2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性学案苏教版.docx

1.3.1单调性学 习 目 标核 心 素 养1.利用导数研究函数的单调性(重点)2含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解(难点)3由单调性求参数的取值范围(易错点)1.通过对导数与函数单调性关系的学习，培养数学抽象，直观想象素养2通过利用导数证明单调性、求单调区间等，培养数学运算素养.1函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数yf(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0f(x)为该区间上的增函数f(x)0可得x2，故f(x)的单调递增区间为(2，)选D.2设f(x)x(x0)，则f(x)的单调递减区间为()A(，2)B(2,0)C(，)D(，0)Df(x)，令f(x)0可得，x，又x0，x0.选D.3函数f(x)exx的单调递增区间为_(0，)f(x)exx，f(x)ex1.由f(x)0得，ex10，即x0.f(x)的单调递增区间为(0，)4函数yax31在(，)内是减函数，则a的取值范围为_(，0)因为y3ax20恒成立，解得a0.而a0时y1不是减函数，所以a1，即f(x)ex10.故函数f(x)在(0，)内为增函数，当x(，0)时，ex1，即f(x)ex10.故函数f(x)在(，0)内为减函数(2)由于f(x)，所以f(x).由于0x2，所以ln xln 20.故f(x)0.函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数1利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f(x)0(或f(x)0，又f(x)(ln xx)1，当x0时，f(x)10，故yln xx在其定义域内为增函数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.思路探究首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x26x3x(x2)当0x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x2时，f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0得x2x20，解得x2，又x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，)已知函数的单调性求参数的取值范围探究问题1在区间(a，b)内，若f(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示不一定成立比如yx3在R上为增函数，但其在x0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件2若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f(x)满足什么条件？提示f(x)0(或f(x)0)【例3】已知函数f(x)x3ax1为单调递增函数，求实数a的取值范围思路探究 解由已知得f(x)3x2a，因为f(x)在(，)上是单调增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0.1(变条件)若函数f(x)x3ax1的单调减区间为(1,1)，求a的取值范围解f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)在(，)上为增函数，不合题意当a0时，令3x2a0，得x，当x时，f(x)0.f(x)在上为减函数，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.2(变条件)若函数f(x)x3ax1在(1,1)上单调递减，求a的取值范围解由题意可知f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3.即a的取值范围是3，)3(变条件)若函数f(x)x3ax1在(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由f(x)0，得x(a0)，f(x)在区间(1,1)上不单调，01，即0a3.故a的取值范围为(0,3)1解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立1求函数单调区间应遵循“定义域优先”原则2由函数单调性求参数范围时，函数单调递增f(x)0，函数单调递减f(x)0，不要忽略“等号”.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x(a，b)，都有f(x)0.()(2)函数f(x)在其定义域上是单调减函数()(3)函数f(x)x32x在(1，)上单调递增()(4)若存在x(a，b)有f(x)0成立，则函数f(x)为常数函数()答案(1)(2)(3)(4)2设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为()Cf(x)在(，1)，(4，)上是减函数，在(1,4)上为增函数，当x1或x4时，f(x)0；当1x4时，f(x)0.故选C.3函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_(1,2)f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.4已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在1,4上单调递减，所以x