第二章 离散型随机变量.doc

第二章 离散型随机变量教学目的与要求1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列.2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布.3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式.4.了解多维随机变量的概念及其分布.5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法.6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法.7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期望和方差.8.了解条件分布与条件期望及其性质.教学重点 一、二维随机变量及其分布教学难点 随机变量的分布教学方法 讲解法教学时间安排 12 第一节 一维随机变量及分布列34 第二节 多维随机变量、联合分布列和边际分布列56 习题辅导78 随机变量函数的分布列910 数学期望的定义及性质1112方差的定义及性质1314条件分布与条件数学期望1516 习题辅导教学内容12. 第一节一维随机变量及分布列 一、随机变量在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.定义2.1 设维随机试验，为其样本空间，若对任意的，有唯一的实数与之对应，则称为随机变量.这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量等都表示为事件，其中表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.二、一维离散型随机变量的概念定义2.2 定义在样本空间上，取之于实数域，且只取有限个或可列个值的变量，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称 ， 为随机变量的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布. 离散型随机变量的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式： 例2.1 在的贝努里试验中，设事件在一次试验中出现的概率为，令 5次试验中事件出现的次数则 于是，的分布列为： 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1） （2）反过来，任意一个具有以上两个性质的数列都有资格作为某一个随机变量的分布列. 事件的概率. 因为事件右端的事件是两两互不相容的，于是由概率的可列可加性有 其中.对中更复杂的集合，也有 其中. 由此可知，取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律. 三、常见的离散型随机变量及其分布 1、两点分布 设离散型随机变量的的分布列为 其中，则称服从两点分布，亦称服从（01）分布，简记为01）分布. 显然，两点分布具有离散型随机变量的两个性质. 两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验.例如，掷一枚均匀硬币是出正面还是反面；产品质量是否合格；卫星的一次发射是否成功等试验. 2、二项分布 若离散型随机变量的分布列为 其中，则称服从参数为的二项分布，简称服从二项分布，记为 易验证 显然，当=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例. 二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数控制图和不合格率控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的. 例2.2 设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为当占半数以上的成员作正确决策时，系统作出正确决策.问多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠. 解 对于5个成员的决策系统，可认为是5重贝努里试验，每个成员要么决策正确（成功），要么决策错误（失败）.决策正确的概率，决策错误的概率，设为其中决策正确的成员个数，则.对于3个成员的决策系统，类似地也有从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为 3个成员的决策系统作出正确决策的概率为 要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠，必须 即当时，可满足此要求. 3、普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，且取各个值的概率为 其中为常数，则称服从参数为的普哇松分布，记为.易验证 普哇松分布是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；布匹上的疵点数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；母鸡的产蛋量等，这些随机变量都可利用普哇松分布. 定理2.1 （普哇松定理）在重贝努里试验中，事件在一次试验中出现的概率为（与试验总数有关）如果当时，常数），则有 证明 及，则 对于任一固定的，显然有 还有 从而 对任意的成立，定理得证. 这个定理可作近似计算.在都比较大时，由普哇松定理就有 其中，而要计算，由专用的普哇松分布表可查. 例2.3 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率有多大？ 解 设该单位患有这一种疾病的人数为，则 其中，这时如果直接计算，计算量很大.由于很大，很小，这时 不很大，可利用上述普哇松定理，取，就有 查普哇松分布表可得 于是 . 例2.4 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 解 设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为件，则当（）时就不会脱销，因而按题意要求为 因为已知服从的普哇松分布，上式也就是 查普哇松分布表得 于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销. 4、几何分布 设是一个无穷次贝努里试验序列中事件首次发生时所需的试验次数，且可能的值为而取各个值的概率为 其中，则称服从几何分布.记为.易验证 例2.5 设有某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4 .试问该人员要求职多少次，才能有0.9 的把握获得一个就业机会？ 解 设表示该人员在求职过程中，首次成功的求职次数，则服从几何分布，其中有事件的不相容性，有 故该求职人员至少要求职5次，才能以0.9的把握得到一次就业的机会. 5、退化分布 在上定义的恒等于常数的变量（虽取值已失去了随机性，也可以看作为随机变量的极端清形.）的分布列为 则称这个分布为单点分布或退化分布. 上面讨论了几种常见的离散型随机变量的分布.两点分布、二项分布、普哇松分布、几何分布都是以贝努里试验为背景.即在一次试验中事件要么出现，要么不出现.而试验的次数是不同的，两点分布的次数为1，二项分布的次数是n，普哇松分布是无穷，随机变量的取值从0到试验的次数.由此可见，两点分布是二项分布的特例，普哇松分布是二项分布的地推广.注意几何分布的取值从1开始到无穷.在应用中，一定要分清该问题属于哪一种类型，准确灵活地应用. 34. 第二节 多维随机变量、联合分布列和边际分布列一、多维随机变量与分布列定义2.2 设是样本空间上的个离散型随机变量，则称为向量（）是上的一个维离散型随机变量或维随机向量. 设是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为令 称是二维离散型随机变量的联合分布. 二维联合分布的三个性质： 其中（1）、（2）是显然的.现验证（3）.由联合分布列的定义及全概率公式有 同理可得 如果记即可得证. 二、边际分布列如果，由此，边际概率可由二维随机变量的联合概率分布中对固定的关于求和而得到.显然，此即表明，当遍及的一切可能值时，就得到一个边际分布：分别表示对中，关于求和的结果. 关于的边际分布.同理，将的联合分布对固定的关于求和，得也就是为关于的一个边际分布.此处表示对固定的关于求和的结果.从而由得联合分布，可得到关于或关于的边际分布. 例2.6 把三个相同的球等可能地放入编好为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中球的个数为，则是一个二维随机变量，其中和的可能取值为0、1、2、3.现在来找的联合分布列.由条件概率的定义易知有 这时显然有 于是 而当或时显然有 例2.7 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1、2、3的盒子中，记落入第1号盒子中的白球个数为，落入第2号盒子中的红球个数为，则是一个二维随机变量.现在来讨论的联合分布列和边际分布列. 显然有 这时，由事件（）和（）的独立性可得 由此便可得全部之值并可列表为由例2.6与例2.7，可发现，两者有完全相同的边际分布，而联合分布却是不相同的.由此可知，由边际分布列并不能唯一地确定联合分布列，事实上，二维随机变量的分布列的确含有比边际分布更多的内容.再分析例2.6与例2.7中的的计算可知，的联合分布还包含有与之间相互关系的内容，这是它们的边际分布不能提供的.因而对单个随机变量与的研究并不能代替二维随机变量整体的研究.三、随机变量的相互独立性 定义2.3 设离散型随机变量的可能取值为的可能取值为，如果对任意的，有 成立，则称离散型随机变量和相互独立.定义2.4 设是个离散型随机变量，的可能值为，如果对任意的一组（），恒有 成立，则称是相互独立的.例2.8 在重贝努里试验中，令 则的可能取值为1或0，对=1或0容易验证有 成立，所以是相互独立的随机变量.小结：这节课我们学习了多维离散型随机变量及分布列的概念；并讨论了边际分布与计算公式；还探讨了离散型随机变量的独立性.多维随机变量的联合概率是比较难求的，一定要先分清事件是否相互独立，而后再按交感率公式去求.关于边际分布的计算公式要掌握.作业 2.16；2.18；2.20；2.21.78.第三节 随机变量函数及其分布一、一维离散型随机变量函数的分布若是一维离散型随机变量，是实函数的单值函数，则当只取有限个或可列个值时，也只取有限个或可列个值，如果的可能值为令 则有 于是 所以的分布列由的分不列完全决定. 例2.9 进口某种货物件，每件价值元.按合同规定，如果在件货物中每发现一件不合格品，则出口方应赔偿元.易知，件货物中的不合格品的件数是一随机变量，而出口方应赔的钱数又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格的概率是，则 其中.因为每出现件不合格品即当时，赔款数就是，即；反过来，如果赔款数为，则不合格品数一定为，所以事件“”等价于“”，也就是 从而 例2.10 设是参数为的普哇松分布的随机变量，又 试求的分布. 解 易知的可能取值为1、0、-1，由一维随机变量函数分布公式可得 二、二维随机变量函数的分布 设是一个二维离散型随机变量，是实变量和的单值函数，这时仍然是一个离散型的随机变量.设的可能取值分别为，令 则有 （）例2.11 设是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和的普哇松分布，求的分布列.解由与的独立性并利用（）式可得由上述计算可知，也是一个服从普哇松分布的随机变量，它的分布的参数恰是与的分布参数、之和所以两个独立的普哇松分布随机变量的和仍是一个普哇松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数之和这个事实称作普哇松分布对加法具有封闭性，或称普哇松分布具有可加性小结：离散型随机变量函数的分布列是由自变量随机变量分布列来决定的，这里，关键的问题仍然是随机变量的分布列问题.作业 2.23；2.26；2.28.910. 第四节数学期望的定义及性质定义2.5 若离散型随机变量可能取值为其分布列为，则当 时，称存在数学期望，并且数学期望为 如果 则称的数学期望不存在. 注：，才能保证它的和不受求和次序变动的影响 常见几种分布的数学期望 1、两点分布的期望 2、二项分布的期望因为所以 3、普哇松分布的期望 因为 于是 例2.12 在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有个人，若逐个检验就需要检验次，现在如果分组检验，是否可以减少工作量？ 解 假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然减少，但如果检验的结果为阳性，为了明确个人中究竟哪几个人为阳性，就要对个人逐个进行检验，这时个人需要检验总次数为+1次，检验的工作量法反而有所增加.显然，这时个人需要的检验次数可能只有1次，也可能要+1次，是一个随机变量.为了和老方法比较求它的平均值（也就是平均检验次数）. 在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（不是传染病或遗传病），并且每一个人是阳性结果的概率为，是阴性结果的概率为，这时个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为，呈阳性结果的概率则为.现令为个人一组混合检验时每个人所需的检验次数，由上述讨论可知的分布列为 由此即可求得每个人所需的平均检验次数为 而按原来的老办法每人应该检验1次，所以当 时，用分组法（个人一组）就能减少检验的次数.如果是已知的，还可以从中选取最合适的整数，使得平均检验次数最少. 减少工作量的大小与的数值有关，也与每组人数有关. 注：求随机变量的数学期望时应先求出该随机变量的分布列.一个随机变量的数学期望是一个数值，而不是变量. 定理2.2 若是一个离散型随机变量，其分布列为又是实变量的单值函数，如果，则有 证明 令，则仍是一个离散型随机变量，设其可能取的值为，于是 由数学期望的定义有 即为所证. 定理2.3 若是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为 又是实变量的单值函数，如果 则有 对一般的维随机变量的函数，也有相应的定理成立.由于这些定理，在求离散型随机变量函数的数学期望时，就可以直接利用原来随机变量的分布列，而不必先求随机变量函数的分布列. 随机变量的数学期望的性质： 1、若则存在，且有.特别，若是一个常数，则. 2、对任一二维离散型随机变量，若、存在，则对任意的实数、，存在且 3、若、是相互独立的，则存在且 证明 性质1的证明是显然的，下面证明性质2、3. 设的联合分布和边际分布列为： 由定理2.3 有 这里级数绝对收敛是明显的，所以存在且成立，性质2得证. 又级数的绝对收敛也是明显的，所以存在且 成立，性质3得证. 性质2、3可以推广到任意维随机变量的场合. 例2.13 若随机变量服从二项分布试用数学期望的性质求的数学期望. 解 可看作是重贝努里试验中事件出现的次数，其中在每次试验中出现的概率为，令 显然是服从01分布的随机变量，所以 另一方面，于是，由数学期望的性质2即得 与前面所求结果一样. 小结：离散型随机变量的期望是随机变量以它取每一可能值得概率为权数的平均数.当随机变量取有限值时，随机变量的期望是存在的，当随机变量取可列时，如果形成的级数是收敛的，则期望存在，否则，不存在.作业 3.29；3.31；2.32；3.34. 1112. 第五节 方差的定义及性质 定义2.6 设是一个离散型随机变量，数学期望存在，如果存在，则称为随机变量的方差，并记作或. 方差的平方根称为标准差或根方差，记为.在实际问题中标准差用得很广泛，因为它与具有相同的量纲（或因次）. 如果随机变量的分布列为 则由定理2.2可得 这是一个常用的计算方差的公式. 例2.14 若服从参数为的普哇松分布，试求. 解 已知，而 于是 方差的性质 （由于方差本身也是一个数学期望，所以由数学期望的性质可得） （1）若是常数，则=0； （2）若是常数，则； （3）若、是两个相互独立的随机变量，且、存在，则 证明性质（3） 因为与独立，所以 从而有 性质（3）得证. 性质（3）可以推广到维随机变量的情形，如果是个相互独立的随机变量，并且都存在，那么有 成立 如果服从01分布，已知，这时有 例2.15 若服从二项分布，试求得方差. 解 因为当为个相互独立的且服从相同的01分布的随机变量时，又故由方差的性质（3）的推广知 小结：方差实质上还是一个随机变量的期望，而不同的是这里的随机变量是随机变量函数，所以如若按定义去求，就用求随机变量函数期望公式去做，我们还推出了求方差的计算公式，一般情况下，用公式比较方便.常见的几种分布的方差要记下，应用时就可直接用.方差的几个性质很重要，一定要记准.作业 2.44；2.46. 1314. 第六节 条件分布与条件数学期望 一、条件分布列 设离散型随机变量的联合概率分布列为又的边际概率分布列为若对某一个，对这个固定的，称 为在的条件下，随机变量的条件概率.在的条件下，让取遍一切可能的值，即可得在条件下，的条件分布列，易验证这时有 可见，具有分布列的两个性质.它描述了在“”的条件下，随机