G0027--03--华师一2011届高三第一轮复习教案(第三章)第11讲--数列的实际应用

课 题： 数列的实际应用教学内容： 数列的实际应用教学目的： 会解数列应用题，能将实际问题转化为等比数列或等差数列模型求解教学重点： 能建立数列模型解决数列实际应用问题教学过程：一、知识概要教学要求： 数列在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题；会解数列应用题，能将上面的实际问题转化为等比数列或等差数列模型求解二、典例解析例1 某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，（1）求的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则，（2）当时，有得即，即经过8年后该地区就开始水土流失例2 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为 求证（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？证：（1）由已知可得确定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若则有即，两边同时取对数可得，故，故使得上式成立的最小为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%例3 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b吨，平均每年减少耕地x公顷，由题意可知：，解得：,再用二项式定理进行计算可得：x4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a吨/公顷， 可得：x4 (公顷)例4 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得。 例5 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数) ()设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式()依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？解：()依题意，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2，Bn=500-60=500n-100。 () Bn- An=(500n-100)-(490n-10n2)=10n2+10n-100=10，因为函数y=x(x+1)- -10在(0，+)上为增函数；当1n3时，n(n+1)- -1012-100，当n4时，n(n+1)- -1020-100，仅当n4时，BnAn。例6 一列火车从重庆驶往北京，沿途有个车站（包括起点站重庆和终点站北京）。车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个。设从第站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个。（）求数列的通项公式； （）当为何值时，的值最大，求出的最大值。解：（），考察相邻两站之间的关系：由题意可知，依次取得个等式，将个等式相加：，。（）。当为偶数时，取取得最大值； 当为奇数时，取或取得最大值。三、课堂练习1一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了，因此球第十次着地时共经过的路程为。2本年度投入资金800万元，以后每年投入资金比上年减少本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加()设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an、bn的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解：()第1年投入800万元，第2年投入800(1-)万元，第n年投入800(1-)n-1万元所以总投入为an=800+800(1-)+800(1-)n-1=40001-()n。第1年的收入400万元，第2的收入400(1+)万元，第n年的收入为400(1+)n-1万元所以总收入bn=400+400(1+)+400(1+)n-1=1600()n-1。()要使旅游业的总收入超过总投入，即bn-an0，由()得1600()n-1-4001-()n0化简得，5()n+2()n-70，设x=()n，则5x2-7x+20，x或x1(舍)，即()n，故n5，故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。四、备选习题1轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余元，设第个月月底余，第个月月底余，则，从而有，设，是等比数列，还贷后纯收入为元2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？解：（1）。（2），至少经过5年。3从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解 (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1)万元， 第n年投入为800(1)n1万元，n年内的总投入为 an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+)，第n年旅游业收入400(1+)n1万元 所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1=1600()n1(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得 5x27x+20 解此不等式，得x，或x1(舍去) ()n，由此得n5 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 4 某林场原有森林木材量为a,木材以每年的25%增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为x,为了实现经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标,则x的最大值是多少?(lg2=0.3)解: 依题意得各年木材存有量如下：第1年：第2年： 第20年后：=，于是，另y=,而lg2=0.3,则lgy=20(1-3lg2),，即，。即每年的砍伐量的最大值是a.5某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， 甲方案获利：（万元）银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）。 乙方案获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）； 综上，甲方案更好.6某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年扣除的消费资金应是多少万元（精确到万元）解：设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金，a1=1000(1+)-x；a2=1000(1+)-x(1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x；a3=1000(1+)2-x(1+)-x(1+)-x=1000(1+)3-x(1+)2-x(1+)-x；类推所得：a5=1000(1+)5-x(1+)4-x(1+)3-x(1+)2-x(1+)-x，则1000（）5-x()4+()3+1=2000，即1000()5-x解得x424万元。7陈老师购买安居工程集资房7m2,单价为1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的75%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年应付款多少元?(参考数据:10759 1921,1075102065,1075112221) 解：设每年付款x元，那么10年后，第一年付款的本利和为a1=10759x元，第二年付款的本利和为a2=10758x元，依次类推，第n年付款的本利和为an=107510-nx元，则各年付款的本利和an为等比数列10年付款的本利和为S10=个人负担的余额总数为721000-28800-14400=28800元10年后余款的本利和 解得x=。8某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：1998年1999年2000年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化。问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？解：（1）由表知，每年比上一年多造林400亩 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩同理2000年沙化土地为200亩，所以每年沙化的土地面积为200亩（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、，则n年造林面积总和为：由题意： 化简得,解得： ，故8年，即到2007年可绿化完全部沙地 9某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金 (1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明akak+1(k=1,2,n1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b) 解 (1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1)b，第3位职工的奖金a3=(1)2b，第k位职工的奖金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则 (3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb，得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故 10据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7 4108吨，占地562 4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后