第2章 第12节　定积分与微积分基本定理.doc

第十二节定积分与微积分基本定理考纲传真(教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义(对应学生用书第42页)基础知识填充1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx f(i)(2)有关概念在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(3)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)知识拓展函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有 基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)的图象，直线xa，直线xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()(4) ()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知质点的速率v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是()A10tB5tCtDtB 3. 4曲线yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为_ (对应学生用书第43页)定积分的计算计算下列定积分 规律方法1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分.(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分.跟踪训练(1)(2018江西九校联考)(2x)dx_. 【导学号：97190091】(2)设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_ 定积分的几何意义(1)(2018南宁、钦州第二次适应性考试)定义mina，b设f(x)min，则由函数f(x)的图象与x轴、直线x2所围成的封闭图形的面积为()ABCln 2 Dln 2(2)已知曲线yx与直线ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为，则k_. 规律方法利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形.(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.跟踪训练(1)曲线yx2，y与x轴所围成的面积为_(2)(2017山西大学附中第二次模拟)曲线y2sin x(0x)与直线y1围成的封闭图形的面积为_. 【导学号：97190092】 定积分在物理中的应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2C由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt|425ln 5.规律方法定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程s.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用