高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线的定义与标准方程课件 湘教版选修21.ppt

2 3抛物线2 3 1抛物线的定义与标准方程 2 3 1 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 会求简单的抛物线的方程 课前自主学案 抛物线 2 相等 准线 思考感悟1 如何理解抛物线的定义 提示 1 抛物线定义的实质可归结为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f即抛物线的焦点 一条定直线l即抛物线的准线 一个定值即点m与点f的距离和它到直线l的距离之比等于1 2 在抛物线的定义中 定点f不能在直线l上 否则 动点m的轨迹就不是抛物线 而是过点f垂直于直线l的一条直线 如到点f 1 0 与到直线l x y 1 0的距离相等的点的轨迹方程为x y 1 0 轨迹为过点f且与直线l垂直的一条直线 2 抛物线的标准方程 思考感悟2 如何确定抛物线的焦点位置和开口方向 提示 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 四种位置的抛物线标准方程的对比 1 共同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 焦点的非零坐标都是一次项系数的 2 不同点 焦点在x轴上时 方程的右端为 2px 左端为y2 焦点在y轴上时 方程的右端为 2py 左端为x2 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同 焦点在x轴 或y轴 正半轴上 方程右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同 焦点在x轴 或y轴 负半轴上 方程右端取负号 课堂互动讲练 求抛物线y 2ax2 a 0 的顶点坐标 焦点坐标 准线方程 指出其开口方向并确定p值 自我挑战1已知抛物线的标准方程如下 分别求其焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 2 2y2 5x 0 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法 由于标准方程有四种形式 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上 进而确定方程的形式 然后再利用已知条件确定p的值 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 思路点拨 首先判断焦点可能存在的位置 设出适当的方程的形式 然后求出参数p即可 名师点评 1 确定抛物线的标准方程 从形式上看 只需求一个参数p 但由于标准方程有四种类型 因此 还应确定开口方向 当开口方向不确定时 应进行分类讨论 有时也可设标准方程的统一形式 避免讨论 如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2 2mx m 0 焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2 2my m 0 2 求抛物线标准方程的方法 特别注意在设标准方程时 若焦点位置不确定 要分类讨论 对于抛物线中的最值问题 其求解方法为把到焦点的距离化为到准线的距离 到准线的距离化为到焦点的距离 思路点拨 先根据抛物线的定义求出抛物线方程 再利用平面几何的有关性质求出最小值 解 1 点m到点f 0 1 的距离比它到x轴的距离大1 即 点m到点f 0 1 的距离等于它到直线y 1的距离 所以点m的轨迹是以f为焦点 直线y 1为准线的抛物线 此时 p 2 故所求抛物线方程g为x2 4y 2011年青州高二检测 已知点a 12 6 点m到f 0 1 的距离比它到x轴的距离大1 1 求点m的轨迹方程g 2 在g上是否存在一点p 使点p到点a的距离与点p到x轴的距离之和取得最小值 若存在 求此时点p的坐标 若不存在 请说明理由 名师点评 根据抛物线的定义 平面内与一个定点f和一条不过该点的直线l的距离相等的点的集合叫作抛物线 另一方面 抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离 就是说 定义具有判定和性质的双重作用 本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程 又利用抛物线的定义 化曲折为平直 将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值 这是平面几何性质的典型运用 自我挑战3已知抛物线y2 4x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点坐标 解 1 1 p 是抛物线的焦点到准线的距离 所以p的值永远大于0 特别注意 当抛物线标准方程的一次项系数为负时 不要出现错误 2 只有顶点在坐标原点 焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式 3 抛物线的开口方向取决于一次项变量 x或y 的取值范围 如抛物线x2 2y 一次项变量y 0 所以抛物线开口向下 2 标准方程中只有一个参数p 求抛物线的标准方程 只需求出p的值即可 常用待定系数法