六年级奥数班讲义.doc

华英学校六年级数学竞赛班精编讲义华英学校六年级数学竞赛班精编讲义姓名:_学校:_班级:_第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1) (2) 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧； ； ； ，2、单位分数的拆分：例：=分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：=本题10的约数有:1,10,2,5.。例如：选1和2，有：本题具体的解有：例题精讲模块一、分数裂项【例 1】 【巩固】【例 2】 计算： 【巩固】 计算： 【巩固】 计算： 【例 3】【例 4】 【巩固】【例 5】 . 【巩固】 计算：【巩固】 计算： 【巩固】 计算： 【巩固】 【例 6】 【巩固】 计算：【巩固】【例 7】 【例 8】【巩固】【例 9】 计算：【巩固】 计算： 【例 10】 模块二、换元与公式应用【例 11】 计算：【巩固】【巩固】 计算：【例 12】 计算： 【例 13】 计算：【巩固】 _； _【巩固】 计算：【例 14】 计算：【例 15】 【巩固】 计算： 【巩固】 计算： 【巩固】 计算： 【巩固】 看规律 ，试求【例 16】 计算： 【巩固】【巩固】 【巩固】 【巩固】 计算【巩固】 计算【巩固】 ()()()()【巩固】 计算()()()()三、循环小数与分数互化【例 17】 计算：，结果保留三位小数【巩固】 ； 【巩固】 计算： 【巩固】 计算 （1） （2） 【例 18】 某学生将乘以一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 【巩固】 将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 【例 19】 有8个数，,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【例 20】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少? 【巩固】 真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？ 【巩固】 真分数化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则是多少？ 【例 21】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_.【巩固】 纯循环小数写成最简分数时,分子和分母的和是,则三位数【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 （1）；（2）【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 【例 23】【巩固】 =-=【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是_。【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_。【例 25】 若，其中a、b都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是【巩固】 如果，均为正整数，则最大是多少？课后练习：练习1.练习2.练习3. 计算：_练习4. 计算：练习5.练习6. ； (结果表示成循环小数) 【备选1】计算： . 【备选2】计算：【备选3】计算：【备选4】计算：【备选5】计算 (结果表示为循环小数) 第二讲 比和比例教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则ad = bc；(即外项积等于内项积)正比例：如果ab=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果ab=k(k为常数)，则称a、b成反比二、主要比例转化实例 ； ； ； ； (其中)； ； ； ， ； 的等于的，则是的，是的三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。5. 赋值解比例问题例题精讲：模块一、比例转化【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？【例 3】 如下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的求圆、圆、圆的面积之比【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是，甲组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比是求丙组中男、女会员人数之比【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下、的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.【例 5】 某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、，那么丙组有多少名男会员？【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例 7】 某校毕业生共有9个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为，三人一共藏书本求他们三人各自的藏书数量.【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元【巩固】 有个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？【例 9】 一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为求原来两班的人数【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生已知大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？【巩固】 参加植树的同学共有人，已知六年级与五年级人数的比是，六年级比四年级多人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用715元问圆珠笔的单价是每支多少元?【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行出发时，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度减少20，乙的速度增加20，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米问：A，B两地相距多少千米？【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】 师徒二人共加工零件个，师傅加工一个零件用分钟，徒弟加工一个零件用分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例 14】 、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满求、三个水桶容积各是多少公升？ 【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米?【巩固】 一个正方形的一边减少，另一边增加米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等原正方形的边长是多少米?【例 16】 一把小刀售价元如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为小明原来有多少钱？【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为，求原来两人的钱数之和为多少？【例 17】 一项机械加工作业，用4台型机床，5天可以完成；用4台型机床和2台型机床3天可以完成；用3台型机床和9台型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下、型机床继续工作，还需要_ 天可以完成作业【例 18】 动物园门票大人元，小孩元六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了，儿童增加了，共增加了人，但门票收入与前一天相同六一儿童节这天共有多少人入园？【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？（二）利用不变量统一份数【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是表面积为，求这个长方体的体积.【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？【例 22】 枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【例 23】 某工地用种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的，年后，儿子的年龄是父亲年龄的今年儿子多少岁？【例 25】 一个周长是厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长方形在图中小长方形面积的比是，而在图中相应的比例是，.又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为求大长方形的面积（1） 【例 26】 北京中学生运动会男女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多人，则总运动员人数为多少？【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为已知放入的红球比白球少只那么原来袋子里共有 只球【例 27】 有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？（三）利用等量关系列方程解比例【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 问报考的共有多少人？【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为_课后练习：b) 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方米 问：水池占多少平方米? c) 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树棵，甲、乙两个班各种树多少棵?d) 甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480元甲本月收入多少元？e) 甲、乙两车分别从、两地同时相向开出，甲车速度是千米小时，乙车速度是千米小时，当甲车驶过、距离的多千米时与乙车相遇，、两地相距 千米备选【备选1】甲、乙、丙三个数，已知，求。【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25那么，这堆糖果中有奶糖多少块? 【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？【备选5】加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个现在三人在同样的时间内一共加工个零件问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?第三讲 方程综合运用教学目标1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。例题精讲【例 1】 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接问：这个足球上共有多少块白色皮块？ 【例 2】 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是 【巩固】 有一个六位数乘以3后变成，求这个六位数 【例 3】 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【例 4】 小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？【巩固】 水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？【例 5】 一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：进球数0128910人数754341还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球问：共有多少人参加测验？【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元求每人可免费携带的行李重量【例 7】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这个旅游团一共有多少人？【例 8】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？【巩固】 解放军某部快艇追及敌舰，追到岛时敌舰已逃离该岛分钟，敌舰每分钟行米，我军快艇每分钟行米。如果距敌舰米处可以开炮射击，解放军快艇从岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【例 9】 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?【巩固】 甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？【巩固】 已知哥哥年后的年龄与弟弟年前的年龄和恰好是岁，而弟弟现在的年龄是两人年龄差的倍，那么试问哥哥今年多少岁？【例 10】 金银合金的重量是克，放在水中称重时，重量减轻了克，已知金在水中称重量减轻，银在水中称重量减轻，求这块合金中金、银各含多少克？【巩固】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下的重量为_千克【例 11】 从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们题目是：我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中的首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出件送给第四个算对这个题目的人最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是王子的金箱中原来有首饰_件，银箱中原来有首饰_件【例 12】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【例 13】 有大、中、小三种包装的筷子盒，它们分别装有双、双、双筷子，一共装有双筷子，其中小盒数是中盒数的倍问：三种盒各有多少盒？【巩固】 用根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有个.其中正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？【例 14】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【例 15】 米老鼠从到，唐老鸭从到，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是，如下图所示是、的中点，离点26千米的点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离点4千米的点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么与之间的距离是 千米【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液克,从甲容器取出的溶液，从乙容器取出的溶液，结果两个容器共剩下克.问：两个容器原来各有多少溶液？【例 16】 甲、乙两种商品的原来价格比是如果它们的价格各自上涨元，它们的价格比变为求甲乙两种商品的原价各是多少元？【巩固】 兄弟两人每月收入比，支出钱数比，他们每月都节余元，求兄弟两人月收入各多少？【例 17】 求方程3x5y31的整数解【例 18】 解方程 （ 其中a、b、c均为正整数 ）【例 19】 解不定方程 (其中x、y、z均为正整数)【例 20】 某公交车起点站已停放10辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8分钟就有一辆公交车开出，在第一辆公交车开出4分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔12分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔8分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？【巩固】 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产、两种产品共件，已知每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克；每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克现在工厂里只有甲原料千克和乙原料千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产、两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案【例 21】 如图，图中、和分别代表包含该数字的三个三角形的面积试问：包含这个字母的四边形面积是多少？ 【巩固】 三角形中，问： 【例 22】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？【例 23】 三张卡片上分另标有、数码(整数)且，游戏时将三张卡片随意分发给、三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果、三人得分总数分别为20、10、9已知在最后一轮的得分是，那么 在第一轮得分是；（2）、分别是 、 、 【例 24】 购买3斤苹果，2斤桔子需要元；购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要 元.【例 25】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；则购买甲、乙、丙各件，共需要 元。【例 26】 假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；乙用绳根不够，差丙家绳子根；丙用绳子根不够。差丁家绳子根；丁用绳子根不够，差戊家绳子根；戊用绳根不够，差甲家绳子根如果各得所差的绳子根，都能到达井深问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数）【例 27】 在同一路线上有个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的时追上乘助力车的，时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是时开摩托车的遇到乘助力车的是时，并在时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？【例 28】 河水是流动的，在点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从到，然后穿过湖到，共用小时若他由到再到，共需小时如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从到再到需小时问在这样的条件下，从到再到需几小时？课后练习：a) 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7个，玲玲摘的苹果的个数就是我的2倍”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7个，他的苹果个数就和我的一样多了”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？b) 大强参加6次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分如果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？c) 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2分，儿子胜一局得8分，负的一方不管是谁都要扣1分，比赛24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？d) 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是这群羊原来有多少只？e) 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？备选【备选1】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是 【备选2】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采个，雨天每天可以采个，它一连几天采了个松子，平均每天采个，问这几天当中有几天是下雨天？【备选3】把金放在水里称，其重量减轻；把银放在水里称，其重量减轻现有一块金银合金重克，放在水里称共减轻了克，问这块合金含金、银各多少克？【备选4】口袋中有若干红色和白色的球若取走一个红球，则口袋中的红球占；若取出的不是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占.原来口袋中白球比红球多多少个？【备选5】张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元两种付款方式的付款总数和付款时间都相同假如一次性付款，可以少付房款1万6千元现在张老师决定采用一次性付款方式问：张老师要付房款多少万元？【备选6】姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐姐与弟弟现在的年龄和为岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？第四讲 平面几何部分教学目标：1 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 图 图三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、燕尾定理在三角形中，相交于同一点，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A_B_G_C_E_F_D【例 2】 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积 【例 3】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为 【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，则阴影部分的面积为 【例 4】 已知为等边三角形，面积为400，、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)【例 5】 如图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 【例 6】 如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积 【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【例 7】 如图在中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积 【例 8】 如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？【例 10】 如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积【例 11】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积【例 12】 如下图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【例 13】 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点则四边形的面积等于 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?【例 14】 四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【例 15】 如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积【例 16】 如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积 【例 17】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点求图中阴影部分的面积【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米 【例 18】 已知是平行四边形，三角形的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米【例 19】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米 【例 20】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点已知正方形的面积48，则的面积是多少？【例 21】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、分别是，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 【例 22】 如图， 中，互相平行，则 【巩固】如图，平行，且，求的长【巩固】如图， 中，互相平行，则 【例 23】 如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求【例 24】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积 【例 25】 如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？ 【例 26】 如右图，三角形中，求【巩固】如右图，三角形中，求.【巩固】如右图，三角形中，求.【例 27】 如右图，三角形中，且三角形的面积是，则三角形的面积为_，三角形的面积为_，三角形的面积为_ 【巩固】 如右图，三角形中，且三角形的面积是，求三角形的面积【巩固】如图，中，那么的面积是阴影三角形面积的 倍 【巩固】如图在中，,求的值【例 28】 如图，三角形的面积是，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少? 【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？ 【例 29】 右图，中，是的中点，、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面