2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：4.6梯形pdf版

他继承了欧几里得证明定理时的严谨性 但他的才智和成就却远远高于欧几里德 他把数学研究和力学 机械学紧 紧地联在一起 用数学研究力学和其他实际问题 保护叙拉古战役中的机械巨手和投石机等就是最生动的一个例子 有 力地证明了 知识就是力量 的真理 阿基米德在他的著作 论杠杆 中详细地论述了杠杆的原理 有一次叙拉古国王要 求阿基米德移动载满重物和乘客的一艘新三桅船 梯 形 内容清单能力要求 梯形的概念掌握梯形的概念并能做出判断 等腰梯形的性质和判定 能利用等腰梯形判定定理及性质定 理解决简单的问题 直角梯形的性质和判定 能利用直角梯形判定定理及性质定 理解决简单的问题 一 选择题 山东烟台 如图 在平面直角坐标系中 等腰梯形犃 犅 犆 犇的下底在狓轴上 且点犅坐标为 点犇坐标为 则犃 犆长为 不能确定 第 题 第 题 广东广州 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犅 犆 犃 犇 犃 犇 犇 犆 犇 犈 犃 犅交犅 犆于点犈 且犈 犆 则梯形犃 犅 犆 犇的周长是 广西北海 如图 梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 对角线犃 犆 犅 犇 相交于点犗 若犃 犗 犆 犗 犃 犇 则犅 犆等于 第 题 福建福州 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犇 犃 犇 犆 犅 犆 犇 以犃 犇 犃 犅 犅 犆为斜边向梯形外作等腰直角三 角形 其面积分别是犛 犛 犛 且犛 犛 犛 则犆 犇等于 犃 犅 犃 犅 犃 犅 犃 犅 第 题 内蒙古包头 如图 已知梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犇 犇 犆 犅 犆 点犖在犅 犆上 犆 犖 犈是犃 犅的中点 在 犃 犆上找一点犕 使犈犕 犕犖的值最小 此时其最小值一定 等于 槡 第 题 第 题 安徽芜湖 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 对 角线犃 犆 犅 犇 垂足为犗 犃 犈 犅 犆 犇 犉 犅 犆 垂足分别为犈 犉 犃 犇 犅 犆 则犃 犈 犈 犉等于 二 填空题 福建厦门 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 对 角线犃 犆与犅 犇相交于点犗 若犗 犅 则犗 犆 第 题 第 题 阿基米德叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆 他叫 多人在大船前面 抓住一根 绳子 让国王牵动一根绳子 大船居然慢慢地滑到海中 群众欢呼雀跃 国王也高兴异常 当众宣布 从现在起 我要求大家 无论阿基米德说什么 都要相信他 阿基米德曾说过 给我一小块放杠杆的支点 我就能将地球挪 动 假如阿基米德有个站脚的地方 他真能挪动地球吗 四川巴中 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犅 犇 犇 犆 点犈是犅 犆的中点 且犇 犈 犃 犅 则 犅 犆 犇的度数是 贵州黔西南州 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 对 角线犃 犆 犅 犇相交于点犗 若犃 犇 犅 犆 犃 犗 犇的面积 为 则 犅 犗 犆的面积为 第 题 第 题 四川达州 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犇 对角线 犃 犆 犅 犇交于点犗 则犛 犃 犗 犇 犛 犅 犗 犆 填 或 江苏连云港 如图 一等腰梯形两组对边中点连线的 平方和为 则这个等腰梯形的对角线长为 第 题 第 题 江苏无锡 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犈 犉是 梯形的中位线 对角线犃 犆交犈 犉于点犌 若犅 犆 犈 犉 则犌 犉的长等于 四川眉山 如图 已知在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犅 犆 犃 犇 犃 犅 槡 则下底犅 犆的长为 第 题 三 解答题 湖南怀化 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 点犈为底边 犅 犆的中点 连结犃 犈 犇 犈 求证 犃 犈 犇 犈 第 题 浙江杭州 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犆 犇 分别以犃 犅 犆 犇为边向外侧作等边三角形犃 犅 犈和等边 三角形犇 犆 犉 连结犃 犉 犇 犈 求证 犃 犉 犇 犈 若 犅 犃 犇 犃 犅 犪 犃 犅 犈和 犇 犆 犉的面积之和等 于梯形犃 犅 犆 犇的面积 求犅 犆的长 第 题 山东枣庄 如图 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犃 犅 犃 犇 犇 犈 犇 犆交犃 犅于犈 犇 犉平分 犈 犇 犆交犅 犆于犉 连结犈 犉 证明 犈 犉 犆 犉 当 犃 犇 犈 时 求犈 犉 的长 第 题 浙江杭州 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犃 犅 犅 犆 犆 犇 对角线犃 犆与犅 犇相交于点犗 线段 犗 犃 犗 犅的中点分别为犈 犉 求证 犉 犗 犈 犇 犗 犆 求 犗 犈 犉的值 若直线犈 犉与线段犃 犇 犅 犆分别相交于点犌 犎 求 犃 犅 犆 犇 犌犎 的值 第 题 广东广州 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 求证 犃 犆 第 题 当然这在目前是做不到的 最引人入胜 也使阿基米德最为人称道的是阿基米德从智破金冠案中发现了一个科学基本 原理 国王让金匠做了一顶新的纯金王冠 但他怀疑金匠在金冠中掺假了 可是 做好的王冠无论从重量上 外形上都看不 出问题 国王把这个难题交给了阿基米德 阿基米德日思夜想 一天 他去澡堂洗澡 当他慢慢地坐进澡堂时 水从盆边溢了 出来 他望着溢出来的水 突然大叫一声 我知道了 竟然一丝不挂地跑回家中 趋势总揽 分析近 年全国课改试验区中考试题 可以看出 由于圆部 分知识难度降低 梯形又是三角形与平行四边形知识的结合点 所以有关梯形的试题形式灵活 考查面广 能够体现学生的应用 能力和数学素质 值得关注梯形与函数知识结合的题型 估计 年中考可能将持续体现此特点 同时要注重梯形基本知识 的掌握 以不变应万变 高分锦囊 中考尤其以等腰梯形为热点 常见辅助线是由上底两顶点 向下底做垂线 如果有对角线 则过上底一个顶点作其中一条对 角线的平行线与下底延长线相交从而构成一个平行四边形 梯 形在新课标中已不做要求 所以不要求做高 尖 难题型 常考点清单 一 梯形的有关概念及面积公式 梯形 一组对边平行 另一组对边 的四边形叫做 梯形 等腰梯形 两腰 的梯形叫做等腰梯形 直角梯形 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 梯形的中位线 连结梯形两腰 的线段叫做梯形 的中位线 梯形的面积公式 犛梯形 犪 犫表示上 下底长 犺表示高 犛梯形 犾表示中位线 犺表示高 二 等腰梯形的判定与性质 性质判定 等 腰 梯 形 同一底上的两个 相等 即 犃 犆 等腰梯形的对角线 即犃 犆 两腰 的梯形是等 腰梯形 同一底上的 的 梯形是等腰 梯形 两条对角线 的 梯形是等腰 梯形 三 几种图形重心的位置 线段的重心 线段的 平行四边形的重心 平行四边形的 的交点 三角形的重心 三角形三条 的交点 易混点剖析 梯形的一些证明题到底该运用哪种作辅助线的方法 解答梯形的计算类题目时和函数 方程等知识的综合运 用 造成思路不清 只有等腰梯形是轴对称图形 任何梯形都不是中心对称 图形 易错题警示 例 江西南昌 如图 等腰梯形犃 犅 犆 犇放置在平 面坐标系中 已知犃 犅 犇 反比例函数的图 象经过点犆 求点犆的坐标和反比例函数的解析式 将等腰梯形犃 犅 犆 犇向上平移 个单位后 点犅是否落在 双曲线上 解析 本题是反比例函数与梯形的综合题 以及待定系 数法求函数的解析式 利用形数结合解决此类问题 是非常有效 的方法 点犆的纵坐标与点犇的纵坐标相同 过点犆作犆 犈 犃 犅 于点犈 则 犃 犗 犇 犅 犈 犆 即可求得犅 犈的长度 则犗 犈的长度 即可求得 即可求得点犆的横坐标 然后利用待定系数法即可求 得反比例函数的解析式 将等腰梯形犃 犅 犆 犇向上平移 个单位后 点犅向上平移 个单位长度得到的点的坐标 代入函数解析式判断即可 答案 过点犆作犆 犈 犃 犅于点犈 四边形犃 犅 犆 犇是等腰梯形 犃 犇 犅 犆 犇 犗 犆 犈 犃 犗 犇 犅 犈 犆 犃 犗 犅 犈 犅 犗 犇 犆 犗 犈 犆 设反比例函数的解析式狔 犽 狓 犽 根据题意 得 犽 解得犽 原来他想出办法了 阿基米德把金王冠放进一个装满水的缸中 一些水溢出来 他取出王冠 把水装满 再将 一块同王冠一样重的金子放进水里 又有一些水溢出来 他把两次的水加以比较 发现第一次溢出的水多于第二 次 于是他断定金冠中掺了银 经过一番试验 他算出了银子的重量 当他宣布他的发现时 金匠目瞪口呆 阿基米 德从中发现了一条原理 物体在液体中减轻的重量 等于他所排出液体的重量 反比例函数的解析式狔 狓 将等腰梯形犃 犅 犆 犇向上平移 个单位后得到梯形犃 犅 犆 犇 的点犅 故当狓 时 狔 即点犅 恰好落在双曲线上 一 选择题 福建福州质量检查 下列四边形中 对角线不可能相 等的是 直角梯形 正方形 等腰梯形 长方形 湖北荆州中考模拟 把长为 的矩形按虚线对折 按图中的虚线剪出一个直角梯形 打开得到一个等腰梯形 剪 掉部分的面积为 则打开后梯形的周长是 第 题 槡 槡 江苏如皋模拟 已知等腰梯形的底角为 高为 上底为 则其面积为 二 填空题 上海黄浦二模 已知梯形的上底长是 中位线长 是 那么下底长是 浙江金华四模 如图 已知梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犅 犇是对角线 添加下列条件之一 犃 犅 犇 犆 犅 犇平分 犃 犅 犆 犃 犅 犆 犆 犃 犆 能推得梯形 犃 犅 犆 犇是等腰梯形的是 填编号 第 题 第 题 浙江省杭州市一模 如图 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犆 犆 犅 犆 犃 犇 槡 点犈是犅 犆 边的中点 犇 犈 犉是等边三角形 犇 犉交犃 犅于点犌 则 犅 犉 犌的周长为 江苏灌南县新集中学一模 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犇 犃 犇 犅 犆 对角线犃 犆 犅 犇 垂足为犗 若犆 犇 犃 犅 则犃 犆的长为 第 题 第 题 北京四中五模 如图 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犅 犆 犃 犇 犅 犆 犈 犉为中位线 若犃 犅 犫 犈 犉 犪 则阴影部分 的面积为 三 解答题 江苏南京建邺区一模 如图 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犃 犇 犅 犆 犆 犇 犅 犈 犆 犇 垂足为犈 点犉在 犅 犇上 连结犃 犉 犈 犉 求证 犇 犃 犇 犈 如果犃 犉 犆 犇 求证 四边形犃 犇 犈 犉是菱形 第 题 上海市浦东新区中考预测 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犅 犇平分 犃 犅 犆 犅 犃 犇的平分线交犅 犆于犈 连 结犈 犇 求证 四边形犃 犅 犈 犇是菱形 当 犃 犅 犆 犈 犆 犅 犈时 证明 梯形犃 犅 犆 犇是等腰梯 形 第 题 集合论简介 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑但又荒谬的结果 称为 悖论 许多大数学家唯恐陷进去而采 取退避三舍的态度 在 年期间 不到 岁的德国年轻数学家康托尔向神秘的无穷宣战 他靠着辛勤的汗水 成 功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应 也能和空间中的点一一对应 安徽淮北第二次月考五校联考 如图 在等腰梯形 犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犇 犆 动点犘从点犆出发 沿 犆 犇方向向点犇运动 动点犙同时以相同速度从点犇出发 沿犇 犃方向向终点犃运动 其中一个动点到达端点时 另一 个动点也随之停止运动 求犃 犇的长 设犆 犘 狓 问当狓为何值时 犘 犇 犙的面积达到最大 并求出最大值 探究在犅 犆边上是否存在点犕 使得四边形犘 犇 犙犕是菱 形 若存在 请找出点犕并求出犅犕的长 若不存在 请 说明理由 第 题 如图 将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开 拼成一个新的图 形 这个新的图形可以是下列图形中的 三角形 平行四边形 矩形 正方形 第 题 第 题 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 对角线犃 犆 犅 犇相交 于点犗 以下四个结论 犃 犅 犆 犇 犆 犅 犗 犃 犗 犇 犅 犆 犇 犅 犇 犆 犛 犃 犗 犅 犛 犇 犗 犆 其中正确的是 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犆 犇 犃 犆 犅 犇 犃 犇 犅 犆 则梯形的高为 第 题 第 题 如图 在直角梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犅 犆 犃 犇 犅 犆 犃 犇 犃 犅 犅 犆 点犘是犃 犅上一个动点 当犘 犆 犘 犇的和最小时 犘 犅的长为 如图 是一个等腰梯形 由 个这样的等腰梯形恰好可以拼 出如图 所示的一个菱形 对于图 中的等腰梯形 请写出 它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论 第 题 如图 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犅 犇 犆 犇 犅 犇 犆 犃 犇 犅 犆 求犃 犅的长 第 题 如图 已知三角形犃 犅 犆中 犃 犅 犃 犆 犅 犇 犆 犈是高 求证 四 边形犅 犆 犇 犈是等腰梯形 第 题 如图 在等腰梯形犃 犅 犆 犇中 已知犃 犇 犅 犆 对角线犃 犆与 犅 犇互相垂直 且犃 犇 犅 犆 求犅 犇的长 第 题 梯 形 年考题探究 解析 根据题意可得犗 犅 犗 犇 从而利用勾股定 理可求出犅 犇 再由等腰梯形的对角线相等的性质可得出 犃 犆的值 解析 梯形犃 犅 犆 犇的周长 解析 犃 犗 犇 犅 犆 犗 解析 过点犅作犅 犈 犃 犇 交犆 犇于点犈 根据题意知 犅 犈 犆为直角三角形 再分别设犎犃 狓 犉 犅 狔 犆 犐 犲 则犃 犇 槡 狓 犃 犅槡 狔 犅 犆槡 犲 在 犈 犅 犆中 犅 犈 犃 犇 槡 狓 犆 犈 犅 犈 犅 犆 槡 狓 犲槡 又 犛 犛 犛 狓 犲 狔 得 狓 犲 狔 犆 犈槡 狓 犲槡 槡 狔槡 槡 狔 犃 犅 犆 犇 犇 犈 犆 犈 犃 犅 犃 犅 犃 犅 解析 作犖 犉 犃 犆交犇 犆于点犉 连结犈 犉交犃 犆于点 犕 则可证犃 犆为犖 犉的中垂线 得犖与犉关于犃 犆对称 再 证犉为犆 犇中点 得犈 犉为梯形犃 犅 犆 犇的中位线 得犈 犉 犃 犇 犅 犆 即犈 犕 犖犕 犈 犕 犕 犉 犈 犉 解析 过犇作犇犕 犃 犆交犅 犆 的延长线于犕 则 犅 犇犕 犃 犆 犇犕 犃 犇 犆 犕 由等腰梯形的性质得 犅 犇 犃 犆 所以犅 犇 犇犕 又犇 犉 犅 犆 所以犅犕 犅 犆 犆 犕 犅 犆 犃 犇 犇 犉 即犇 犉 则犃 犈 犈 犉 犇 犉 犃 犇 故选 解析 由 犃 犅 犆 犇 犆 犅得出 犗 犅 犆 犗 犆 犅 所以 犗 犅 犗 犆 解析 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 再利用等腰梯形同一底边上的角相等可判断 犇 犈 犆是等 边三角形 解析 犃 犗 犇 犅 犗 犆 再利用相似三角形面积比等 于相似比的平方求解 解析 犃 犅 犇与 犃 犅 犆是同底等高 犛 犃 犅 犇 犛 犃 犅 犆 犛 犃 犗 犇 犛 犅 犗 犆 槡 解析 犈 犌 犉犎 犈 犉 犅 犇 犉 犌 犃 犆 犅 犇 犃 犆 犈 犉 犌犎为菱形 犈 犌 犉犎 犈 犉 犈 犗 犉 犗 槡 犈 犌 犉犎 槡 犈 犌 犉犎 槡 槡 犅 犇槡 解析 由中位线定理得犈 犌 犈 犉 则犌 犉 犈 犉 犈 犌 解析 过点犇作犃 犅的平行线交犅 犆于犈 则犃 犇 犅 犈 犈 犇 犆是直角三角形 且 犇 犈 犆 犃 犅槡 所以犈 犆 犅 犆 犅 犈 犈 犆 四边形犃 犅 犆 犇是等腰梯形 犃 犅 犇 犆 犅 犆 又 犈为底边犅 犆的中点 犅 犈 犆 犈 犃 犅 犈 犇 犆 犈 犃 犈 犇 犈 在梯形犃 犅 犆 犇中 犃 犇 犅 犆 犃 犅 犆 犇 犅 犃 犇 犆 犇 犃 而在等边三角形犃 犅 犈和等边三角形犇 犆 犉中 犃 犅 犃 犈 犇 犆 犇 犉 且 犅 犃 犈 犆 犇 犉 犃 犈 犇 犉 犈 犃 犇 犉 犇 犃 犃 犇 犇 犃 犃 犈 犇 犇 犉 犃 犃 犉 犇 犈 如图 作犅犎 犃 犇 犆 犓 犃 犇 则有犅 犆 犎犓 犅 犃 犇 犎犃 犅 犓犇 犆 犃 犅槡 犅犎 槡 犃犎 同理犆 犇 槡 犆 犓槡 犓犇 犛梯形犃 犅 犆 犇 犃 犇 犅 犆 犎犅 犃 犅 犪 犛梯形犃 犅 犆 犇 槡 犪 犅 犆 槡 犪 犪 槡 犪 犅 犆 而犛 犃 犅 犈 犛 犇 犆 犉 槡 犪 犪 槡 犪 犅 犆 槡 犪 犅 犆 槡 槡 犪 第 题 过犇作犇 犌 犅 犆于犌 由已知可得 四边形犃 犅 犌 犇为正方形 犇 犈 犇 犆 犃 犇 犈 犈 犇 犌 犌 犇 犆 犈 犇 犌 犃 犇 犈 犌 犇 犆 又 犃 犇 犌 犆 且犃 犇 犌 犇 犃 犇 犈 犌 犇 犆 犇 犈 犇 犆 且犃 犈 犌 犆 在 犈 犇 犉和 犆 犇 犉中 犈 犇 犉 犆 犇 犉 犇 犈 犇 犆 犇 犉为公共边 第 题 犈 犇 犉 犆 犇 犉 犈 犉 犆 犉 犃 犇 犈 犃 犈 犃 犇 犃 犈 犌 犆 设犈 犉 狓 则犅 犉 犆 犉 狓 犅 犈 由勾股定理 得 狓 狓 解得狓 即犈 犉 犈 犉是 犗 犃 犅的中位线 犈 犉 犃 犅 犈 犉 犃 犅 而犆 犇 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犈 犉 犆 犇 犗 犈 犉 犗 犆 犇 犗 犉 犈 犗 犇 犆 犉 犗 犈 犇 犗 犆 犃 犆 犃 犅 犅 犆 槡 犅 犆 犅 犆 槡 槡 犅 犆 犗 犈 犉 犆 犃 犅 犅 犆 犃 犆 槡 槡 犃 犈 犗 犈 犗 犆 犈 犉 犆 犇 犃 犈 犌 犃 犆 犇 犈 犌 犆 犇 犃 犈 犃 犆 即犈 犌 犆 犇 同理犉犎 犆 犇 犃 犅 犆 犇 犌犎 犆 犇 犆 犇 犆 犇 犆 犇 犆 犇 犃 犇 犅 犆 犃 犅 四边形犃 犅 犆 犇为等腰梯形 犅 犆 犃 犆 年模拟提优 解析 直角梯形对角线不可能相等 解析 剪掉部分的面积为 求得原矩形宽为 所以打开后梯形的腰长是槡 上底长 下 底长 解析 高为 底角为 则下底为 犛 解析 中位线长是上底与下底和的一半 解析 根据等腰梯形的定义及对角线相等判定 槡 解析 犇 犈 犉是边长等于 的等边三角形 再利 用勾股定理求得犃 犌 犇 犌 所以犅 犌 犉 犌 又 因为犅 犉 犅 犈 槡 所以 犅 犉 犌的周长是槡 槡 解析 过点犆作犆 犈 犇 犅 交犃 犅延长线于点犈 则 四边 形犆 犇 犅 犈为 平 行 四 边 形 得犅 犈 犆 犇 在 犃 犆 犈中 犃 犆 犆 犈 犃 犈 犃 犅 犅 犈 由勾股定理知 犃 犆 犆 犈槡 犪 犫 解析 犛阴影 犛梯形 犛 犃 犇 犈 犛 犅 犆 犈 犈 犉 犃 犅 犃 犇 犃 犈 犅 犆 犅 犈 犪 犫 犫 犃 犇 犅 犆 犪 犫 犫 犈 犉 犪 犫 犃 犇 犅 犆 犇 犅 犆 犃 犇 犅 又 犅 犆 犆 犇 犇 犅 犆 犅 犇 犆 犃 犇 犅 犅 犇 犆 又 犃 犇 犅 犅 犇 犆 犅 犃 犃 犇 犅 犈 犆 犇 犅 犃 犅 犈 在 犃 犅 犇和 犈 犅中 犅 犇 犅 犇 犃 犅 犅 犈 犃 犅 犇 犈 犅 犇 犃 犇 犈 犇 犃 犉 犆 犇 犅 犇 犆 犃 犉 犇 又 犃 犇 犅 犅 犇 犆 犃 犉 犇 犃 犇 犅 犃 犇 犃 犉 又 犃 犇 犇 犈 犃 犉 犇 犈 且犃 犉 犆 犇 四边形犃 犇 犈 犉为平行四边形 犃 犇 犇 犈 四边形犃 犇 犈 犉为菱形 犃 犇 犅 犆 犃 犇 犅 犇 犅 犆 又 犃 犅 犇 犇 犅 犆 犃 犅 犇 犃 犇 犅 犃 犅 犃 犇 同理有犃 犅 犅 犈 犃 犇 犅 犈 又 犃 犇 犅 犈 四边形犃 犅 犈 犇为平行四边形 又 犃 犅 犅 犈 犃 犅 犈 犇为菱形 犃 犅 犅 犈 犃 犅 犆 犃 犅 犈为等边三角形 犃 犅 犃 犈 又 犃 犇 犅 犈 犈 犆 犃 犇 犈 犆 四边形犃 犈 犆 犇为平行四边形 犃 犈 犇 犆 犃 犅 犇 犆 梯形犃 犅 犆 犇是等腰梯形 过点犃作犃 犈 犅 犆交犆 犇于犈 则 犃 犈 犇 犆 犇 犃 犇 犈为等边三角形 犃 犇 犇 犈 过点犙作犙 犉 犆 犇于点犉 设犇 犙 犆 犘 狓 则犘 犇 狓 犇 犙 犉 槡 狓 犛 犘 犇 犙 犘 犇 犙 犉 槡 狓 槡 又 狓 当狓 时 犛 犘 犇 犙最大值为 槡 假设存在满足条件的点犕 则犘 犇 犇 犙 狓 狓 狓 犘为犆 犇的中点 连结犙 犘 犇 则 犘 犇 犙为 等边三角形 过点犙作犙犕 犇 犆交犅 犆于犕