【题目解析】第6讲 三角函数2

质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 课程目标 Course Goals K 和差角公式 考试要求 C 考查频率 0 10 难度 2 60 1 熟练掌握和差角公式 2 能够利用和差角公式求解一些特殊三角函数值 3 理解和差角公式与诱导公式之间的联系 K 辅助角公式 考试要求 C 考查频率 0 01 难度 2 00 1 熟练掌握辅助角公式 2 理解辅助角公式和和差角公式之间的联系 3 理解辅助角公式的几何意义 K 二倍角公式 考试要求 C 考查频率 0 05 难度 2 31 1 熟练掌握二倍角公式 2 能够利用二倍角公式求解一些特殊的三角函数值 3 能够利用二倍角公式进行一些简单的构造 K 三倍角公式 考试要求 B 考查频率 0 03 难度 2 88 1 掌握三倍角公式的推导方法以及相关的变形 2 能够应用三倍角公式进行代数式求值 3 可以利用三倍角公式进行一些简单的构造 Powered by 质心教育 1 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 K 和差化积与积化和差公式 考试要求 B 考查频率 0 06 难度 3 10 1 掌握和差化积和积化和差公式的推导 2 能够应用和差化积和积化和差公式进行代数式求值 3 可以利用和差化积和积化和差公式进行三角代数式的裂项 K 万能公式 考试要求 B 考查频率 0 01 难度 2 33 1 理解万能公式对三角恒等变换的意义 2 能够应用万能公式将三角代数式转化为非三角代数式 知识梳理 Knowledge Combing K 和差角公式 和差角公式 和差角公式 1 两角和与差的余弦公式 C cos cos cos sin sin C cos cos cos sin sin 2 两角和与差的正弦公式 S sin sin cos cos sin S sin sin cos cos sin 3 两角和与差的正切公式 T tan tan tan 1 tan tan T tan tan tan 1 tan tan 证明先证明两角差的余弦公式 Powered by 质心教育 2 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 设 A cos sin B cos sin 则 OA OB cos cos sin sin OA OB cos AOB cos 由诱导公式及同角关系式可以得到其它公式 如由 cos cos cos cos sin sin 得可两角和的余弦公式 由 sin cos 2 cos cos 2 sin sin 2 sin cos cos sin 得到两角差的正弦公式 由 tan sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1 tan tan 得到两角差的正切公式 其它公式类似 略去 K 辅助角公式 辅助角公式 辅助角公式 a b 是非零常数 有 asinx bcosx a2 b2sin x 其中 a b 是 终边上一点 有 tan b a 证明设终边过点 a b 的角为 则 cos a a2 b2 sin b a2 b2 Powered by 质心教育 3 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 于是有 asinx bcosx a2 b2 cos sinx sin cosx a2 b2sin x K 二倍角公式 二倍角公式 二倍角公式 二倍角的余弦公式 C2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 二倍角的正弦公式 S2 sin2 2sin cos 二倍角的正切公式 T2 tan2 2tan 1 tan2 证明在两角和的正弦 余弦与正切公式中令 即得 K 三倍角公式 三倍角公式 一 三倍角公式 一 三倍角的正弦公式 sin3 3sin 4sin3 三倍角的余弦公式 cos3 4cos3 3cos 三倍角的正切公式 tan3 3tan tan3 1 3tan2 证明以三倍角的正弦公式为例 反复用二倍角公式 sin3 sin 2 sin2 cos cos2 sin 2sin 1 sin2 1 2sin2 sin 3sin 4sin3 Powered by 质心教育 4 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 三倍角的余弦与正切公式类似可证 略去 三倍角公式 二 三倍角公式 二 sin3 4sin 3 sin sin 3 cos3 4cos 3 cos cos 3 tan3 tan 3 tan tan 3 证明以三倍角的正弦公式 一 知 sin3 3sin 4sin3 4sin sin2 3 sin2 4sin 3 sin sin 3 三倍角的余弦公式 二 类似可证 由三倍角的正切公式 一 证明三倍角的正切公式 二 tan3 3tan tan 3 1 3tan2 tan 3 tan 1 3tan 3 tan 1 3tan tan tan 3 tan 3 拓展知识 正弦三倍角公式的图形证明 Powered by 质心教育 5 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 1 4sin2 sin sin 1 4sin3 sin3 2sin sin sin3 3sin 4sin3 K 和差化积与积化和差公式 积化和差与和差化积公式 积化和差与和差化积公式 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 证明直接将右边打开合并即可证明积化和差公式 令 x y x y 由积化和差公式即可推导出和差化积公式 K 万能公式 万能公式 Powered by 质心教育 6 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 万能公式 万能公式 sin 2tan 2 1 tan2 2 cos 1 tan2 2 1 tan2 2 tan 2tan 2 1 tan2 2 证明 sin 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 2tan 2 1 tan2 2 同理有 cos cos2 2 sin2 2 sin2 2 cos2 2 1 tan2 2 1 tan2 2 万能公式可以将同一个角的不同的三角函数名统一为关于半角正切的函数 从而将一个三角问题转化为一 般的函数问题去求解 经典例题 Classic Examples K 和差角公式 例题 1 9tan10 2tan20 4tan40 tan80 A 0B 3 3 C 1D 3 O 答案A O 解析由于 tan 1 tan 2 tan2 于是 tan10 tan80 2cot20 2 tan20 cot20 4cot40 4 tan40 cot40 8cot80 三式相加即得 9tan10 2tan20 4tan40 tan80 0 Powered by 质心教育 7 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 例题 2 若 sin x 20 cos x 10 cos x 10 则 tanx O 答案 3 O 解析因为 sin x 20 cos x 10 cos x 10 所以 sinxcos20 cosxsin20 2cosxcos10 故有 sinx cosx 2cos10 sin20 cos20 于是问题转化为求 2cos10 sin20 cos20 的值 2cos10 sin20 cos20 2cos 30 20 sin20 cos20 3cos20 sin20 sin20 cos20 3 例题 3 已知 ABC 中 sinA 2sinB cosC 0 则 tanA 的最大值是 O 答案 3 3 O 解析由 sinA sin B C sinB cosC cosB sinC 得 3sinB cosC cosB sinC 0 即 3tanB tanC 0 于是 tanA tan B C tanB tanC 1 tanB tanC 2tanB 1 3tan2B 2 1 tanB 3tanB 3 3 等号当 tanB 3 3 tanC 3 时取得 因此 tanA 的最大值为 3 3 Powered by 质心教育 8 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 K 辅助角公式 例题 4 函数 y 3 2 sin x 2 cos 6 x 的最大值为 A 13 4 B 13 4 C 13 2 D 13 O 答案C O 解析根据题意 有 y 3 2 sin x 2 sin x 3 两个部分的相位角之差 2 3 6 于是所求最大值为 v u u t 3 2 2 12 2 3 2 1 cos 6 13 2 例题 5 设 2 2 且满足 sin cos sin cos 1 则 sin sin 的取值范围是 A 2 2 B 1 2 C 0 2 D 1 2 O 答案D O 解析因为 sin 1 而 所以 2 于是 0 2 2 因此 sin sin sin cos 2sin 4 所以所求的取值范围是 1 2 K 二倍角公式 例题 6 若 tan 4 1 7 则 1 cos2 2sin2 sin2 Powered by 质心教育 9 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 O 答案 3 O 解析根据题意有 tan 4 1 tan 1 tan 1 7 解得 tan 3 4 于是 1 cos2 2sin2 sin2 2sin2 2sin sin cos tan tan 1 3 例题 7 sin6 sin42 sin66 sin78 A 1 4 B 1 8 C 1 16 D 1 32 O 答案C O 解析 解法一根据题意 有 sin6 sin42 sin66 sin78 cos12 cos24 cos48 cos84 cos12 cos24 cos48 cos96 sin192 16sin12 1 16 解法二根据三倍角公式 有 sin6 sin42 sin66 sin78 4 sin6 sin54 sin66 4 sin54 4 sin18 sin42 sin78 4 sin18 sin18 4sin54 sin54 4sin18 1 16 Powered by 质心教育 10 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 K 三倍角公式 例题 8 设 sin cos 1 3 则 sin3 cos3 O 答案 25 27 O 解析因为 2sin cos sin2 cos2 sin cos 2 8 9 所以 sin3 cos3 3sin 4sin3 4cos3 3cos 3 sin cos 4 sin3 cos3 1 4 sin3 cos3 1 4 3 sin 2 sin cos cos2 25 27 例题 9 sin20 sin40 sin80 O 答案 3 8 O 解析 解法一因为 8sin20 sin40 sin80 4 cos20 cos60 sin80 4sin80 cos20 2sin80 2 sin100 sin60 2sin80 2sin60 3 所以 sin20 sin40 sin80 3 8 Powered by 质心教育 11 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 解法二根据三倍角公式 有 sin20 sin40 sin80 1 4 sin60 3 8 K 和差化积与积化和差公式 例题 10 sin2130 sin70 cos80 O 答案 3 4 O 解析根据题意 有 sin2130 sin70 cos80 1 cos260 2 sin150 sin 10 2 3 4 例题 11 1 cos 7 1 cos 3 7 1 cos 5 7 的值为 A 9 8 B 7 8 C 3 4 D 前三个答案都不对 O 答案B O 解析 解法一由题意 根据单位根的推论一有 m 1 cos 7 1 cos 3 7 1 cos 5 7 1 cos 2 7 1 cos 4 7 1 cos 6 7 8sin2 7 sin2 2 7 sin2 3 7 8sin 7 sin 2 7 sin 3 7 sin 4 7 sin 5 7 sin 6 7 7 8 Powered by 质心教育 12 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 解法二记 xk cos k 7 k N 则 1 x1 1 x3 1 x5 1 x1 x3 x5 x1x3 x3x5 x5x1 x1x3x5 1 x1 x3 x5 x2 x4 2 x2 x8 2 x4 x6 2 x2x4x8 1 x1 x3 x5 x2 x4 x6 1 8 7 8 例题 12 cos5 9 cos5 5 9 cos5 7 9 的值为 A 15 32 B 15 16 C 8 15 D 16 15 O 答案A O 解析 解法一记 cos k 9 xk 其中 k N 由于 A x1 x5 x7 2x2 x3 x7 0 又 B x1x5 x5x7 x7x1 1 2 x4 x6 x2 x12 x6 x8 3 4 以及 C x1 x5 x7 x2 x4 x8 sin 16 9 8sin 2 9 1 8 因此 cos 9 cos 5 9 cos 7 9 是关于 x 的方程 x3 3 4x 1 8 0 的三个实根 从而 x5 x2 3 4x 1 8 1 8x 2 9 16x 3 32 因此 x5 1 x 5 3 x 5 5 1 8 A 2 2B 9 16A 9 32 15 32 备注注意到 9 5 9 7 9 均为关于 的方程 cos3 1 2 Powered by 质心教育 13 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 也即 4cos3 3cos 1 2 0 的实数解 解法二注意到 cos5 e i e i 2 5 1 32 e5 i 5e3 i 10e i 10e i 5e 3 i e 5 i 1 16 cos5 5cos3 10cos 于是 4 k 1 cos5 2k 1 9 1 16 4 k 1 cos 5 2k 1 9 5 4 k 1 cos 3 2k 1 9 10 4 k 1 cos 2k 1 9 1 2 其中用到了 4 k 1 cos 2m 1 2k 1 9 1 2 m N 因此所求代数式的值为 1 2 cos5 3 9 15 32 备注更一般的 有 n k 1 cos2m 1 2k 1 2n 1 1 2 m n N K 万能公式 例题 13 若 tan 3 4 0 则 cos2 等于 A 7 25 B 7 25 C 12 25 D 12 25 O 答案B O 解析由万能公式即得 例题 14 求证 cos 1 sin sin 1 cos 2 cos sin 1 sin cos O 答案略 O 解析 Powered by 质心教育 14 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第六讲三角函数 2 解法一根据题意 有 LHS cos 1 cos sin 1 sin 1 sin 1 cos cos sin 1 sin cos 1 sin cos sin cos 2 cos sin 1 sin cos 1 2sin 2cos 2sin cos sin2 cos2 2 cos sin 1 sin cos 1 sin cos 2 RHS 因此原命题得证 解法二设