高中数学-点、直线、平面之间的位置关系.docx

点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.注意: 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用途公理1 证明点在平面内证明直线在平面内公理2 确定平面的条件证明有关点、线共面问题公理3确定两个平面的交线证明三点共线或三线共点二、空间直线与直线的位置关系1、位置关系: 共面与否公共点个数 2、公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.3、公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4、异面直线的夹角:定义:已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线aa,bb,我们把两相交直线a,b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).范围:特别地:如果两异面直线所成的角是90,我们就称这两条直线互相垂直,记作ab.三、空间中的直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系有两种【例1】下列命题中正确的是( )A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确.【例2】若A表示点,a表示直线,、表示平面,则下列表述中,错误的是( )A.a,AaAB.a,AaAC.A,A,=aAaD.Aa,Aa解析:a的含义是a上所有点都在平面上,故A正确;反之直线a上有一点不在上,就说明a,故D正确,但是a并不代表所有点都不在上,故B错误.C就是公理3,故C正确. 答案:B【例3】给出下面四个命题:如果直线ac,bc,那么a,b可以确定一个平面;如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;如果ac,bc,那么a,b可以确定一个平面;直线a过平面内一点与平面外一点,直线b在平面内不过该点,那么a和b是异面直线.上述命题中,真命题的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:中,由公理4知,ab,故正确;中,a,b可能异面,故错误;中,a,b可能异面,故错误;正确. 答案:B【例4】在正方体ABCDABCD中,EF分别为棱AACC的中点,则在空间中与三条直线ADEFCD都相交的直线( )A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条【例5】三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( )这三条直线必共点;其中必有两条是异面直线;三条直线不可能共面;其中必有两条在同一平面内A.4个 B.3个C.2个 D.1个解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论不正确,也说明必有结论不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论正确;三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故结论不正确.故选D.类型一点共线问题解题准备:证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.【例1】 已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别为D1C1C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)DBFE四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则PQR三点共线.解 (1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD, 所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面,即DBFE四点共面.(2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q,又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理,P点也是与的公共点.所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R,则RPQ,故PQR三点共线.类型二线共点问题解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.【例2】 如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别为棱AB,AA1的中点.求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.证明： 直线DA平面AD1,直线D1F平面AD1,显然直线DA与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与直线CE相交于点M.又EF为棱ABAA1的中点,易知MA=AD,MA=AD,所以MM为直线AD上的同一点,因此,三条直线DACED1F交于一点.类型三线共面问题证明共面问题的常用方法：证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.类型四异面直线所成的角解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:直线平移,中位线平移,补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值.【例3】 在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC= ,且ADBC,对角线 求AC和BD所成的角.解：作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间问题转化为平面问题.如图,分别取ADCDABBD的中点EFGH,连接EFFHHGGEGF. 由三角形的中位线定理知,EFAC,且EF= ,GEBD,且GE= .GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理, GHAD,HFBC.又ADBC,GHF=90,GF2=GH2+HF2=1.实战演练一、选择题：.1以下命题正确的是（）A两个平面可以只有一个交点B一条直线与一个平面最多有一个公共点C两个平面有一个公共点，它们可能相交D两个平面有三个公共点，它们一定重合2下面四个说法中，正确的个数为（） （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）若M，M，l，则Ml （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A1B2C3D43ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是（）AA、M、O三点共线BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面4已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么（）A B与相交C与重合 D或与相交5两等角的一组对应边平行，则（）A另一组对应边平行B另一组对应边不平行C另一组对应边也不可能垂直D以上都不对6如图所示，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2， E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（）A1 B C D7平面平面，AB、CD是夹在和间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点， 则EF与的关系是（）A平行B相交 C垂直 D不能确定8经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A只有一个B至少有一个 C可能没有D有无数个9已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC4，BD2，那么EG2HF2的值等于（ ）A10 B15 C20 D2510若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（）A三个平面共线；B有两个平面平行且都与第三个平面相交；C三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D三个平面两两相交。二、填空题：11如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B，ACM，BDN，且ACl，AB8cm，AC6 cm，BD24 cm，则CD_12如图所示，A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD6，则MN_13已知平面平面，P是、外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交于A、B，交于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为_14在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，D1到B1C的距离为_， A到A1C的距离为_三、解答题：文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15（12分）设P是ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，BAC为直角.求证：平面PCB平面ABC16（12分）如图所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行17（12分）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD1：2，ACBDO，求证：平面AGO/平面D1EF18（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD，E、F分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证直线EF、GH、AC交于一点19（14分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PAADa （1）求证：MN平面PAD； （2）求证：平面PMC平面PCD20（14分）如图272，棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点， （1）求证：E、F、B、D四点共面； （2）求四边形EFDB的面积参考答案（四）一、CADDD BACAC二、1126 cm；122；1320或4；14a ，a；三、15证明：如答图所示，取BC的中点D，连结PD、AD，PBDCAD是直角三角形ABC的斜边BC的中点BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边PDA=PDB=POC=90PDBC，PDDA，PD平面ABC又PD平面PCB平面PCB平面ABC.Pl1l2l3l3l2l1(a)(b)16证明：如答图所示，设已知平面、，l1，l2，l3，如果l1、 l2、 l3中有任意两条交于一点P，设l1 l2P，即Pl1，Pl2，那么P，P，则点P在平面、的BADCC1B1D1A1GOEFH交线l3上，即l1、 l2、 l3交于一点如（a）图；如果l1、 l2、 l3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以l1 l2 l3如（b）图.17如答图所示，设EFBDH，在DD1H中，GO/D1H，又GO平面D1EF，D1H平面D1EF，GO/平面D1EF，在BAO中，BEEF，BHHO，EH/AOAO平面D1EF，EH平面D1EF，AO/平面D1EF，AOGOO，平面AGO/平面D1EF.BFCGHAED18如答图所示，AEEB，AHHD，EH/BD，且EHBD，FG/BD，且FGBD，EH/FG，且EHFG，故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P，P平面ABC，又P平面DAC，又平面BAC平面DACAC，故PAC，即EF、GH、AC交于一点.19证明：如答图所示，设PD的中点为E，连结AE、NE，由N为PD的中点知ENDC，又ABCD是矩形，DCAB，ENABPNCBMADE又M是AB的中点，ENAN，AMNE是平行四边形MNAE，而AE平面PAD，NM平面PADMN平面PAD证明：PAAD，AEPD，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDP