高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5.ppt

第三章不等式 3 1不等关系与不等式 1 能用不等式 组 表示实际问题的不等关系 2 初步学会用作差法比较两实数的大小 3 掌握不等式的基本性质 并能运用这些性质解决有关问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一不等关系与不等式1 不等关系在现实生活中 不等关系主要有以下几种类型 1 用不等式表示常量与常量之间的不等关系 如 神舟 十号飞船的质量大于 嫦娥 探月器的质量 2 用不等式表示变量与常量之间的不等关系 如儿童的身高小于或等于1 4m 3 用不等式表示函数与函数之间的不等关系 如当x a时 销售收入f x 大于成本g x 4 用不等式表示一组变量之间的不等关系 如购置课桌的费用60 x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元 2 不等式 1 不等式的定义用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子叫做不等式 2 关于a b和a b的含义 不等式a b应读作 a大于或等于b 其含义是a b或a b 等价于 a不小于b 即若a b或a b中有一个正确 则a b正确 不等式a b应读作 a小于或等于b 其含义是a b或a b 等价于 a不大于b 即若a b或a b中有一个正确 则a b正确 知识点二比较大小的依据 1 比较实数a b大小的文字叙述 如果a b是正数 那么ab 如果a b等于0 那么ab 如果a b是负数 那么ab 反之也成立 2 比较实数a b大小的符号表示 a b 0 ab a b 0 ab a b 0 ab 答案 思考 1 当x 1时 x2 x 0 填 或 解析答案 解析x2 x x x 1 x 1时 x 1 0 x 0 x x 1 0 x2 x 0 知识点三常用的不等式的基本性质 1 a b ba 对称性 2 a b b c ac 传递性 3 a b a cb c 可加性 4 a b c 0 acbc a b cb c d a cb d 6 a b 0 c d 0 acbd 7 a b 0 anbn n n n 1 返回 答案 题型探究重点突破 题型一用不等式 组 表示不等关系例1 铁路旅行常识 规定 一 随同成人旅行 身高在1 1 1 4米的儿童享受半价客票 以下称儿童票 超过1 4米的应买全价票 每一名成人旅客可免费带一名身高不足1 1米的儿童 超过一名时 超过的人数应买儿童票 十 旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长 宽 高尺寸之和不得超过160厘米 杆状物品不得超过200厘米 重量不得超过20千克 设身高为h 米 物品外部长 宽 高尺寸之和为p 厘米 请用不等式表示下表中的不等关系 解析答案 反思与感悟 解由题意可获取以下主要信息 1 身高用h 米 表示 物体长 宽 高尺寸之和为p 厘米 2 题中要求用不等式表示不等关系 解答本题应先理解题中所提供的不等关系 再用不等式表示 身高在1 1 1 4米可表示为1 1 h 1 4 身高超过1 4米可表示为h 1 4 身高不足1 1米可表示为h 1 1 解析答案 反思与感悟 物体长 宽 高尺寸之和不得超过160厘米可表示为p 160 如下表所示 反思与感悟 数学研究中要培养抽象概括能力 即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系 不等式是不等关系的符号表示 用不等式 组 表示实际问题中的不等关系时 1 要先读懂题 设出未知量 2 抓关键词 找到不等关系 3 用不等式表示不等关系 思维要严密 规范 如 超过 不能取等号 不超过 可以取等号 反思与感悟 跟踪训练1如下图 在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库 四周是绿地 仓库的长l大于宽w的4倍 写出l与w的关系 解析答案 题型二比较实数 式 的大小例2 1 比较x6 1与x4 x2的大小 其中x r 解析答案 解 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 x2 1 0 当x 1时 x6 1 x4 x2 当x 1时 x6 1 x4 x2 综上所述 x6 1 x4 x2 当且仅当x 1时取等号 2 设x y z r 比较5x2 y2 z2与2xy 4x 2z 2的大小 解析答案 反思与感悟 比较大小的方法 1 作差法 比较两个代数式的大小 可以根据它们的差的符号进行判断 一方面注意题目本身提供的字母的取值范围 另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘 或通过配方转化为几个非负实数之和 然后判断正负 作差法的一般步骤 作差 变形 判号 定论 反思与感悟 反思与感悟 2 作商法 作商比较通常适用于两代数式同号的情形 然后比较它们的商与1的大小 作商法的一般步骤 作商 变形 与1比较大小 定论 3 单调性法 利用函数单调性比较大小 通常先构造一个函数 把变量化归到同一单调区间 再利用单调性进行判断 跟踪训练2若a b 0 0cb 解析答案 b 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 1 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式 解决此类问题一定要在理解的基础上 记准 记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用 2 应用不等式的性质进行推导时 应注意紧扣不等式的性质成立的条件 且不可省略条件或跳步推导 更不能随意构造性质与法则 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知a b m n p 0 求证 n ap m bp 证明 a b 又p 0 ap bp ap bp 又m n 即n m n ap m bp 解析答案 忽视性质成立的条件导致错误 易错点 例4已知1 a b 2且2 a b 4 求4a 2b的取值范围 返回 误区警示 解析答案 解析答案 2 u 4 3 3v 6 5 u 3v 10 5 4a 2b 10 误区警示 返回 把条件中的a b和a b分别看做一个整体 采用整体代入法 并结合不等式的性质求解 可以得到正确的结论 误区警示 返回 1 完成一项装修工程 请木工共需付工资每人500元 请瓦工共需付工资每人400元 现有工人工资预算20000元 设木工x人 瓦工y人 则工人满足的关系式是 a 5x 4y 200b 5x 4y 200c 5x 4y 200d 5x 4y 200 当堂检测 1 2 3 4 解析据题意知 500 x 400y 20000 即5x 4y 200 故选d d 解析答案 1 2 3 4 2 设xax a2c x2a2 ax 解析 xa2 x2 ax x x a 0 x2 ax 又ax a2 a x a 0 ax a2 x2 xa a2 b 解析答案 1 2 3 4 3 设m x2 n x 1 则m与n的大小关系是 a m nb m nc m nd 与x有关 a 解析答案 1 2 3 4 解析答案 课堂小结 1 比较两个实数的大小 只要考察它们的差就可以了 a b 0 a b a b 0 a b a b 0