专题-6 相似三角形.doc

三角形专题三相似三角形一.比例相关知识1、比例线段的概念在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：例1.若，那请判断是否成比例线段？例2. 已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a2 cm，b4 cm，c5 cm，则d等于_ 2、比例的性质(一)、基本性质：(1)； (2)注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，例1. 已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是_（二）、更比性质(交换比例的内项或外项)：（三）、反比性质(把比的前项、后项交换)：（四）、合比性质：注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如等等例1.已知5y4x0，那么（xy）（xy）的值等于_（五）、等比性质：如果，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中例1.如果xyz135，那么_例2.已知，若，则 例3. 已知，则的值为 3、比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例例1(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边例1. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（）（A）（B）（C）（D）例2例2. 已知如图，ABCD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、例3如图，l1l2l3，BC3，2，则AB_二.相似三角形1、相似三角形概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例2、 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形： 用数学语言表述是：，例1如图，已知DEBC，且BF：EF43，则ACAE_3、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一有 (2)对称性：若，则 (3)传递性：若，且，则4、三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法：1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注意：三角形相似的判定方法是将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例” 例1. 下列判断中，正确的是（）（A）各有一个角是67的两个等腰三角形相似（B）邻边之比都为21的两个等腰三角形相似（C）各有一个角是45的两个等腰三角形相似（D）邻边之比都为23的两个等腰三角形相似例2. 如图1，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（） （A）1对 （B）2对（C）3对 （D）4对例3. 已知：如图2，ADEACDABC，图中相似三角形共有（）（A）1对 （B）2对（C）3对 （D）4对例4. 如图，ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（）（A）ABEDGE（B）CGBDGE （C）BCFEAF（D）ACDGCF例5. 如图，D是ABC的边AB上一点，在条件（1）ACDB，（2）AC2ADAB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）BACB中，一定使ABCACD的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4例6. 如图，在ABC中，AB15 cm，AC12 cm，AD是BAC的外角平分线，DEAB交AC的延长线于点E，那么CE_cm 例7. 如图，已知ABC中，AEEB13，BDDC21，AD与CE相交于F，求的值。 例8.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF5、相似三角形性质：(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等例1. 如图，在ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么MONAOC面积的比是_例2. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则BGC与四边形CGFD的面积之比是_6、相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)相似多边形的性质：(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和键例1.如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC的周长为l，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为（）（A）l（B）3l（C）2l（D）例2.如图，将ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于（）（A）1234（B）2345（C）1357（D）3579l 真题训练1. （2010四川攀枝花）如图1，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CF交AD于点F点E是AB的中点，连结EF（1）求证：；（2）若ABD的面积是6求四边形BDFE的面积图1FEDCBA2. （2010内蒙呼和浩特）如图，等边ABC的边长为12，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAE4，若点F从点B开始以2/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.（1）设EGA的面积为S（2），求S与t的函数关系式；（2）在点F运动过程中，试猜想GFH的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说明理由.（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.3. （2010黑龙江绥化）已知在RtABC中，ABC90，A=30，点P在AC上，且MPN=90.1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PEAB于点E，PFBC于点F，可证PMEPNF，得出PN=PM.（不需证明）2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选其一给予证明.4. （2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度秒的速度运动一周 (1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示OCD的面积S,并指出t为何值 时，S最大； (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与OCD相似(只考虑以点AO为对应顶点的情况)：题28(a)图 题28(b)图5、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。（1）求的度数;xCDAOBEGHFy（图2）yxCDAOBEGF（图1）（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到，记直线与射线DC的交点为H。如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE;6、（2010山西）在直角梯形OABC中，CBOA，COA9