05或0.01，查表得， 则因为很小，所以事件是小概率事件，根据小概率事件的实际不可能性原理，可以认为在原假设正确的条件下这样的事件实际上是不可能发生的，但现在抽样检查的结果是上述小概率事件竞然发生了，这表明抽样检查的结果与原假设不相符合，即样本均值与假设的总体均值之间存在显著差异，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为该日生产的这批电子元件的寿命均值（小时）.应当指出，上述结论是取显著水平时得到的，若改取显著水平，则 ，从而有，因为抽样检查的结果是，可见小概率事件没有发生，所以没有理由拒绝原假设，就应当接受，即可以认为该日生产的这批电子元件的寿命均值（小时）.由此可见，假设检验的结论与选取的显著水平有密切的关系，因此，必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平下作出的。假设检验中使用的推理方法可以说是一种“反证法” ，但这种“反证法” 使用的不是纯数学中的逻辑推理，而仅仅是根据小概率事件的实际不可能性原理来推断的。双侧假设检验与单侧假设检验在关于假设 的检验中，当统计量u的观测值的绝对值大于临界值时，则拒绝原假设，这时u的观测值落在区间或内，称这样的区间为关于原假设拒绝域，由于这里的拒绝域分别位于两侧，因此称这类假设检验为双侧假设检验，而把拒绝域只位于一侧的假设检验称为单侧假设检验。在例1中实际上我们关心的是电子元件的寿命均值不应太低，所以把问题改为“是否可以认为该日生产的这批电子元件的寿命均值不小于2500?”似乎更合理，这样就是要求检验如下的假设 由于这类原假设比较复杂，需分别进行讨论(1) 若，则，对于给定的显著水平，确定使(2)若 ，因为是总体均值，所以，对于给定的显著水平，有，而当时，即时,必有，因此，.总之，在原假设成立的条件下，有.因此，当较小时，事件是小概率事件，若抽样检查的结果表明统计量u的观测值小于，则拒绝原假设，接受备择假设，这时拒绝域为，该假设检验为单侧假设检验。当显著水平时，查表得，而统计量u的观测值，可见小概率事件不合理地发生了，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为，也就是该日生产的这批电子元件的寿命均值显著地小于2500（小时）.上述原假设比较复杂，下面考虑另一个较为简单的单侧假设检验。设电子元件厂在正常情况下生产的电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布.某日发生异常情况，可能影响产品质量，则需检验该日生产的这批电子元件的寿命均值是否有所降低，即需检验如下假设当时，则对于给定的显著水平，确定使若抽样检查的结果表明统计量u的观测值小于，则拒绝原假设，值得注意的是，这里原假设：，与备择假设：不是对立的，但由前面的讨论可知，若，则，即同样应该拒绝接受，因此可接受备择假设：. 因此，关于假设或的检验，虽然它们的原假设不同，但检验时选用的统计量及其分布却相同，对于给定的显著水平，拒绝域都是，从而检验的结论(拒绝或接受原假设)也是相同的。留意到拒绝域位于左侧，则它们都是左侧假设检验。假设检验的一般步骤(1) 根据实际问题提出原假设与备择假设，即指出需要检验的假设的具体内容；(2) 选取适当的统计量，并在原假设成立的条件下确定该统计量的分布；(3) 根据问题的需要适当选取显著水平(的值一般比较小)，并根据统计量的分布查表确定对应于的临界值；(4) 根据样本观测值计算统计量的观测值，与临界值比较，作出拒绝或接受原假设的判断.假设检验可能犯的两类错误由于假设检验使用的是根据小概率的实际不可能性原理作出判断的一种“反证法” ，而无论小概率事件A发生的概率如何小，它还是有可能发生的，因此，假设检验可能作出以下两类错误的判断：(1) 第一类错误 “弃真” ，即原假设实际上是正确的，但却错误地拒绝了，由于小概率事件A发生时才会拒绝，所以犯第一类错误的概率为 .(2) 第二类错误“取伪”,即原假设实际上是不正确的，但却错误地接受了，犯第二类错误的概率记为.犯两类错误的概率当然是越小越好，但当样本容量固定时，不可能同时把都减得很小，而是减少其中一个，另一个就会增大；要使都很小，只有通过增大样本容量。在实际问题中，一般总是控制犯第一类错误的概率.第二节 正态总体参数的假设检验关于单个正态总体均值的假设检验本节将要讨论正态总体参数的假设检验问题，其中分为单个正态总体参数的假设检验和两个正态总体参数的假设检验两大部分，首先考虑单个正态总体均值的假设检验.设总体 ，从中抽取容量为n的样本，样本均值及样本方差分别为， , 考虑关于未知参数的假设检验.(1) 已知，则当时，统计量，把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设、在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设 备择假设 在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率(2) 未知，则当时，统计量，把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设、在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设 备择假设 在显著水平a下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率例2 化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9包化肥的质量(单位：kg)如下：49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4设每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg(取显著水平)解：设每包化肥的质量 ，要检验的假设是. 因为未知，考虑统计量, 其中，则样本均值及样本标准差分别为， , 由此得统计量t的观测值, 查表得 , 因为 , 所以接受原假设，即在显著水平下，可以认为每包化肥的平均质量为50kg. 关于单个正态总体方差差的假设检验(1) 已知，则当时，统计量 ，把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设、在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设备择假设在显著水平a下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率或 (2) 未知，则当时，统计量，把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设、在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设备择假设在显著水平a下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率或 例3 自动车床加工的某种零件的直径(单位：)服从正态分布，原来的加工精度，经过一段时间后，需要检验是否保持原来的加工精度，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得数据如下：零件直径9.29.49.69.810.010.210.410.610.8频数113675421问加工精度是否变差(取显著水平a=0.05)?解：要检验的假设是：，： . 因为未知，考虑统计量 , 已知，n=30，且样本方差 , 由此得统计量的观测值 , 查表得 , 因为，所以拒绝原假设，接受备择假设，即在显著水平=0.05下，认为该自动车床的加工精度变差了。关于两个正态总体均值的假设检验设总体,从中抽取容量为的样本，总体,从中抽取容量为的样本，与的样本均值及样本方差分别为： ,；， 考虑关于未知参数的假设检验问题，先讨论均值的假设检验.(1) 已知及，则当时，统计量把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设，在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设备择假设在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率(2) 未知及，但假定=，则当时，统计量其中 把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设，在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设备择假设在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率原假设备择假设在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率关于两个正态总体标准差的假设检验(1) 已知，先考虑假设：，：,设， , 则当时，统计量, , 因为已知，对于给定的观测值及，与都是已知的，取它们中的较大者为分子，较小者为分母，则统计量, 对于给定的显著水平，确定及使， , 则 , 查表可知当 时，总有 ，但，即统计量的值不可能小于，所以在显著水平()下，关于原假设：的拒绝域为.把已知时,关于的不同的假设检验中的原假设 与备择假设，检验时选用的统计量及其分布,在显著水平下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设 备择假设 统计量及其分布在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内的概率(2) 未知及，把关于的不同的假设检验中的原假设与备择假设，检验时选用的统计量及其分布,在显著水平a下关于原假设的拒绝域以及统计量的观测值落在拒绝域内的概率，列表如下原假设 备择假设 统计量及其分布在显著水平下关于原假设的拒绝域统计量的观测值落在拒绝域内