2017年初中数学培优卷解析

2017 年初中数学培优卷 第1页 共16页 hxsx 20172017 年初中数学培优卷年初中数学培优卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1616 小题 小题 1 2016 绍兴 我国古代 易经 一书中记载 远古时期 人们通过在绳子上打结来记录数量 即 结绳计数 如 图 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结 满七进一 用来记录孩子自出生后的天数 由图可知 孩子自出 生后的天数是 A 84B 336C 510D 1326 考点 用数字表示事件 分析 类比于现在我们的十进制 满十进一 可以表示满七进一的数为 千位上的数 7 3 百位上的数 72 十位 上的数 7 个位上的数 解答 解 1 7 3 3 72 2 7 6 510 故选 C 点评 本题是以古代 结绳计数 为背景 按满七进一计算自孩子出生后的天数 运用了类比的方法 根据图中 的数学列式计算 本题题型新颖 一方面让学生了解了古代的数学知识 另一方面也考查了学生的思维能力 2 2012 北海 下列计算正确的是 A 2m 3 3m2 5m5 B 5 x 3 2 C 3a 3b3 2 6a6b6 D 2 考点 幂的乘方与积的乘方 算术平方根 合并同类项 负整数指数幂 分析 根据幂的乘方和积的乘方 即可解答 解答 解 A 2m 3与 3m2不是同类项 不能合并 故错误 B 正确 C 3a 2b3 2 9a4b6 故错误 D 故错误 故选 B 点评 本题考查了幂的乘方和积的乘方 解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方的法则 3 考点 几何体的展开图 分析 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 解答 解 选项 A C D 折叠后都不符合题意 只有选项 B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于 一个顶点 与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合 故选 B 点评 考查了截一个几何体和几何体的展开图 解决此类问题 要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置 4 2004 宁夏 关于 x 的一元二次方程 2a 1 x 2 a 1 x l 0 的两个根相等 那么 a 等于 A 1 或 5B 1 或 5C 1 或 5D 1 或 5 考点 根的判别式 专题 计算题 压轴题 分析 因为方程有两个相等的实数根 则 a 1 2 4 2a 1 0 解关于 m 的方程即可 解答 解 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根 a 1 2 4 2a 1 0 解得 a 1 或 5 故选 A 点评 本题考查了一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 根的判别式 当 0 方程有两个不相等 的实数根 当 0 方程有两个相等的实数根 当 0 方程没有实数根 5 2015 台湾 计算多项式 2x 3x 2 2 3 除以 3x 2 后 所得商式与余式两者之和为何 A 2x 3B 6x 2 4x C 6x2 4x 3 D 6x 2 4x 3 考点 整式的除法 分析 根据多项式除以多项式 商式为 2x 3x 2 余式为 3 即可解答 解答 解 多项式 2x 3x 2 2 3 除以 3x 2 后 商式为 2x 3x 2 余式为 3 2x 3x 2 3 6x 2 4x 3 故选 C 点评 本题考查了多项式除以多项式 解决本题的关键是确定商式与余式 6 2015 永州 定义 x 为不超过 x 的最大整数 如 3 6 3 0 6 0 3 6 4 对于任意实数 x 下列式 2017 年初中数学培优卷 第2页 共16页 hxsx 子中错误的是 A x x x 为整数 B 0 x x 1 C x y x y D n x n x n 为整数 考点 一元一次不等式组的应用 专题 压轴题 新定义 分析 根据 定义 x 为不超过 x 的最大整数 进行计算 解答 解 A x 为不超过 x 的最大整数 当 x 是整数时 x x 成立 B x 为不超过 x 的最大整数 0 x x 1 成立 C 例如 5 4 3 2 8 6 9 5 4 3 2 6 4 10 9 10 5 4 3 2 5 4 3 2 x y x y 不成立 D n x n x n 为整数 成立 故选 C 点评 本题考查了一元一次不等式组的应用 解决本题的关键是理解新定义 新定义解题是近几年高考常考的题 型 7 2003 泰安 关于 x 的不等式组有四个整数解 则 a 的取值范围是 A a B a C a D a 考点 一元一次不等式组的整数解 专题 计算题 压轴题 分析 先求出不等式组中每个不等式的解集 然后求出其公共解集 最后求 a 的取值范围即可 解答 解 由 1 得 x 8 由 2 得 x 2 4a 其解集为 8 x 2 4a 因不等式组有四个整数解 为 9 10 11 12 则 解得 a 故选 B 点评 考查不等式组的解法及整数解的确定 求不等式组的解集 应遵循以下原则 同大取较大 同小取较小 小大大小中间找 大大小小解不了 8 2016 泰安 某学校将为初一学生开设 ABCDEF 共 6 门选修课 现选取若干学生进行了 我最喜欢的一门选修课 调查 将调查结果绘制成如图统计图表 不完整 选修课ABCDEF 人数4060100 根据图表提供的信息 下列结论错误的是 A 这次被调查的学生人数为 400 人 B 扇形统计图中 E 部分扇形的圆心角为 72 C 被调查的学生中喜欢选修课 E F 的人数分别为 80 70 D 喜欢选修课 C 的人数最少 考点 扇形统计图 分析 通过计算得出选项 A B C 正确 选项 D 错误 即可得出结论 解答 解 被调查的学生人数为 60 15 400 人 选项 A 正确 扇形统计图中 D 的圆心角为 360 90 360 36 360 17 5 15 12 5 162 扇形统计图中 E 的圆心角 360 162 90 36 72 选项 B 正确 400 80 人 400 17 5 70 人 选项 C 正确 2017 年初中数学培优卷 第3页 共16页 hxsx 12 5 10 喜欢选修课 A 的人数最少 选项 D 错误 故选 D 点评 本题考查了条形统计图 扇形统计图 读懂统计图 从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形 统计图能清楚地表示出每个项目的数据 9 2014 镇江 已知过点 2 3 的直线 y ax b a 0 不经过第一象限 设 s a 2b 则 s 的取值范围是 A 5 s B 6 s C 6 s D 7 s 考点 一次函数图象与系数的关系 分析 根据直线 y ax b a 0 不经过第一象限 可知 a 0 b 0 直线 y ax b a 0 过点 2 3 可 知 2a b 3 依此即可得到 s 的取值范围 解答 解 直线 y ax b a 0 不经过第一象限 a 0 b 0 直线 y ax b a 0 过点 2 3 2a b 3 a b 2a 3 s a 2b 2b b s a 2b a 2 2a 3 3a 6 6 即 s 的取值范围是 6 s 故选 B 点评 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k b 的关系 解答本题注意理解 直线 y kx b 所在的 位置与 k b 的符号有直接的关系 10 2011 孝感 如图 菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上 将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75 至 OA B C 的位 置 若 OB C 120 则点 B 的坐标为 A 3 B 3 C D 考点 坐标与图形变化 旋转 菱形的性质 专题 几何图形问题 数形结合 分析 首先根据菱形的性质 即可求得 AOB 的度数 又由将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75 至 OA B C 的位置 可求得 B OA 的度数 然后在 Rt B OF 中 利用三角函数即可求得 OF 与 B F 的长 则可得点 B 的坐 标 解答 解 过点 B 作 BE OA 于 E 过点 B 作 B F OA 于 F BE0 B FO 90 四边形 OABC 是菱形 OA BC AOB AOC AOC C 180 C 120 AOC 60 AOB 30 菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75 至 OA B C 的位置 BOB 75 OB OB 2 B OF 45 在 Rt B OF 中 OF OB cos45 2 B F 点 B 的坐标为 故选 D 2017 年初中数学培优卷 第4页 共16页 hxsx 点评 此题考查了平行四边形的性质 旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识 此题综合性 较强 难度适中 解题的关键是注意数形结合思想的应用 11 2015 威海乳山一模 如图 若干全等正五边形排成环状 图中所示的是前 3 个五边形 要完成这一圆环还需 个五边形 A 6B 7C 8D 9 考点 多边形内角与外角 专题 应用题 压轴题 分析 先根据多边形的内角和公式 n 2 180 求出正五边形的每一个内角的度数 再延长五边形的两边相交于 一点 并根据四边形的内角和求出这个角的度数 然后根据周角等于 360 求出完成这一圆环需要的正五边形的个数 然后减去 3 即可得解 解答 解 五边形的内角和为 5 2 180 540 所以正五边形的每一个内角为 540 5 108 如图 延长正五边形的两边相交于点 O 则 1 360 108 3 360 324 36 360 36 10 已经有 3 个五边形 10 3 7 即完成这一圆环还需 7 个五边形 故选 B 点评 本题考查了多边形的内角和公式 延长正五边形的两边相交于一点 并求出这个角的度数是解题的关键 注 意需要减去已有的 3 个正五边形 12 AC CD BD BE A 50 A CDA 50 B DCB BDE BED B DCB CDA 50 B 25 B EDB DEB 180 BDE BED 2 1 180 25 77 5 CDE 180 CDA EDB 180 50 77 5 52 5 故选 D 13 2015 随州 甲骑摩托车从 A 地去 B 地 乙开汽车从 B 地去 A 地 同时出发 匀速行驶 各自到达终点后停止 设甲 乙两人间距离为 s 单位 千米 甲行驶的时间为 t 单位 小时 s 与 t 之间的函数关系如图所示 有 下列结论 出发 1 小时时 甲 乙在途中相遇 出发 1 5 小时时 乙比甲多行驶了 60 千米 出发 3 小时时 甲 乙同时到达终点 甲的速度是乙速度的一半 其中 正确结论的个数是 A 4B 3C 2D 1 考点 一次函数的应用 专题 压轴题 分析 根据题意结合横纵坐标的意义得出摩托车的速度进而分别分析得出答案 解答 解 由图象可得 出发 1 小时 甲 乙在途中相遇 故 正确 甲骑摩托车的速度为 120 3 40 千米 小时 设乙开汽车的速度为 a 千米 小时 则 解得 a 80 乙开汽车的速度为 80 千米 时 2017 年初中数学培优卷 第5页 共16页 hxsx 甲的速度是乙速度的一半 故 正确 出发 1 5 小时 乙比甲多行驶了 1 5 80 40 60 千米 故 正确 乙到达终点所用的时间为 1 5 小时 甲得到终点所用的时间为 3 小时 故 错误 正确的有 3 个 故选 B 点评 此题主要考查了一次函数的应用 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键 14 2015 广元 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 点 P 从 A 点出发 按 A B C 的方向在 AB 和 BC 上移动 记 PA x 点 D 到直线 PA 的距离为 y 则 y 关于 x 的函数大致图象是 A B C D 考点 动点问题的函数图象 专题 压轴题 推理填空题 分析 根据题意 分两种情况 1 当点 P 在 AB 上移动时 点 D 到直线 PA 的距离不变 恒为 4 2 当点 P 在 BC 上移动时 根据相似三角形判定的方法 判断出 PAB ADE 即可判断出 y 3 x 5 据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可 解答 解 1 当点 P 在 AB 上移动时 点 D 到直线 PA 的距离为 y DA BC 4 0 x 3 2 如图 1 当点 P 在 BC 上移动时 AB 3 BC 4 AC PAB DAE 90 ADE DAE 90 PAB ADE 在 PAB 和 ADE 中 PAB ADE y 3 x 5 综上 可得 y 关于 x 的函数大致图象是 故选 D 点评 1 此题主要考查了动点问题的函数图象 要熟练掌握 解答此题的关键是要明确 通过看图获取信息 不仅可以解决生活中的实际问题 还可以提高分析问题 解决问题的能力 用图象解决问题时 要理清图象的含义 即会识图 2 此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用 要熟练掌握 15 2015 包头 如图 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 对称轴为直线 x 1 与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 包括这两点 下列结论 当 x 3 时 y 0 3a b 0 1 a 4ac b 2 8a 其中正确的结论是 2017 年初中数学培优卷 第6页 共16页 hxsx A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 专题 压轴题 分析 先由抛物线的对称性求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为 3 0 从而可知当 x 3 时 y 0 由抛物线开口向下可知 a 0 然后根据 x 1 可知 2a b 0 从而可知 3a b 0 a a 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 y ax 2 2ax 3a 令 x 0 得 y 3a 由抛物线与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 可知 2 3a 3 由 4ac b 2 8a 得 c 2 0 与题意不符 解答 解 由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为 3 0 当 x 3 时 y 0 故 正确 抛物线开口向下 故 a 0 x 1 2a b 0 3a b 0 a a 0 故 正确 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 y ax 2 2ax 3a 令 x 0 得 y 3a 抛物线与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 2 3a 3 解得 1 a 故 正确 抛物线 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 2 c 3 由 4ac b 2 8a 得 4ac 8a b2 a 0 c 2 c 2 0 c 2 与 2 c 3 矛盾 故 错误 故选 B 点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质 掌握抛物线的对称轴 开口方向与系数 a b c 之间的关系是 解题的关键 16 2016 眉山 如图 矩形 ABCD 中 O 为 AC 中点 过点 O 的直线分别与 AB CD 交于点 E F 连结 BF 交 AC 于 点 M 连结 DE BO 若 COB 60 FO FC 则下列结论 FB 垂直平分 OC EOB CMB DE EF S AOE S BCM 2 3 其中正确结论的个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 线段垂直平分线的性质 分析 利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论 在 EOB 和 CMB 中 对应直角边不相等 可证明 CDE DFE 可通过面积转化进行解答 解答 解 矩形 ABCD 中 O 为 AC 中点 OB OC COB 60 OBC 是等边三角形 OB BC FO FC FB 垂直平分 OC 故 正确 BOC 为等边三角形 FO FC BO EF BF OC CMB EOB 90 但 BO BM 故 错误 易知 ADE CBF 1 2 3 30 ADE CBF 30 BEO 60 CDE 60 DFE BEO 60 2017 年初中数学培优卷 第7页 共16页 hxsx CDE DFE DE EF 故 正确 易知 AOE COF S AOE S COF S COF 2S CMF S AOE S BCM 2S CMF S BCM FCO 30 FM BM CM S AOE S BCM 2 3 故 正确 所以其中正确结论的个数为 3 个 故选 B 点评 本题综合性比较强 既考查了矩形的性质 等腰三角形的性质 又考查了全等三角形的性质和判定 及线 段垂直平分线的性质 内容虽多 但不复杂 看似一个选择题 其实相当于四个证明题 属于常考题型 二 填空题 共二 填空题 共 3 3 小题 小题 17 若5 2 n a 16 2 n b 则 n ab 考点 幂的乘方与积的乘方 分析 根据幂的乘方与即的乘方 即可解答 解答 解 54 4 5 16 5 16 5 22 22 nnn nn nn nn baab ba ba ba 故答案为 点评 本题考查了幂的乘方与即的乘方 解决本题的关键是注意公式的逆运用 18 2006 河南 如图 把一个矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中 使 OA OC 分别落在 x 轴 y 轴上 连接 OB 将纸片 OABC 沿 OB 折叠 使点 A 落在 A 的位置上 若 OB 求点 A 的坐标为 考点 坐标与图形性质 矩形的性质 翻折变换 折叠问题 专题 压轴题 分析 由已知条件可得 BC 1 OC 2 设 OC 与 A B 交于点 F 作 A E OC 于点 E 易得 BCF OA F 那么 OA BC 1 设 A F x 则 OF 2 x 利用勾股定理可得 A F OF 利用面积可得 A E A F OA OF 利用勾股定理可得 OE 所以点 A 的坐标为 解答 解 OB BC 1 OC 2 设 OC 与 A B 交于点 F 作 A E OC 于点 E 纸片 OABC 沿 OB 折叠 OA OA BAO BA O 90 BC A E CBF FA E AOE FA O A OE CBF BCF OA F OA BC 1 设 A F x OF 2 x 2017 年初中数学培优卷 第8页 共16页 hxsx x 2 1 2 x 2 解得 x A F OF A E A F OA OF OE 点 A 的坐标为 故答案为 点评 解决本题的关键是利用三角形的全等得到点 A 所在的三角形的一些相关的线段的长度 进而利用面积的 不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标 19 2012 威海 如图 在平面直角坐标系中 线段 OA1 1 OA1与 x 轴的夹角为 30 线段 A1A2 1 A2A1 OA1 垂 足为 A1 线段 A2A3 1 A3A2 A1A2 垂足为 A2 线段 A3A4 1 A4A3 A2A3 垂足为 A3 按此规律 点 A3坐标 1 为 A2012的坐标为 2 1009 3504504 2 31009 考点 规律型 点的坐标 专题 压轴题 规律型 分析 过点 A1作 A1B x 轴 作 A1C x 轴 A2C y 轴 相交于点 C 然后求出点 A1的坐标 以及 A1C A2C 的长度 并出 A2 A3 A4 A5 A6的坐标 然后总结出点的坐标的变化规律 再把 2017 代入规律进行计算即可得解 解答 解 如图 过点 A1作 A1B x 轴 作 A1C x 轴 A2C y 轴 相交于点 C OA1 1 OA1与 x 轴的夹角为 30 OB OA1 cos30 1 A1B OA1 sin30 1 点 A1的坐标为 A2A1 OA1 OA1与 x 轴的夹角为 30 OA1C 30 A2A1C 90 30 60 A1A2C 90 60 30 同理可求 A2C OB A1C A1B 所以 点 A2的坐标为 点 A3的坐标为 即 1 点 A4的坐标为 1 即 1 1 点 A5的坐标为 1 1 即 1 点 A6的坐标为 1 即 当 n 为奇数时 点 An的坐标为 当 n 为偶数时 点 An的坐标为 所以 当 n 2017 时 A2017的坐标为 2 1009 3504504 2 31009 故答案为 2 1009 3504504 2 31009 2017 年初中数学培优卷 第9页 共16页 hxsx 点评 本题考查了点的坐标的规律变化问题 作出辅助线 求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值 然后 依次写出前几个点的坐标 根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的通式是解题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 7 7 小题 小题 20 1999 青岛 先化简下式 再求值 其中 x 考点 分式的化简求值 分母有理化 专题 计算题 分析 这道求代数式值的题目 不应考虑把 x 的值直接代入 通常做法是先把代数式去括号 把除法转换为乘法 化简 然后再代入求值 解答 解 1 计算 sin30 1 0 2 1 2 602sin 1 o 3tan30 3 1 2017 1 2 1 1 5 2 解 原式 2 4 4 44 44 24 1 2 2 2 2 x xx x xx xx x x x x x xx x xx x x x x x xx x x x xx x xx x xx x x x x x 2 11 4 2 2 41 4 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 当 x 时 原式 525 25 25 25 5 25 5 25 2252 x x 点评 分式混合运算要注意先去括号 分子 分母能因式分解的先因式分解 除法要统一为乘法 约分 代值运 算 21 2013 本溪 某校对九年级全体学生进行了一次学业水平测试 成绩评定分为 A B C D 四个等级 A B C D 分别代表优秀 良好 合格 不合格 该校从九年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩 绘制成以下不完整的 统计图 请你根据统计图提供的信息解答下列问题 1 本次调查中 一共抽取了50名学生的成绩 2 将上面的条形统计图补充完整 写出扇形统计图中等级 C 的百分比30 3 若等级 D 的 5 名学生的成绩 单位 分 分别是 55 48 57 51 55 则这 5 个数据的中位数是55分 众数是55分 4 如果该校九年级共有 500 名学生 试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数 解 1 根据题意得 12 8 40 50 人 则本次调查了 50 名学生的成绩 2 5555 3 等级 A 的学生数为 50 20 10 人 即等级 A 男生为 4 人 等级 D 占的百分比为 100 10 等级 C 占的百分比为 1 40 20 10 30 等级 C 的学生数为 50 30 15 人 即女生为 7 人 补全条形统计图 如图所示 2017 年初中数学培优卷 第10页 共16页 hxsx 4 根据题意得 500 20 100 人 则在这次测试中成绩达到优秀的人数有 100 人 22 2016 湖北襄阳 如图 将矩形 ABCD 沿 AF 折叠 使点 D 落在 BC 边的点 E 处 过点 E 作 EG CD 交 AF 于点 G 连接 DG 1 求证 四边形 EFDG 是菱形 2 探究线段 EG GF AF 之间的数量关系 并说明理由 3 若 AG 6 EG 2 求 BE 的长 考点 四边形综合题 分析 1 先依据翻折的性质和平行线的性质证明 DGF DFG 从而得到 GD DF 接下来依据翻折的性质可证 明 DG GE DF EF 2 连接 DE 交 AF 于点 O 由菱形的性质可知 GF DE OG OF GF 接下来 证明 DOF ADF 由相似三角形 的性质可证明 DF 2 FO AF 于是可得到 GE AF FG 的数量关系 3 过点 G 作 GH DC 垂足为 H 利用 2 的结论可求得 FG 4 然后再 ADF 中依据勾股定理可求得 AD 的长 然 后再证明 FGH FAD 利用相似三角形的性质可求得 GH 的长 最后依据 BE AD GH 求解即可 解答 解 1 证明 GE DF EGF DFG 由翻折的性质可知 GD GE DF EF DGF EGF DGF DFG GD DF DG GE DF EF 四边形 EFDG 为菱形 2 EG 2 GF AF 理由 如图 1 所示 连接 DE 交 AF 于点 O 四边形 EFDG 为菱形 GF DE OG OF GF DOF ADF 90 OFD DFA DOF ADF 即 DF 2 FO AF FO GF DF EG EG 2 GF AF 3 如图 2 所示 过点 G 作 GH DC 垂足为 H EG 2 GF AF AG 6 EG 2 20 FG FG 6 整理得 FG 2 6FG 40 0 解得 FG 4 FG 10 舍去 DF GE 2 AF 10 AD 4 GH DC AD DC GH AD FGH FAD 即 GH 2017 年初中数学培优卷 第11页 共16页 hxsx BE AD GH 4 点评 本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用 解答本题主要应用了矩形的性质 菱形的判定和性质 相 似三角形的性质和判定 勾股定理的应用 利用相似三角形的性质得到 DF 2 FO AF 是解题答问题 2 的关键 依据 相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 3 的关键 23 2016 春 邻水县期末 如图 一次函数的函数图象与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 以线段 AB 为 直角边在第一象限内作 Rt ABC 且使 ABC 30 1 如果点 P m 在第二象限内 试用含 m 的代数式表示四边形 AOPB 的面积 并求当 APB 与 ABC 面积相 等时 m 的值 2 如果 QAB 是等腰三角形并且点 Q 在坐标轴上 请求出点 Q 所有可能的坐标 3 是否存在实数 a b 使一次函数和 y ax b 的图象关于直线 y x 对称 若存在 求出的值 若 不存在 请说明理由 解答 解 1 如图 过点 P 作 PD x 轴于 D 点 P m 在第二象限内 PD OD m 令 y 0 则 x 0 解得 x 1 令 x 0 则 y 点 A 1 0 B 0 OA 1 OB 由勾股定理得 AB 2 ABO 30 S四边形 AOPB S梯形 PDOB S AOB S PDO m 1 m m 四边形 AOPB 的面积 m S APB S四边形 AOPB S AOP m 1 m ABC 30 AC AB tan30 2 S ABC 2 APB 与 ABC 面积相等 m 解得 m 故 当 APB 与 ABC 面积相等时 m 2 点 A 是顶角顶点 AB 是腰时 AQ AB 2 若点 Q 在 x 正半轴 则 OQ AO AQ 1 2 3 若点 Q 在 x 轴负半轴 则 OQ AQ AO 2 1 1 若点 Q 在 y 轴负半轴 则 OQ BO 点 Q 的坐标为 3 0 或 1 0 或 0 点 B 是顶角顶点 AB 是腰时 BQ AB 2 若点 Q 在 y 轴正半轴 则 OQ BO BQ 2 若点 Q 在 y 轴负半轴 则 OQ BQ BO 2 若点 Q 在 x 轴负半轴 则 OQ AO 1 点 Q 的坐标为 0 2 或 0 2 或 1 0 AB 是底边时 若点 Q 在 y 轴上 则 OQ OA tan30 1 若点 Q 在 x 轴上 则 OQ AO 1 2017 年初中数学培优卷 第12页 共16页 hxsx 点 Q 的坐标为 0 或 1 0 综上所述 QAB 是等腰三角形时 坐标轴上点 Q 的坐标为 3 0 或 1 0 或 0 或 0 2 或 0 2 或 0 3 A 1 0 关于 y x 的对称点为 0 1 B 0 关于 y x 的对称点为 0 解得 24 2016 郑州校级模拟 如图所示 CD 为 O 的直径 AD AB BC 分别与 O 相切于点 D E C AD BC 连 接 DE 并延长与直线 BC 相交于点 P 连接 OB 1 求证 BC BP 2 若 DE OB 40 求 AD BC 的值 3 在 2 条件下 若 S ADE S PBE 16 25 求四边形 ABCD 的面积 解答 解 1 证明 连接 OE 如下图 BC AB 分别与 O 相切于点 C E OCB OEB 90 在 RT OCB 与 RT OEB 中 RT OCB RT OEB HL COB EOB 同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半 COB COE CDP DP OB 又点 O 是 CD 的中点 OB 是 CDP 的中位线 BC BP 图 2 连接 OA OE CE 如下图 所示 2017 年初中数学培优卷 第13页 共16页 hxsx 图 CD 是 O 的直径 DEC 90 又 BC 与 O 相切于点 C DEC OCB 90 又 4 6 DEC OCB DE OB OC DC 40 DC 2OC OC 2 20 OC 2 又 1 2 3 4 1 4 90 又 1 5 90 4 5 ADO OCB AD BC OC OD OC 2 20 即 AD BC 20 3 AD BC 分别与 O 相切于点 D C 如图 所示 CD AD CD PC AD PB ADE BPE 即 AD BC BP 又 AD BC 20 BC 2 25 即 BC 5 S 四边形 ABCD AD BC 2OC OC AD BP 2 BC 2 5 18 即 四边形 ABCD 的面积为 18 25 2014 台州 某公司经营杨梅业务 以 3 万元 吨的价格向农户收购杨梅后 分拣成 A B 两类 A 类杨梅包装 后直接销售 B 类杨梅深加工后再销售 A 类杨梅的包装成本为 1 万元 吨 根据市场调查 它的平均销售价格 y 单 位 万元 吨 与销售数量 x x 2 之间的函数关系如图 B 类杨梅深加工总费用 s 单位 万元 与加工数量 t 单位 吨 之间的函数关系是 s 12 3t 平均销售价格为 9 万元 吨 1 直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式 2 第一次 该公司收购了 20 吨杨梅 其中 A 类杨梅有 x 吨 经营这批杨梅所获得的毛利润为 w 万元 毛利润 销售总收入 经营总成本 求 w 关于 x 的函数关系式 若该公司获得了 30 万元毛利润 问 用于直销的 A 类杨梅有多少吨 3 第二次 该公司准备投入 132 万元资金 请设计一种经营方案 使公司获得最大毛利润 并求出最大毛利润 2017 年初中数学培优卷 第14页 共16页 hxsx 解答 解 1 当 2 x 8 时 如图 设直线 AB 解析式为 y kx b 将 A 2 12 B 8 6 代入得 解得 y x 14 当 x 8 时 y 6 所以 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为 y 2 设销售 A 类杨梅 x 吨 则销售 B 类杨梅 20 x 吨 当 2 x 8 时 wA x x 14 x x 2 13x wB 9 20 x 12 3 20 x 108 6x w wA wB 3 20 x 2 13x 108 6x 60 x 2 7x 48 当 x 8 时 wA 6x x 5x wB 9 20 x 12 3 20 x 108 6x w wA wB 3 20 5x 108 6x 60 x 48 w 关于 x 的函数关系式为 w 当 2 x 8 时 x 2 7x 48 30 解得 x 1 9 x2 2 均不合题意 当 x 8 时 x 48 30 解得 x 18 当毛利润达到 30 万元时 直接销售的 A 类杨梅有 18 吨 3 设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅 其中 A 类杨梅为 x 吨 B 类杨梅为 m x 吨 则购买费用为 3m 万元 A 类杨梅加工成本为 x 万元 B 类杨梅加工成本为 12 3 m x 万元 3m x 12 3 m x 132 化简得 x 3m 60 当 2 x 8 时 wA x x 14 x x 2 13x wB 9 m x 12 3 m x 6m 6x 12 w wA wB 3 m x 2 13x 6m 6x 12 3m x 2 7x 3m 12 将 3m x 60 代入得 w x 2 8x 48 x 4 2 64 当 x 4 时 有最大毛利