应力应变分析

工程力学 C 北京理工大学理学院力学系韩斌 23 10应力应变分析及应力应变关系 10 1应力的概念一点处的应力状态 1 内力在变形体内某一截面上分布的描述 用截面法求某一截面上的内力 得出该截面上的内力分量 截面分布内力系向截面形心简化后的等效力系 为正确描述变形 应在该截面上的每一点 描述内力的状况 在P点取面元 A A上分布内力合力为 在m m截面上P点处定义 m m截面上P点的正应力 m m截面上P点的切应力 剪应力 m m截面上P点的全应力 2 变形体内某一点的应力状态 应力张量的概念 正应力 切应力 或全应力 均与过物体内部的某一点的一个截面有关 描述变形体内部某点的应力状态 应用二阶张量描述 10 2应力张量的表示方法 分量表示法 1 单元体的概念 变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元 在直角坐标系下 单元体为无限小正六面体 单元体的三对表面 正面 外法向与坐标轴同向 负面 外法向与坐标轴反向 单元体是变形体的最基本模型 2 应力张量的表示方法 单元体每个表面上 都有该点在该截面上的应力矢量 全应力 可分解为三个分量 每对表面上的应力矢量互为反作用力 共9个分量 各应力分量的记法 故应力张量的分量表示为 或 或 若记x 1 y 2 z 3 则 3 单元体的平衡条件 以单元体为分离体 过其形心C作xC yC zC轴 切应力互等定理 故应力张量为二阶对称张量 9个分量中 只有6个独立分量 10 3平面应力状态分析 若某点的单元体应力状态满足 9个应力分量有些为零 不为零的应力分量作用线都在同一平面内 称为平面应力状态或二向应力状态 例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体 例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体 1 平面应力状态的工程表示方法 正应力 以拉为正 切应力 以使单元体顺时针转动为正 应力分量的正负号规定 故切应力互等定理为 2 平面应力状态分析 解析法 若某点的应力状态已知 可求出该点任意外法线与为n的斜截面上的应力分量 已知 某点单元体上的应力分量 求该点外法线为n的斜截面 面上的正应力 切应力 沿斜面将单元体切开取分离体 设斜面面积为dA 同理可得 10 4主平面 主方向 主应力 最大切应力 1 主平面主方向主应力 在变形体内某一点处 若某一方向的斜截面上 则该截面称为主平面 该斜截面的方向角 称为主方向 记为 P 0 2 内 得两个值和 且 即这两个主平面相互垂直 主平面上的正应力称为主应力 由斜面应力公式 10 1 令 故 主平面上的正应力达到极值 即主应力分别对应于 的极大值和极小值 将 P1 P2代入 10 1 得出主平面上的主应力为 以主平面为单元体的各面则称为主单元体 从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体 主单元体的各表面上只有正应力 没有切应力 对平面应力状态 z平面也为一个主平面 其上的主应力为零 故平面应力状态有三个主应力 按代数值大小排列为 1 2 3 分别称为第一主应力 第二主应力 第三主应力 对任意的一般应力状态 同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力 一般应力状态的分类 某点的三个主应力全不为零 该点为三向应力状态 某点有一个主应力为零 该点为二向应力状态 某点有二个主应力为零 该点为单向应力状态 简单应力状态 某点处所有截面上的正应力 其极大值为 1 极小值为 3 单向 双向 三向应力状态 2 某点单元体的最大切应力 上式的两个解 S1 S2为切应力达到极值的平面 S与主平面 P相差45 即 P1与 P2的角平分线方向为 S1和 S2的方向 切应力的极值为 同理 某点的三个主应力中 任意二个主应力都可找出一组切应力极值 分别为 该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者 即 10 5 主切应力 而最大切应力所在平面的法向应为 1 3两方向的角平分线方向 思考题 最大切应力所在平面上的正应力是多少 已知初始单元体的应力 单位 Mpa 求主单元体上的应力并画出主单元体 解 例题1 10应力应变分析与应力应变关系 例题 由初始单元体上的应力分量 代入主应力公式 故三个主应力分别为 求主方向 例题1 10应力应变分析与应力应变关系 例题 10 5应力圆一点处平面应力状态的图解法 由斜面应力公式可得 b a 上两式两边平方后相加 圆的方程 圆心 圆的半径 上式在应力坐标系中为一圆 称为应力圆 莫尔圆 圆心 圆的半径 应力圆的画法 已知某点的平面应力状态为 x面坐标Dx y面坐标Dy 以CDx为半径画出应力圆 应力圆的物理意义 圆周上任意一点的坐标值 为该点某一斜截面上的正应力和切应力 角以逆时针为正 因此 当连续变化至时 坐标绕应力圆的圆心转一周 应力圆上一点 由绕圆心转过角 对应截面上的应力 从应力圆上还可找到 主应力 主方向 主切应力 主应力 主方向 方向 最大切应力 单元体的主应力 主方向 主切应力 2 纯剪切 纯剪 几种工程上常见的应力状态的实例 1 单向拉伸 2 单向压缩 某点单元体应力状态如图 确定该点的主应力 主方向 画出主单元体及其上的应力 并在应力圆上标出图示截面上的应力 单位 例题2 10应力应变分析与应力应变关系 例题 解 例题2 10应力应变分析与应力应变关系 例题 与 2对应 主应力为 与 1对应 主单元体 例题2 10应力应变分析与应力应变关系 例题 已知应力圆如图 画出该点的初始单元体及应力 主单元体及应力 单位 解 例题3 10应力应变分析与应力应变关系 例题 初始单元体 半径 主单元体 例题3 10应力应变分析与应力应变关系 例题 11 5三向应力状态 将三个主应力按代数量的大小顺序排列 因此根据每一点的应力状态都可以找到3个相互垂直的主应力和3个正交的主方向 三向应力圆 空间任意方向截面上的应力 可由三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示 一点处最大的剪应力 求 解 在 平面内 例题4 10应力应变分析与应力应变关系 例题 为一个主应力 一点的变形有正应变 线应变 和切应变 剪应变 11 6应变分析 1 某点处 单元体的 变形的描述 应变 正应变 线段单位长度的改变量 无量纲 切应变 直角的改变量 单位 弧度 某点处的应变 二阶对称应变张量 在 坐标下 2 平面应变状态 与平面应力状态对应的 单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量 在 坐标下 方向到方向夹角 令 与平面应力状态的分析类似有 某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态 类似 也可求出该点的主应变 主应变方向 应变花 可证明 在应力或变形不是很大的情况下 线弹性范围 主应力与主应变的方向是重合的 可用于实验测定一点处的应变状态 胡克定律 比例系数称为材料的弹性模量 比例系数称为泊松比 11 7应力应变关系 1 单向应力状态 横向应变 纵向应变 在线弹性范围内 剪切胡克定律 切变模量 可证明 2 纯剪应力状态 只有作用时 3 广义胡克定律 只有作用时 只有作用时 只有作用时 故某点为任意应力状态时应满足 对主单元体 例题5 10应力应变分析与应力应变关系 例题 解 则 例题5 10应力应变分析与应力应变关系 例题 设 整理后 例题5 10应力应变分析与应力应变关系 例题 平面应力状态下的广义胡克定律 某点的应力状态为纯剪切 在该点测得与x轴夹角为 45 方向上的正应变是 已知 求 解 例题6 10应力应变分析与应力应变关系 例题 由该点主方向上的广义胡克定律 由于纯剪切的主方向为与x轴夹角 45 方向 主应力为 0 取一体积为的单元体 受应力作用变形 4 体积变形 变形后的体积 各边长的改变量为 单位体积的改变