第4节　直接证明与间接证明.doc

第4节直接证明与间接证明【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,4分析法3,6反证法2,5,7,9,10综合应用8基础巩固(时间:30分钟)1.(2017西安一模)已知p=ab+cd,q=ma+ncbm+dn(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为(B)(A)pq(B)pq(C)pq(D)不确定解析:q=ab+madn+nbcm+cdab+2abcd+cd=ab+cd=p.选B.2.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(A)(A)方程x3+ax+b=0没有实根(B)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(C)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(D)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+ b=0没有实根,故选A.3.已知ab0,证明a-ba-b可选择的方法,以下最合理的是(B)(A)综合法(B)分析法(C)类比法(D)归纳法解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.我们选择分析法,欲证:a-ba-b,只需证:ab+a-b,即证:ab+ (a-b)+2b(a-b),只需证:00,b0,c0,所以(a+1b)+(b+1c)+(c+1a)=(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.5.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则(D)(A)A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形(B)A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形(C)A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形(D)A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形解析:由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设A2B2C2是锐角三角形.由sin A2=cos A1=sin(2-A1),sin B2=cos B1=sin(2-B1),sin C2=cos C1=sin(2-C1),得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,那么,A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为180相矛盾.所以假设不成立,又显然A2B2C2不是直角三角形.所以A2B2C2是钝角三角形.选D.6.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证b2-ac0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0解析:由题意知b2-ac3ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.选C.能力提升(时间:15分钟)7.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(C)(A) (B)(C) (D)解析:若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.8.已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:1a+b+1b+c=3a+b+c.证明:要证1a+b+1b+c=3a+b+c,即证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3也就是ca+b+ab+c=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又ABC三个内角A,B,C成等差数列,故B=60,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.9.直线y=kx+m(m0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.(1)解:因为四边形OABC为菱形,则AC与OB相互垂直平分.由于O(0,0),B(0,1),所以设点A(t,12),代入椭圆方程得t24+14=1,则t=3,故|AC|=23.(2)证明:假设四边形OABC为菱形,因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0.由x2+4y2=4,y=kx+m,消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x22=-4km1+4k2,y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2.所以AC的中点为M(-4km1+4k2,m1+4k2).因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为-14k,因为k(-14k)=-14-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B在W上且不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形.10.已知等差数列an中,首项a10,公差d0.(1)若a1=1,d=2,且1a12,1a42,1am2成等比数列,求正整数m的值;(2)求证:对任意正整数m,1am2,1am+12,1am+22都不成等差数列.(1)解:因为a1=1,d=2,所以a4=7,am=2m-1.因为1a12,1a42,1am2成等比数列,所以(172)2=1(2m-1)2,所以(2m-1)2=492.因为a10,d0,mN*,所以m=25.(2)证明:假设存在mN*,使1am2,1am+12,1am+22成等差数列,即2am+12=1am2+1am+22,所以2a