高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 理.ppt

第四节基本不等式及其应用 总纲目录 教材研读 1 基本不等式 考点突破 2 几个重要的不等式 3 利用基本不等式求最值 考点二基本不等式的实际应用 考点一利用基本不等式求最值 考点三含参问题 教材研读 1 基本不等式 1 基本不等式 成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当 a b时等号成立 3 其中 称为正数a b的算术平均数 称为正数a b的几何平均数 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b r 当且仅当a b时取等号 2 ab a b r 当且仅当a b时取等号 3 a b r 当且仅当a b时取等号 4 2 a b同号 当且仅当a b时取等号 3 利用基本不等式求最值已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 x y时 x y有最 小值 是 2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s 那么当且仅当 x y时 xy有最 大值 是 简记 和定积最大 1 2017北京朝阳二模 3 x 0 y 0 是 2 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 a 答案a当x 0 y 0时 由基本不等式得 2 当且仅当x y时取等号 成立 当x0 0 此时 2仍然成立 所以选a 2 已知f x x 2 x 0 则f x 有 a 最大值0b 最小值0c 最大值 4d 最小值 4 c 答案c x 0 f x 2 2 2 4 当且仅当 x 即x 1时取等号 f x 有最大值 4 3 某生产厂商更新设备 已知在未来x年内 此设备所花费的各种费用总和y 万元 与x满足函数关系y 4x2 64 若欲使此设备的年平均花费最低 则此设备的使用年限x为 a 3b 4c 5d 6 b 答案b由题意得年平均花费为 4x 2 32 当且仅当4x 即x 4时 等号成立 故选b 4 2018北京海淀期中 11 能够说明 设x是实数 若x 1 则x 3 是假命题的实数x的值为2 答案2 解析 x 1 x 1 0 x x 1 1 3 当且仅当x 1 即x 2时 取 当x 2时 x 3是假命题 5 已知点p x y 到a 0 4 和b 2 0 的距离相等 则2x 4y的最小值为4 此时x 答案4 解析由题意得 即x 2y 3 则2x 4y 2 2 2 4 当且仅当x 2y 时 等号成立 考点一利用基本不等式求最值 考点突破 典例1 1 已知a 0 b 0 且4a b 1 求ab的最大值 2 若正数x y满足x 3y 5xy 求3x 4y的最小值 3 已知正数x y满足x 2y 1 求 的最小值 解析 1 解法一 a 0 b 0 4a b 1 1 4a b 2 4 当且仅当4a b 即a b 时 等号成立 ab 所以ab的最大值为 解法二 4a b 1 ab 4a b 当且仅当4a b 即a b 满足a 0 b 0 时 等号成立 所以ab的最大值为 2 由x 3y 5xy x 0 y 0 得 5 则3x 4y 3x 4y 13 12 5 当且仅当 即x 2y时 成立 此时由解得 满足x 0 y 0 故3x 4y的最小值为5 3 因为正数x y满足x 2y 1 所以 x 2y 2 2 4 4 2 8 当且仅当 即x 2y时取等号 所以 的最小值为8 方法技巧 1 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值 主要有两种思路 对条件使用基本不等式 建立相应的不等式求解 对条件变形 以进行 1 的代换 从而利用基本不等式求最值 2 有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件 但可以通过添项 分离常数 平方等手段使之能运用基本不等式 常用的方法 拆项法 变系数法 凑因子法 换元法 整体代换法等 1 1已知正项等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an使得 4a1 则 的最小值为 a b c d 不存在 a 答案a由题意可知a5q2 a5q 2a5 q 0 且a5 0 化简得q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 由 4a1 得a1qm 1 a1qn 1 16 qm n 2 16 24 m n 6 当且仅当 即m 2 n 4时 等号成立 1 2已知a 1 且a b 2 则a 的最小值是3 答案3 解析由a b 2得a 1 b 1 所以a a 1 1 2 1 3 当且仅当a 1 即a 2 b 0时 等号成立 1 3设0 x 1 a b为正常数 则 的最小值为 a b 2 答案 a b 2 解析 x 1 x a2 b2 a2 b2 2 a b 2 当且仅当x 时取等号 的最小值为 a b 2 典例2 1 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 a 80元b 120元c 160元d 240元 2 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1 单位 万元 与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2 单位 万元 与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站千米处 考点二基本不等式的实际应用 答案 1 c 2 5 解析 1 设底面相邻两边的边长分别为xm ym 总造价为t元 则xy 1 4 xy 4 t 4 20 2x 2y 1 10 80 20 x y 80 20 2 80 20 4 160 当且仅当x y时取等号 故该容器的最低总造价是160元 2 由已知可得y1 y2 0 8x 其中x 单位 千米 为仓库与车站之间的距离 则费用之和y y1 y2 0 8x 2 8 当且仅当0 8x 即x 5时 取等号 易错警示对于实际问题 在审题和建模时一定不可忽略对变量范围的准确挖掘 一般地 每个表示实际意义的代数式必须取正值 由此可得变量的范围 然后利用基本不等式求最值 2 1某工厂近期要生产一批化工试剂 经市场调查得知 生产这批试剂的成本分为以下三个部分 生产1单位试剂需要原料费50元 支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成 后续保养的费用是每单位元 试剂的总产量为x单位 50 x 200 设p x 是生产每单位试剂的成本 则p x 的最小值是220元 答案220 解析因为试剂总产量为x单位 则由题意知原料总费用为50 x元 职工的工资总额为 7500 20 x 元 后续保养总费用为x元 则p x x 40 50 x 200 x 2 180 当且仅当x 即x 90时取等号 p x 220 即生产每单位试剂的成本最低为220元 典例3 1 已知不等式 x y 9对任意的正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 a 2b 4c 6d 8 2 已知正数a b满足 1 若不等式a b x2 4x 18 m对任意实数x恒成立 则实数m的取值范围是 a 3 b 3 c 6 d 6 考点三含参问题 答案 1 b 2 d 解析 1 x y 1 a 1 a 2 1 2 x y a 0 当且仅当y x时取等号 所以 x y 的最小值为 1 2 于是 1 2 9恒成立 所以a 4 故选b 2 因为a 0 b 0 1 所以a b a b 10 10 2 16 当且仅当a 4 b 12时取等号 由题意 得16 x2 4x 18 m对任意实数x恒成立 即x2 4x 2 m对任意实数x恒成立 又因为x2 4x 2 x 2 2 6 所以x2 4x 2的最小值为 6 所以 6 m 即m 6 易错警示 1 在应用基本不等式求最值时 要把握三个条件 即 一正 各项都是正数 二定 和或积为定值 三相等 等号能取得 这三个条件缺一不可 2 若无明显 定值 则常用配凑的方法 使和为定值或积为定值 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 3 1已知函数f x x 2的值域为 0 4 则a的值是 a b c 1d 2 答案c由题意可得a 0 当x 0时 f x x 2 2 2 当且仅当x 时取等号 当x 0时 f x x 2 2 2