东北大学流体力学与传热学-7.ppt

工程流体力学与传热学 信息学院 次英 第七章非稳态导热 7 1非稳态导热的基本概念 1 定义 物体的温度随时间而变化的导热过程 2 分类 1 周期性非稳态导热 2 非周期性非稳态导热 瞬态导热 物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值 物体的温度随时间而作周期性变化 例如 建筑物一昼夜的温度变化 电冰箱的间断冷却 回转式空气预热器 例如 工件的淬火 铸件的冷却 热动力设备起停时的部件的温度变化 设一平壁 初值温度t0 令其左侧的表面温度突然升高到t1 并保持不变 而右侧仍与温度为t0的空气接触 3 非稳态导热温度变化过程 定性 平壁内温度场的变化过程 紧靠平壁左侧的区域温度首先上升 其余部分仍保持原来的温度 经过某一时刻 壁内温度分布如图中曲线HBD 随着时间的推移 温度变化涉及的范围逐渐扩大 平壁内自左向右 温度变化一层一层地传播到平壁的右侧表面 到某一时间后 右侧表面温度也逐渐升高图中曲线HCD HD 在一定时间之后 右侧表面的温度也逐渐升高曲线HE HF 最后 经过足够长的时间 壁内温度分布将变成一条直线HG 若 const 则HG是直线 非稳态导热过程结束 进入稳态导热过程 a非正规状况阶段 右侧面不参与换热 上述非稳态导热过程中 存在着两个不同阶段 b正规状况阶段 右侧面参与换热 温度变化从边界面逐渐深入到物体内部 各点温度随时间的变化率各不相同温度分布主要受初始温度分布控制 特点 温度分布主要取决于边界条件及物性 特点 物体内各点温度随时间的变化率具有一定的规律 非稳态导热过程总会经历 4 特点 非稳态导热过程中 在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等原因 在热量传递的路径上 物体各处温度的变化要积聚或消耗能量 平壁在升温过程所积聚的能量 正规状况阶段 非稳态导热非正规状况阶段 起始阶段 新的稳态 7 2非稳态导热的数学模型 1 数学模型 假定物体的热物理特性参数均为常数 初始条件 边界条件 第三类边界条件比较常见 说明 n是换热表面的外法线 h tf是已知的 2 物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 设厚为的平板 初始温度为t0 表面传热系数h 导热系数 将其突然至于温度为的流体中冷却 根据平板导热热阻和表面对流传热热阻相对大小的不同 温度场变化分三种情况 毕渥数 毕渥数的物理意义 其大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律 3 非稳态导热要解决的问题 不同时刻各点的温度分布如 热应力达到稳定后某时刻所需的时间如 淬火过程传热量应用较少 7 3零维问题的分析法 集中参数法 1 集中参数法定义 忽略物体内部导热热阻 认为物体温度均匀一致 此时 温度分布只与时间有关 即 与空间位置无关 忽略物体内部导热热阻的简化分析方法 2 集中参数法温度场的分析解 假设 有一任意形状的固体 其体积为V 表面积为A 并具有均匀的初始温度t0 在初始时刻 突然将其置于温度恒为的流体中 设固体与流体间的表面传热系数h 固体的物性参数均保持常数 试根据集中参数法确定物体温度随时间的依变关系 解 建立非稳态导热数学模型 方法一 根据非稳态 有内热源的导热微分方程 根据假设 物体内部热阻很小 忽略不计 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等 即t仅是时间的一元函数 与空间无关 其中 应看成是广义热源 而且发生热交换的边界不是计算边界 零维问题 无几何边界 因而界面上交换的热量应折算称整个物体的体积热源 物体被冷却 故 应为负值 瞬时时刻导热微分方程 方法二 根据能量守恒原理 建立物体的热平衡方程 物体与环境的对流散热量 物体内能的减少量 物体温度随时间的依变关系 引入过余温度 则有 控制方程 初始条件 对上述数学描写分析求解 得 则其中的指数可变化如下 式中的具有长度的量纲 并定义为特征长度 傅里叶数 采用集中参数法分析时 物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化 而且开始变化较快 随后逐渐变慢 指数函数中的具有与相同的量纲 称为时间常数 用表示 1 当时间时 物体的过余温度将到了初始过余温度的36 8 2 3 热量计算 导热物体的瞬时热流量为 时刻之间所交换的总热量为 4 集中参数法适用条件 对形如平板 圆柱和球这一类的物体 如果毕渥数满足以下条件 则物体中各点过余温度的差别小于5 一温度计的水银泡呈圆柱状 长20mm 内径为4mm 初始温度为t0 今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度 设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h 11 63W m2 K 水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计 水银的物性参数如下 试计算1 此条件下温度计的时间常数 2 插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几 例7 1 讨论 由此可见 当用水银温度计测量流体温度时 必须在被测流体中放置足够长的时间 以使温度计与流体之间基本达到热平衡 响应特性很差 需采用时间常数很小的感温元件 如 直径很小的热电偶 物理意义 无量纲热阻 无量纲时间 Fo越大 热扰动就能越深入地传播到物体内部 因而 物体各点的温度就越接近周围介质的温度 Bi越小 意味着内热阻越小或外热阻越大 Bi0 集中参数法 边界条件的简化 导热问题归纳三类A B C 导热物体内部热阻的简化处理 集中参数法 导热物体形状的简化 从实物形状中抽象简化出了无限大平板 无限长圆柱等概念 3 建立数学方程 求得通解 与定解条件 初始 边界条件 特解 数学方法 建立数学模型 求解传热问题 1 常对实际问题适当简化建立数学模型求解 a 精确解b 近似解c 数值解 简化涉及 2 坐标系的选择 不同形状选用相应坐标系 7 4典型一维物体非稳态导热的分析解 所谓一维 对平板 温度仅沿厚度方向变化对圆柱与球 温度仅沿半径方向变化 1 无限大平板的分析解 求 在非稳态过程中板内的温度分布 初始条件 导热微分方程 假设 平板两边对称换热 板内温度分布必以其中心截面为对称面 只要研究厚为的半块平板的情况即可 边界条件 引入过余温度 方程化为 边界条件a 边界条件b 把有两个变量的偏微分方程的解表示成两个函数的乘积 每一个函数各与一个变量有关 从而将偏微分方程化为两个常微分方程 变量分离法主要思路 设 于是 只为 的函数 只为x的函数 上式要成立只能等于常数 设为D 积分得 D的取值 若D 0 T将随着时间的增大而急剧增大 并趋于无限大若D 0 T等于常数 意味着温度将不随时间而变化 不可能 常数D只能为负值 设 于是得出 用初始条件和边界条件确定A B 边界条件a 边界条件b 特征方程 是以 为周期的函数 故解有无穷多个 1 2 n 称为特征值 当时 直线与横坐标重合 特征值 1 2 2 3 2 n 2n 1 2 当时 直线与纵坐标重合 特征值 1 0 2 n n 1 在给定Bi准则的条件下 对应于每一个特征值 温度分布的特解为 当常数A1 A2 An为任何值时 各个特解都满足导热微分方程和边界条件 但是上述特解中的任何一个都与初始时刻的实际温度值不等 需用初始条件确定Ai 该导热问题的通解为各个特解的线性叠加 导热微分方程和边界条件都是线性的 温度和温度的各阶导数项的系数都与温度无关 常数An由初始条件确定 上式两端同乘 并在 0 范围内对x积分 所以 平壁内任意瞬间的温度分布 此处 n为特征值 令 因此是F0 Bi和函数 即 2 非稳态导热的正规状况 1 Bi数一定 的值随n的增加而迅速增加 2 反映时间影响部分随Fo的增加而迅速衰减 数值计算表明 当Fo 0 2时 略去无穷级数第二项及以后各项所得的计算结果与按完整计算结果的偏差 1 3 正规状况阶段的表达式 正规状况阶段的任何时刻 平板中任意处与中心处的过余温度之比 与时间无关 只取决于边界条件 3 一段时间间隔内所传导的热量 1 从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡这一过程中所传递的热量 2 从初始时刻到某一时刻 这一阶段所传递的热量Q与Q0之比 非稳态导热过程中传递的最大热量 三种几何形状物体的正规状况阶段温度场可统一表示为 通过分析 三种几何形状物体的正规状况阶段导热量的计算式可统一表示为 此处的A B 和f 1 可以查表 4 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法 1 近似拟合公式法 2 线图算法 诺谟图 工程技术中 为便于计算 采用按分析解的级数第一项绘制的一些曲线 海斯勒图 诺谟图中用以确定温度分布的曲线 以无限大平板为例 Fo 0 2时 取其级数首项即可 a给出随Fo及Bi变化的曲线 此时 b根据确定之值 c于是 平板中任一点的温度为 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅使用恒温介质的第三类边界条件