材料力学研究的内容.docx

这篇文章对材料力学做一个小结，其目的一方面是为同学们学习材料力学提供一个参考，更主要的目的，是为进入CAE提供一个入口。 每门学科，都以某一类实际的物体为研究对象，考察他们某一个方面的性质及其规律。材料力学也是如此。材料力学面对的是实际生活中的杆件受力问题。杆件，是指这样一种对象，它的一个尺寸远大于另外两个尺寸。我们身体上的胳膊，腿，我们的5个手指头，我们头上的根根秀发，我们坐下的凳子腿，桌子腿，我们床架的横梁，立柱，我们写字用的铅笔，吃饭用的筷子，家里面的水管，煤气管道只要是在几何里面可以用线段来描述的实物，都可以看成是杆件。而在机械里面，杆件也广泛存在。安装轴系的轴是最明显的杆件，其次，连杆机构中的连杆，凸轮机构中的推杆，气缸中的活塞杆，油缸中的活塞杆，起连接作用的螺钉，螺栓，螺柱，销子，以及构成床身机架的方管，方钢，圆管，圆钢，工字钢，角钢，槽钢，等等，均为杆件。无论是日常生活中的杆件，还是机械中常见的杆件，只要它们受力，就存在变形和断裂的问题。研究单根杆件的变形或断裂问题，考察如何设计这些杆件对象，使得它们在受力的时候，不要发生过大的变形，不要断裂，不要失去稳定，而又希望用最少的材料能够满足要求，这就是材料力学的任务。简单的说，研究单根杆件的强度，刚度和稳定性问题，这就是材料力学的研究内容。上面描述了杆件的概念，下面说明四种变形。 有两种最重要的独立的力学要素：力和力偶。力偶是由大小相等，方向相反，不在一条直线上的两个力构成的，它的作用是使得物体加速旋转。材料力学就考察一根杆件在力，力偶的作用下，它会如何变形，在内部分子之间会产生多大的力，从而最终可能会导致杆件断裂而失效。每根杆件都有一根轴线。如果在杆件的两端，沿着轴线施加一对平衡力，这两个力或者相对，或者相反。如果这两个力相对，那么杆件会被压缩，变得短而粗。如果这两个力相反，那么杆件会被拉伸，变得长而细。这种变形称为拉压变形。桌子腿，椅子腿，都是发生压缩变形的代表。而我们的大小腿，在行走奔跑时也是处于受压缩状态。而系在我们腰间的皮带或者腰带，则处于受拉伸的状态。如果在杆件的两端，施加一对平衡力偶，这两个力偶的矢量方向沿着轴线。那么这根杆件会被扭转。这个时候，杆件上的任何一个横截面都会相对原来的方向发生一个转动。这种变形称为扭转变形。扭转的最主要代表是我们拧螺钉，或者我们旋紧饮料瓶上的盖子。如果在杆件的某一个横截面的上下两侧，施加一对平衡力，这对平衡力垂直于轴线。那么这根杆件会在这个截面的两边发生上下错动，这种变形称为剪切。我们用指甲剪剪掉我们珍爱的手指甲，或者用菜刀切断无辜的黄瓜，都是这类例子。如果一个杆件的某几处被固定，而在杆件的某一处施加一个与轴线垂直的力，那么这根杆件的轴线会变弯，这种变形称为弯曲。弯曲是最广泛存在的一种变形。我们在阳台上悬挂着湿衣服的晒衣杆，就发生着弯曲变形，如果晒的衣服没有拧干，而且多是厚重的衣物，我们可能观察到晒衣杆不胜负荷，发生了严重的弯曲。我们钓鱼时候的钓鱼竿，当一条大鱼上钩而我们焦急的往上拉鱼时，鱼竿就发生了更为严重的弯曲变形，几乎要折断。弯曲变形对于机械而言至关重要，这是因为机械中的轴发生的主要就是弯曲变形，而轴上支撑着齿轮，链轮，带轮，凸轮，槽轮这样一堆最重要的传动件，这些传动件几乎是机械传动的核心。如果轴受力过大而发生了断裂，对于机械而言，简直就是灾难性的影响。所以轴的设计计算向来就是机械设计的一个重头戏。总之，材料力学研究四种变形：拉压，扭转，弯曲，剪切。其中弯曲的低位最重要，所有的材料力学书籍，都不惜重墨，在这里花费了很多的力气来讲解。除了这四种最基本的变形外，拉压可以与弯曲相组合，扭转也可以与弯曲相组合而发生复杂的变形，我们称之为组合变形。在弄清楚基本变形的强度和刚度问题以后，组合变形就变得相对简单了。本文说明材料力学的一个重要概念，内力。并给出四种变形下内力的计算方法。以拉伸变形为例来说明问题。如图1-1所示，一根杆件在其两端点受到沿着轴线相反的一对平衡力作用，它将被拉长。可以想象，该杆件内部的每根纤维都被拉伸。为了考虑其内部相互作用力的情况，假想的用一个垂直于轴线的横截面将该轴切断（如图1-2），然后取出左半段来研究（如图1-3），则在切断面上应该受到右半段给它的力的作用，这些作用本来是右边截面上的每个微元给左边截面上每个微元的，本质上是一个分布力系。这里考虑这个分布力系的总体作用效果，显然这个分布力系可以被该截面上一个力FN所取代，这个力称为内力。（对于拉伸而言，这个力有一个更加特殊的名字，称为轴力。）这样，左半段（图1-3）就只受到两个力的作用，这两个力应该相等，从而可以知道，该内力与外力F是等大的。这样就得到了内力的大小。上图实际上就是拉伸变形时内力的计算方法。该方法是在适当的地方取一个横截面，然后切断整根杆件，任意取一边来研究。而这一边在切断面上受到的分布力系用一个总的力或者力偶来取代。根据这一边的力系平衡，从而推出切断面上的力的大小，这种方法称为截面法。截面法是材料力学中求解内力的基本方法。下面考虑扭转变形。如图2-1所示的轴，两端受到两个相等力偶的作用，为了考察内部的受力情况，用一个假想的平面切断这根轴（如图2-2），然后任取一边来研究（这里取右半段，如图2-3），同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。这些作用本质上仍旧是分布力系。为便于研究，同样将该力系简化。根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力偶（如图2-3），该力偶称为扭矩。根据该段的受力情况及力系平衡，可以知道，该扭矩与外加的力偶等大。这就是扭转内力的计算方法。下面考虑剪切变形。如图3-1所示的轴，在一个截面很近的两边分别受到两个等大的力F的作用，为了考察内部的受力情况，在该截面处切断这根轴，然后任取一边来研究（这里左半段，如图3-2），同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。这些作用本质上仍旧是分布力系。为便于研究，同样将该力系简化。根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力（如图3-2），该力称为剪力。根据该段的受力情况及力系平衡，可以知道，该剪力与外加的力等大。这就是剪切内力的计算方法。最后考虑弯曲变形。如图4-1所示的杆，两端支撑，而在中间某处受到一个竖直向下的集中力，为了考察内部的受力情况，用一个假想的平面切断这根杆，然后取右半段来研究（如图4-2），同样，该切断面会受到被舍弃的左段的切断面上微元给它的力的作用。这些作用本质上仍旧是分布力系。为便于研究，同样将该力系简化。根据其受力情况，可以推测，简化的结果会是一个力和一个力偶（如图4-2），该力称为剪力，该力偶称为弯矩。根据该段的受力情况及力系平衡，可以推出这两个内力的大小（如图4-2）。这就是弯曲内力的计算方法。可见，四种基本变形的内力计算方法都是一样的。可以想象，在复杂的受力状态下，杆件不同的截面上其内力是不同的。如图4-1所示，在集中力F的左右两边取截面，截面上的剪力和弯矩都会变化，而且是随着距支座的距离的变化而变化。此即，内力是随着截面位置的变化而变化的。这种变化与其到某一个支座的距离有关（如图4-1中的X），是它的函数。把该内力与X的关系用数学式表达出来，称为内力方程（如图4-2左边的两个方程），而依据该方程可以在二维笛卡尔坐标系中绘制出该内力方程，它会是一个曲线图，该曲线称为内力图。下面的图形说明了上述思想。图5图5是一个绘制弯曲的内力图的例子。该图的最上面一个图是实际的受力图，这是一个A,B两点简单支撑的简支梁，在其上受到一个竖直向下的分布力系作用。可以想象，AB之间的任意一个截面的内力都是不一样的。根据截面法，任意取一个截面，由其平衡，列出平衡方程，可以分别得到剪力方程和弯矩方程，然后根据它们分别绘制出中间的剪力图和下面的弯矩图。从图中可以知道，A,B截面的剪力最大，而中间截面的弯矩最大。这些内力大的截面就是危险截面。一根杆件的断裂就是从这些危险截面开始的。材料力学分析强度问题，就是首先绘制内力图，找到危险截面，然后在该危险截面上进一步找到危险点，计算该危险点的力是多少，并把该力与该材料所能够承受的极限相比较，从而判断它有没有超过允许值。这样来判断杆件的安全性。现在说明应力的概念。应力是材料力学最核心的概念，它也是变形固体力学中最重要的概念。可以说，材料力学这门课程就是以应力为中心而展开的，所以，理解应力至关重要。我们从简单的拉伸试验开始考察断裂现象,从而阐述应力的概念。我们试着在粉笔的两端用力拉它，一根粉笔粗（图1-1），而另外一根粉笔细（图1-2），我们可以看到，在这两种情况下，这两根粉笔的内力是一样的（图1-3，图1-4），但是毫无疑问，较细的粉笔更容易被拉断。这意味着，粉笔断裂的原因不能简单的归于内力（这里相同的内力，较细的更容易断裂），而需要进一步去考察内力在截面上的分布。实际上，我们需要过渡到截面上更细微的元素，比如说一个点。如图2-1所示，为了描述截面上一个点受到的力的集中程度，我们在该截面上选取一个微小的面积，则这个微小的面积上可以认为只受到一个集中力的作用。用该力除以面积并取极限，这就意味着一个点受力的紧张程度，这个极限称为应力（图2-1）。显然，应力表达了当杆件受力以后，一个点的紧张程度。当这个应力达到某种程度，而超过了材料所允许的程度后，构件就会首先从这个点开始断裂，然后裂纹产生，并向周围扩展，直到整个构件被破坏。上面定义的应力显然是一个矢量，它的方向由P决定，而P可以取空间的任意方向。为了便于研究，我们把这个应力向垂直于截面和在平面内两个方向分解，得到两个应力分量。垂直于截面的那个应力分量我们称为正应力，记做；而在截面内的那个应力分量我们称为切应力，记做（图2-2）。下面我们会发现，对于不同的变形而言，有的截面上只有正应力，而有的只有切应力，而有的同时有二者。首先考虑拉伸的应力。如图3所示，图3中的上图是用截面法后的图形，右边截面上的内力是FN,该内力是由很多正应力合成的。可以推断，在该截面上，正应力均匀分布（见图3-中图），这样，正应力乘以面积就得到内力，从而可以得出应力的公式（见图3-下图）。从该公式可以知道，截面上内力越大，而截面积越小，则正应力越大，而且正应力在面上是均匀分布的。接下来考虑扭转的应力。由图4的右上方扭转的内力图，知道截面上只有一个扭矩存在。该截面的右视图见图4-中图。该截面的扭矩显然是由截面内的应力合成的。而截面内的应力只能是切应力。那么这些切应力在截面内还是均匀分布的吗？经过试验发现并非如此。实际上，从中心往外走，应力越来越大，到外圆处达到最大，而且切应力的大小与该点到圆心的距离成正比。经过比较复杂的推导，得到切应力的公式见图3-右下公式。从该公式可以看到，截面上每点的切应力与该截面的扭矩MT成正比。扭矩越大，则分布在该截面上各点的切应力越大；是该点到圆心的距离。距离越远，则应力越大；Ip-是极惯性矩，它是表达截面的惯性的一个几何量，纯粹由截面的几何形状和尺寸所决定。该量越大，就意味着截面的惯性越大，越是不容易变形。对于圆形截面而言，极惯性矩完全由圆的直径D所确定（图3-右下公式）。接下来的剪切应力比较简单。图5-右上图是其内力图。该截面投影的右视图见图5-中图。这是一个圆形，截面内存在一个合力FQ.同样，这个合力一定是截面内分布的切应力的合作用效果。那么，在该截面内部，切应力是怎么分布的呢？经过研究，可以认为，该截面内部，切应力是均匀分布的。其公式件图5-右下公式。可见，切应力与该截面内的剪力成正比，而与截面积成反比。最后来到弯曲。图6-上图是用截面法求一个截面的内力（左面是截面）。该截面上本来是有一个剪力和弯矩的。经过研究发现，剪力所起的作用很小，所以这里忽略，只考虑弯矩。显然，该弯矩是由很多垂直于截面的正应力合成的。那么，这些正应力在该截面上是均匀分布的吗？经过研究发现，并非如此。实际上，该杆的中间有一个平面，截面上没有正应力。而往上走，应力越来越大，而且所有的正应力方向都指向截面内部，这种正应力是压应力。而从中面往下走，应力也越来越大，而所有的应力都离开截面向外，称为拉应力。而且还发现，每个点的应力与距中面的距离成正比。经过一系列复杂的推导，最后得到图6-正下的弯曲正应力公式。该公式中的M就是截面内的弯矩，而Y是某点到中面的距离，IZ是截面的惯性矩。该惯性矩也是由截面的几何性质唯一的确定的，对于矩形截面，其公式见图6-右下公式。可见，该惯性矩与截面的宽度成正比，而与高度的三次方成正比。所以，截面的高度对惯性矩影响很大。从弯曲正应力公式（图6-正下公式）可以知道，截面上的弯矩越大，则正应力越大；而某点到中面的距离越远，则应力越大；截面的惯性矩越大，则相应的各个点的正应力越小。总之，我们可以看到，应力表达了受力杆件内某一个点的力集中程度。为便于研究，我们把应力分为正应力和切应力。对于拉伸和弯曲而言，截面上是正应力；对扭转和剪切而言，截面上是切应力。就分布而言，拉伸和剪切时，截面上应力均匀分布；对于扭转和弯曲而言，越往外，应力越大。可见，在任何一种情况下，杆件的表面都是最危险的。所以，为了增加杆件的强度，我们都会进行表面改性，例如淬火，正火，渗碳，渗氮等，以加强表面的强度。这篇文章举一个强度问题的例子，说明在设计实践中，材料力学如何用来求解强度问题。如图1所示的外伸梁，长 6米，截面为正方形，其宽度和高度都是200毫米。外伸梁上作用一个10KN/m的分布载荷和20KN的集中载荷如图。该梁的许用应力是20MPa.试确定该梁的强度是否合格。首先计算支座B和D处的反作用力。这样绘制受力图如图2所示。由于该梁处于平衡状态，因此它应该满足一个物体的三个平衡方程：水平方向上所有力相加为零；竖直方向上所有力相加为零；以及所有力对任何一个点取矩之和为零。由于图2中只有两个未知数，这里根据实际情况，只列出两个方程。求解上面两个方程，得到如下结果把这两个结果替代图2中的两个未知力，得到图3.现在，需要根据进行梁内部截面的内力分析。根据前面内力篇中的截面法，对各个截面列出方程，然后绘制出内力图如图4所示。图4 的最上面图来自于图3的拷贝，根据这张图，得到的中间图是弯曲内力的剪力图，最下面这张是弯矩图。我们最关心的是弯矩图。对于这张图，我们可以看到，从A到B截面，弯矩的绝对值在逐渐的增加到20KNM，而后从B到C ,弯矩的绝对值首先减小到零，然后又增加到10KN.M,到C截面后，接着弯矩又开始减小，到D截面时，弯矩减小到零。这样，我们可以明白，这根梁最危险的截面是B截面，其上的弯矩是20KNM，这就是我们关注的焦点，称之为危险截面。现在我们来到这个危险截面，从前面的弯曲应力公式我们知道，这个截面上不同的点，其应力是不一样的，越往中面的上下走，应力越大，到表面达到最大。我们要考察最外面应力到底有多大。根据公式代入这的具体数据，即最大弯矩是20KNM，YMAX是截面高度的一半，而IZ由截面的几何性质完全确定，得到从而我们可以知道因此，该最危险点的应力是小于许用应力的。所以该梁的强度是安全的。所谓安全，就是说，这根梁是不会断裂，或者不会发生很大的塑性变形。上述例子是材料力学理论最重要的应用。它是用来计算该梁是否安全，是强度问题的一种类型。实际上，有三种常见的强度问题。第一种，强度的校核。已知梁的尺寸及受力，要考察它是否安全，上述例子就是如此。第二种，截面的设计。给定了梁的长度及受力，要设计一下它的截面尺寸。对于该问题，方法与上面的求解过程类似，只不过截面尺寸成为未知数。第三种，计算许用载荷。给定了梁的长度截面，要考察它上面可以承受多大的力，才不至于发生断裂或者过大的塑性变形。计算方法也与上面的过程类似。实际上，三种强度问题的求解步骤都是四步：第一步，外力分析。根据受力平衡把支座的反作用力求出来。第二部，内力分析。计算截面的内力把内力图绘制出来，从而找到危险截面。第三步，应力分析。把危险截面上最危险点的应力求出来，这步只需要代入应力公式。第四步，强度的校核或计算。根据得到的危险应力，与许用应力相比较；如果没有超过许用应力，就算合格。如果超过了，则梁很危险，需要重新设计。材料力学研究三大问题：强度问题，刚度问题和稳定性问题。上篇对强度问题做了一个简要的小结，而本篇则对刚度问题做个迅速的小结。所谓刚度，是指物体抵抗变形的一种能力。而刚度问题，是说希望某结构在受力以后变形不要超过某个许可值。比如下图所示的钻床，在钻孔时