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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDBABADD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9. 10. 11. 12. 2 13.50（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得.（2）由（1）得，所以所以，又因为，所以，所以.17.（本小题满分12分）17. 解：（1），.（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：025 3035 40 45 50 零件数 （3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.18（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.因为在正方形中，又，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.（2）方法一：以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系设正方形的边长为1，则.由（1）得是平面的一个法向量.设平面的法向量为，所以.令，则，所以是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，且所以，所以二面角的平面角的余弦值为.方法二：过点作于，过点作于，连接.因为，所以平面.因为，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.根据三垂线定理，有，所以为二面角的平面角.设正方形的边长为1，在中，所以.在中，因为，所以，所以.所以，所以，所以二面角的平面角的余弦值为.19.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，又，所以，解得.当时，又，解得.所以.（2） 当时， 得.整理得，即.猜想，. 以下用数学归纳法证明：当时，猜想成立；假设当时，当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为，.20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，所以，所以椭圆的标准方程为（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，设的斜率分别为.设切线方程为，联立，得，所以，整理得，即，因为，所以，整理得；当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，为或，均满足.综上所述，点的轨迹方程为.21.（本小题满分14分）21. 解：（1），由，得或，即或，所以或或，其中.所以函数的定义域.（2）令，则，令，解得，其中.因为，所以随的变化情况如下表：0极大值因为函数与在区间上的单调性相反，所以在和上是增函数， 在和上是减函数.（3）因为，所以，所以函数与的图象关于直线对称，所以.因为，所以.当时，要使，则；当时
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