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如何在高中阶段有效开展数学建模 山东师范大学附属中学 房华摘要：为增强学生应用数学解决实际问题的能力，简要分析了高中数学建模的必要性，通过开展数学建模的教学实践，总结了如何在高中阶段有效实施数学建模。关键词：数学建模、数学应用意识、数学建模实践。 正文： 我国普通高中数学教学大纲中明确提出要切实培养学生解决实际问题的能力，要求增强应用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题。因此我们的数学教学不仅要使学生知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且要提高学生的思维能力，培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质。而数学建模通过从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际这一过程，促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识，从而拓宽了学生的知识面和能力。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一，是改善学生学习方式的突破口。因此有计划地开展数学建模活动，将有效地培养学生的能力，提高学生的综合素质。 我研究和开发了以下的数学建模专题，并和同事合作分别在高一和高二开展了数学建模实践 。专题具体问题实施年级实施效果说明一次函数、二次函数建模旅行社组团问题高一学生能够独立解决问题，有很大成就感。客房定价问题指数、对数函数建模古墓年代测定高一学生对相关化学知识不了解，需要教师指导学生查阅相关学科的知识。有了相关化学知识后学生能够独立提炼出相应的数学模型，并应用指数、对数相关知识求解模型。地球年龄测定诺贝尔奖金金额问题学生对问题背景不了解，对数据的处理上存在一定困难。三角函数建模悬崖高度测定（数学测量法）高一学生经过思考讨论能够提出解决问题的不同方案。山体距离测量问题函数零点建模方桌放平问题高一学生对于问题结果的说明不严谨，需要在老师知道下才能完成对问题结果的证明。方程、方程组建模悬崖高度测定（物理测量法）高一学生能提供不同的解决办法。体会出思考解决问题时思维的发散性。摩天大楼电阻测定解析几何建模追截走私船问题高二学生在数学模型的选择上需要老师提供帮助。立体几何建模埃及金子塔用料问题高一学生能独立解决。飞机飞行路线最短问题高二涉及数学知识点比较多，需要引领学生回顾相关知识。数列建模|商场促销问题高二学生能够给出不同的解决过程。最优存贮问题不等式建模漏斗的优化设计高二学生能够自己列出数学模型，但对于在模型解决中需要用到的不等式知识需要老师提供帮助。最优存贮问题概率建模中奖概率问题高二学生能够独立解决。体会到概率在日常生活中的应用。统计建模出生日期与成绩之间的关系问题高二学生对问题本身很感兴趣，但对调查得到的数据处理上需要老师给予一定的指导。算法建模辗转相除法和更相减损术优劣对比分析高一对学生的计算机能力要求比较高，部分学生感兴趣，能够解决。通过实践发现数学建模可以提高学生的学习兴趣，培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。具体的调查表明，大部分学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程的学习有许多学生认为：数学源于生活，生活依靠数学，平时做的题都是理论性较强，实际性较弱的题，都是在理想化状态下进行讨论，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性； 数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻。当然，通过数学建模实践，我们也发现了学生在解诀实际问题时面临的诸多困惑和存在的问题，通过访谈发现，有的学生认为自己“没有信心能解决出问题。因为整理不出头绪来，找不出关键性条件，看不到隐在的信息，不会把原始问题转化为相应的数学问题，没法把实际问题和对应的数学模型联系起来”；“有的学生谈到“实际问题中有些数量关系不明确或比较复杂的问题时，不知道该把哪些数据作为思维的起点，感到无从下手，找不到解决问题的突破口”；有的学生认为“自己知识面比较窄，很多时候没法理解实际问题中出现的名词术语，或不知道问题的背景”；也有的学生说“很难用精练的数学语言表述所建立模型的思维方法和解题步骤”。为了解决学生面临的问题，让更多的学生爱上数学建模，我们在开展教学时重点从以下几个方面做了努力。（一）在教学中传授学生初步的数学建模知识。中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。（二）培养学生的数学应用意识，增强数学建模意识。首先，学生的应用意识体现在以下两个方面：一是面对实际问题，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，学习者在学习的过程中能够认识到数学是有用的。二是认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：生活中处处有数学，数学就在他的身边。其次，关于如何培养学生的应用意识：在数学教学和对学生数学学习的指导中，介绍知识的来龙去脉时多与实际生活相联系。另外锻炼学生学会运用数学语言描述周围世界出现的数学现象，让学生养成运用数学语言进行交流的习惯。例如，当学生乘坐出租车时，他应能意识到付费与行驶时间或路程之间具有一定的函数关系。（三）在教学中注意联系相关学科加以运用。在数学建模教学中重视选用数学与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题和大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题。结合我校开展的数学建模实践，对于如何在高中阶段有效开展数学建模提出了以下几点自己的浅见。 （一）数学建模活动的实施。数学建模活动的实施要循序渐进，分阶段进行。 第一阶段 教师讲解示范：（1）教师精选有代表性的数学建模论文，讲解写作步骤和方法，重点放在对问题背景、问题的条件考察以及模型建立过程的引导与分析上，力图使学生弄清其中所蕴藏的思维方式与方法，让学生注意考察论文中是如何把解决特殊问题转化为解决一般性问题的（2）阅读理解：教师让学生阅读一定数量的建模论文，让学生体会理解建立数学模型的方法和步骤：模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息。弄清对象的特征，用数学语言来描述问题。模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解 ：利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析：对模型解答所得结果进行数学上的误差分析，数据稳定性等分析。模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。 第二阶段 模仿提高：数学建模可以采取小组合作的学习模式，教师引导和组织学生独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。（1）对每种建模的方法而言，教师根据学生的能力给出一些相关的建模题目，让学生模仿教师列举的建模方法去解决同类型的问题，目的是让学生对该方法有较深刻的理解认识，使得学生从理解例题到模仿初步掌握这种建模方法的具体应用。鼓励学生创新，允许一部分学生在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力。（2）数学建模活动中，应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。适当讲解数学建模中常会用到的一些数学软件Matlab的使用辅导，讲解建模中需要计算机编程的一些数学算法的特点和步骤，从而为学生正确求出模型的解，铺平了道路。在这一阶段让学生明确建模不是比谁建模型用的知识越高深莫测越完美越好，建模是解决实际问题的，它有实效性，要求所建模型能够利用现代化手段快速解决问题。 第三阶段 教师精选一定的建模题目给学生练习，学生小组讨论独立解决具有新意的数学建模问题。这种形式的数学建模学生不需要自己选定实际问题研究，而是由教师选定适合于学生水平的实际问题呈现给学生，在教师的启发、引导下，学生小组通过讨论，自己完成模型选择和建立、计算、验证等过程,最后用小论文的形式呈现自己的研究成果,这种形式的数学建模学生已真正接触到实际问题,并经历建模的全过程。在这一阶段要注意提供的实际问题必须难易适度,应当适合于学生的认知水平。对于较难的问题,我们往往给出必要提示,如启发学生通过提出合符常理的假设来将复杂的问题化为可以建模的问题;通过提示学生设定相关变量来达到使模型容易建立等。教师可从选定的实际问题、模型假设、变量设定等方面来控制难度。在这一阶段的建模实践中，学生的研究结果会用论文进行表达，由于数学建模论文的撰写有一定的格式要求，所以对学生论文撰写的格式要进行专门的辅导，一般地说，中学生的数学建模论文格式，应当具有以下的形式。（一）论文摘要：做什么？用什么方法？借助什么工具？得出什么结论？为什么用这个工具？所得结果还有何推广应用？关键词：用以体现论文主要特色的几个词汇。（二）问题的重述：用自己的语言将问题重述一遍，有自己的理解。（三）必要的假设或假定：（1）根据实际情况假定，要合乎常理，简化原始问题；（2）变量的定义和声明。（四）问题分析：变量之间会有什么关系？已知了什么？需在数学上解决什么？（五）模型：能够写成数学表达式的一定要写，可用几种不同的模型。（六）模型求解：用各种手段、包括借助计算器和计算机得出结论。（七）问题的讨论：模型及使用的工具的优缺点（准确性、局限性），所得结论和所用方法可否延伸到其他领域。（八）附录：引用的原始资料，编写的程序等。从以上八个方面对学生进行辅导，提出要求，将会有效保证学生正确用论文表达自己的研究结果。 第四阶段 学生自选问题的数学建模。学生具备了一定的建模水平后，就可自选问题进行数学建模了。这一阶段是要求学生依据自己已掌握的建模知识和具备的经验，自己选定一个实际问题，通过建立数学模型加以解决。在这一阶段教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，组织和鼓励学生组成课题组合作的解决问题；指导和帮助学生查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料；指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。 （二）数学建模的评价。评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与。不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。评价内容应关注以下几个方面：创新性。问题的提出和解决的方案有新意。现实性。问题来源于学生的现实。真实性。确实是学生本人参与制作的，数据是真实的。合理性。建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。有效性。建模的结果有一定的实际意义。以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。学生所做的数学建模报告及教师给予的评价可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版等多种形式。 附录以下是节选了两篇在教师指导下学生完成的数学建模论文飞机飞行的最短路径问题课题： 李先生从上海乘飞机去美国首都华盛顿旅行，他发现飞机不是按照地图上上海到华盛顿间的直线路径飞行的，而是过日本东京经阿留申群岛城市Atuu、底特律到达华盛顿的，这是为什么呢？试通过数学模型来说明飞机选择这样航线的理由。 相关知识背景：飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线。飞机的航线确定了飞机飞行具体方向、起讫点和经停点。 地球是一个可以用球来近似的球体。平面上两点间直线距离最短，而由球面知识可知：球面上两点间球面距离最短。球面距离指经过两点的球大圆的劣弧的长度。通过球面上不是对径点（球直径的两端点）的任意两点A与B，可以画出唯一的一个大圆（通过球心的平面与球面相交，其交线称为球大圆）；如果A与B是对径点，那么经过A与B可以作出无穷多个大圆。相关数据：城市纬度经度上海31.13N121.25E东京35.40N139.45EAttu52.55N173.00E底特律42.23N83.05W华盛顿38.55N77.00W模型假设（1） 地球是一个半径为R的球（2） 上海为点A，华盛顿为点B，则经过点A,B能确定一个球大圆。（3） 设东京为点C（4） 地球表面上一点的经度记为，纬度记为。模型建立：地球上任何一个城市（球面上任何一点）的位置可以用经度和纬度来确定，经过南北两极的大圆与球面的交线成为经线，与两级所成轴线垂直的平面与球面的交线称为纬线。经度分为东经和西经，范围都是，纬度分为北纬和南纬，范围都是。我们可通过建立空间直角坐标系将相关点用坐标表示。过赤道，经线和东经各做一个平面，分别记为平面，由地理知识可知，两两垂直，且交点为球心，设它们两两平面的交线分别为，从而构成空间直角坐标系球面上一点P的坐标（x,y,z） 与P点经纬度之间的关系为 下表中列出了若干城市的经度、纬度及与计算有关的量。城市纬度经度上海31.13N121.25E-0.445790.729840.51828东京35.40N139.45E-0.620060.524920.58307Attu52.55N173.00E-0.598480.073480.79776底特律42.23N83.05W0.08896-0.733270.67409华盛顿38.55N77.00W0.17502-0.758120.62819则上海坐标为A（-0.44579R,0.72984R,0.51828R）东京坐标为C(-0.62006R,0.52492R,0.58307R)Attu坐标为（-0.59848R,0.07348R,0.79776R）华盛顿坐标为B(0.17502R,-0.75812R,0.62819R)令则（-0.44579R,0.72984R,0.51828R）; (0.17502R,-0.75812R,0.62819R)；(-0.62006R,0.52492R,0.58307R)向量在同一平面内的充分必要条件是（1）模型求解：要想判断上海、华盛顿、东京（或Attu）是否在同一个球大圆上，只需将相关点的坐标代入（1）验证是否成立即可。比如验证上海、华盛顿、东京如下式经验证知，满足条件，因而在上海、华盛顿、东京在同一个球大圆上，同理可验证其它点。模型验证：用地球仪和一根绳子做实验验证，先把绳子过两极绕地球仪的球体一周，截取绳子长等于大圆周长，然后共该绳子过上海和华盛顿绕大圆，可以发现：阿留申群岛城市Attu和底特律等都在绳子附近。模型应用：应用此模型可以为航空公司制定飞行路线提供理论支持。 摩天大楼中电线的电阻测量问题课题 ：在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知，现在