高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系优选课件.ppt

立体几何 第七章 第38讲空间点 直线 平面之间的位置关系 栏目导航 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两点 不在一条直线上 一个 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条 直线有且只有一个平面 推论3 经过两条 直线有且只有一个平面 相交 平行 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 3 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 4 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 锐角 或直角 同一条直线 相等或互补 3 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 相交 平行 在平面内 平行 相交 1 思维辨析 在括号内打 或 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于点a 并记作 a 3 两个平面abc与dbc相交于线段bc 4 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b不可能是平行直线 5 没有公共点的两条直线是异面直线 解析 1 错误 当两个平面平行时 把空间分成三个部分 2 错误 由公理3知应交于过点a的一条直线 3 错误 应相交于直线bc 而非线段 4 正确 因为若c b 则由已知可得a b 这与已知矛盾 5 错误 异面或平行 2 若空间三条直线a b c满足a b b c 则直线a与c a 一定平行b 一定相交c 一定是异面直线d 一定垂直解析因为b c a b 所以a c 即a与c垂直 d 3 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 a 0b 1c 2d 3解析 错误 正确 c 4 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 a 相交或平行b 相交或异面c 平行或异面d 相交 平行或异面解析依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 d 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 解析连接b1d1 d1c 则b1d1 ef 故 d1b1c为所求 又b1d1 b1c d1c d1b1c 60 60 用平面的基本性质证明共点 共线 共面的方法 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 一平面的基本性质及应用 例1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3解析 显然是正确的 可用反证法证明 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 故选b b 2 由 1 知fh与直线ac不平行 但共面 设fh ac m m 平面efhg m 平面abc 又 平面efhg 平面abc eg m eg fh eg ac共点 二空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 1 异面直线 可采用直接法或反证法 2 平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 3 垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 例3 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 三两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 1 找异面直线所成的角的三种方法 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三个步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角 算 通过解三角形 求出该角 例4 已知正方体abcd a1b1c1d1 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解析 1 如图所示 连接b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而 b1ca 或其补角 就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 2 如图所示 连接ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 1 下列命题中正确的个数是 过异面直线a b外一点p有且只有一个平面与a b都平行 异面直线a b在平面 内的射影相互垂直 则a b 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 直线a b分别在平面 内 且a b 则 a 0b 1c 2d 3 a 解析对于 当点p与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时 就无法找到过点p且与两条异面直线都平行的平面 故 错误 对于 在如图1所示的三棱锥p abc中 pb 平面abc ba bc 满足pa pc两边在底面的射影相互垂直 但pa与pc不垂直 故 错误 对于 在如图2所示的三棱锥p abc中 ab bc ac pa 2 pb pc 3 满足底面abc是等边三角形 侧面都是等腰三角形 但三棱锥p abc不是正三棱锥 故 错误 对于 直线a b分别在平面 内 且a b 则 可以平行 故 错误 所以正确命题的个数为0 故选a d 3 两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 a 两条相交直线b 两条平行直线c 两个点d 一条直线和直线外一点解析如图 在正方体abcd efgh中 m n分别为bf dh的中点 连接mn de cf eg 当异面直线为eg mn所在直线时 它们在底面abcd内的射影为两条相交直线 当异面直线为de gf所在直线时 它们在底面abcd内的射影分别为ad bc 是两条平行直线 当异面直线为de bf所在直线时 它们在底面abcd内的射影分别为ad和点b 是一条直线和一个点 故选c c 错因分析 考虑问题不全面 忽略元素可能存在的多种情况 导致丢解 如本例中易忽略交点s在两平面之间还是两平面外侧 导致丢解 易错点考虑问题不全面 例1 设平面 满足 a c b d 直线ab与cd交于点s 若sa 18 sb 9 cd 34 求sc的长度 跟踪训练1 在三棱柱abc a1b1c1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与直线a1b1 ef