第6章 第4节　合情推理与演绎推理.docVIP

第四节合情推理与演绎推理考纲传真(教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理(对应学生用书第97页)基础知识填充1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.3“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y是指数函数(小前提)，所以函数y是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误A“指数函数yax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_18这两个正四面体的体积比为18.5观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_1先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1.(对应学生用书第97页)归纳推理角度1与数字有关的推理(2018兰州实战模拟)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*，则12n21_.n2因为1112,121422,12321932,12343211642，由此可得12n21n2.角度2与式子有关的推理已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN*，则f2 019(x)的表达式为_. 【导学号：97190206】f2 019(x)f1(x)，f2(x)，f3(x)，fn1(x)f(fn(x)，归纳可得f2 019(x).角度3与图形有关的推理如图641的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_图641(nN*)由题图知第n个图形的小正方形个数为123n.所以总个数为(nN*)规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练(1)数列，的第20项是()ABCD(2)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.(3)(2018郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为()A42 B65 C143 D169(1)C(2)nn(nN*)(3)B(1)数列在数列中是第123m项，当m5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C(2)第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.(3)可以通过列表归纳分析得到凸多边形45678对角线条数223234234523456凸13边形有2341165条对角线故选B类比推理(1)若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdnDdn(2)在平面几何中，ABC的C的平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_图642(1)D(2)(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.法二：若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.规律方法类比推理的常见情形与处理方法(1)常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.(2)处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键.跟踪训练给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数为()A1 B2C3D4B类比结论正确的有.演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明： 【导学号：97190207】(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理的依据与处理方法(1)依据：演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)处理方法：应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论.在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要利用几个三段论才能完成.跟踪训练(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成