高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件3 北师大版选修11.ppt

双曲线及其标准方程 复习回顾 椭圆的定义 图形 标准方程 焦点及位置判定 a b c之间的关系 平面上到两个定点的距离的和等于定长2a 大于 f1f2 的点的轨迹 思考 若将平面上到两个定点的距离的和等于定长变为差等于定长得到的是什么轨迹呢 一 活动 动手实验 1 取一条拉链 2 如图把它固定在板子上的两点 3 拉动拉链问 你画出来的是什么图形 思考 1 在画双曲线的过程中 拉链两端的位置是固定的还是个运动的 2 在画图的过程中 什么是变化的 什么是不变的 说明双曲线上的点和两定点间有什么关系 3 如果把两定点间的距离减小 还能画出双曲线吗 结论 拉链两端长度差值记为2a 两定点间的距离记为2c c 0 1 当2a2c时 双曲线 以f1 f2为端点的两条射线 无轨迹 二 基础知识讲解 1 双曲线的定义 如图 平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于定长2a 小于 f1f2 的点的轨迹叫双曲线 定点f1 f2叫做双曲线的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c y f2 如图所示 f1 f2为两定点 且 f1f2 2c 求平面内到两定点f1 f2距离之差的绝对值为定值2a 2a 2c 的动点m的轨迹方程 解 以f1f2所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 c 0 设m x y 为所求轨迹上的任意一点 则双曲线就是集合p m mf1 mf2 2a 如何化简 则焦点f1 f2的坐标分别为 c 0 c 0 问题 求曲线方程的基本步骤 1 建系 2 设点 3 列方程 4 化简 5 下结论 o x f1 m c 0 x y o x y f1 f2 m c 0 c 0 x y 整理 得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 2c 2a 0 即c a 0 c2 a2 0 两边同除以a2 c2 a2 得 类比椭圆 a 0 b 0 那么 式 归纳 焦点在x轴上的双曲线的标准方程 a 0 b 0 o f1 f2 m c 0 x y 它表示 1 双曲线焦点在x轴上 c 0 3 思考 当双曲线的焦点在y轴上时 它的标准方程式怎样的呢 x y 探究 焦点在y轴上的双曲线的标准方程 它表示 1 双曲线焦点在y轴上 0 c 3 x y a 0 b 0 注意 1 双曲线标准方程中 a 0 b 0 但a不一定大于b 2 如果项的系数是正的 那么焦点在x轴上 如果项的系数是正的 那么焦点在y轴上 注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上 3 双曲线标准方程中a b c的关系是 思考 方程ax2 by2 1何时表示双曲线 答 a b异号时 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 5 0 5 0 双曲线上任意一点与两焦点的距离的差的绝对值等于8 2 双曲线的一个焦点的坐标是 0 6 并且经过点 5 6 3 双曲线经过点p1 2 和p2 4 两点 总结 1 求双曲线标准方程的两个关注点 1 定位 是指确定与坐标系的相对位置 在标准方程的前提下 确定焦点位于哪条坐标轴上 以确定方程的形式 2 定量 是指确定a2 b2的数值 常由条件列方程求解 2 若焦点的位置不明确 应注意分类讨论 也可以设双曲线方程为mx2 ny2 1的形式 为简单起见 常标明条件mn 0 例2 相距2000m的两个哨所a b 听到远处传来的炮弹爆炸声 已知当时的声速是330m s 在a哨所听到爆炸声的时间比在b哨所听到时迟4s 试判断爆炸点在什么样的曲线上 并求出曲线的方程 若f1 f2是双曲线的两个焦点 p在双曲线上 且 pf1 pf2 32 求 f1pf2的大小 解 由双曲线的对称性 可设点p在第一象限 由双曲线的方程知a 3 b 4 所以c 5 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2a 6 上式两边平方得 pf1 2 pf2