余弦定理及其证明(精选多篇)

余弦定理及其证明(精选多篇) 第一篇：余弦定理及其证明 第二篇：正、余弦定理及其应用 第三篇：余弦定理证明过程 第四篇：余弦定理证明 第五篇：怎么证明余弦定理 更多相关范文 余弦定理及其证明 1.三角形的正弦定理证明： 步骤1. 在锐角abc中，设三边为a，b，c。作chab垂足为点h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤2. 证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d. 连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r a/sina=bc/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明： 平面几何证法： 在任意abc中 做adbc. c所对的边为c，b所对的边为b，a所对的边为a 则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 根据勾股定理可得： ac2=ad2+dc2 b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2 b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb cosb=(c2+a2-b2)/2ac 3 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c2=a2+b2-2ab*cosc a2=b2+c2-2bc*cosa b2=a2+c2-2ac*cosb 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过a作adbc于d，则bd+cd=a 由勾股定理得： c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b2-(cd)2 所以c2=(ad)2-(cd)2+b2 =(a-cd)2-(cd)2+b2 =a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2 =a2+b2-2a*cd 因为cosc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c2=a2+b2-2ab*cosc 题目中2表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材数学(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则 (1)(正弦定理)=; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2aosb, a2=b2+c2-2bosa. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设ad、be、cf分别是abc的三条高。则有 ad=b?sinbca， be=c?sincab， cf=a?sinabc。 所以sabc=a?b?csinbca =b?c?sincab =c?a?sinabc. 证法二：如图1，设ad、be、cf分别是abc的3条高。则有 ad=b?sinbca=c?sinabc， be=a?sinbca=c?sincab。 证法三：如图2，设cd=2r是abc的外接圆 的直径，则dac=90，abc=adc。 证法四：如图3，设单位向量j与向量ac垂直。 因为ab=ac+cb， 所以j?ab=j?(ac+cb)=j?ac+j?cb. 因为j?ac=0， j?cb=|j|cb|cos(90-c)=a?sinc， j?ab=|j|ab|cos(90-a)=c?sina. 二、余弦定理的证明 法一：在abc中，已知，求c。 过a作， 在rt中， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形，得 结合、有 即. 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形ab，则bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根据向量的运算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4) . 正、余弦定理及其应用 作者：夏志辉 ：数学金刊高考版xx年第10期 正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用. 重点难点 在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型. 重点：正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；判断三角形的形状；解斜三角形；运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题. 难点：解三角形时解的情况的讨论；正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题. 在abc中，设bca，acb，abc，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，边a可(收藏，)利用勾股定理用c、b表示，而cd可在rtac中利用边角关系表示，db可利用abad转化为ad，进而在rtac内求解。 解：过c作cdab，垂足为d，则在rtcb中，根据勾股定理可得： a2c2b2 在rtac中，c2b2a2 又b2（ca）2c22caa2 a2b2a2c22caa2b2c2 2ca 又在rtac中，adbcosa a2b2c22bosa类似地可以证明b2a2c22aosb，c2a2b22abcosc 余弦定理证明 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 怎么证明余弦定理 证明余弦定理： 因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)2+(bsina)2=a2。 又因为b2-(bcosa)2=(bsina)2，所以(c-x)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+(bcosa)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+b2=a2， 所以c2+b2-a2=2cbcosa， 所以cosa=(c2+b2-a2)/2bc 同理cosb=(a2+c2-b2)/2ac，cosc=(a2+b2-c2)/2ab 2 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cos