湖南省师大附中2014年高二上数学期末试题及答案(理).doc

命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月15日)满分：100分(必考试卷)50分(必考试卷)时量：120分钟得分：必考试卷一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数ii2在复平面内表示的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设xR，则xe的一个必要不充分条件是A.x1 B.x3 D.x5)的两个焦点，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为A.10 B.20 C.2 D.47.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x2)f(x)0，则必有A.f(3)f(3)2f(2) C.f(3)f(3)2f(2) D.f(3)f(7)2f(2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数10的值是.9.用反证法证明命题：“若x，y0，且xy2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为.10.已知等差数列an中，有成立.类似地，在等比数列bn中，有成立.11.曲线ysin x在0，上与x轴所围成的平面图形的面积为.12.已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则c的值为.13.正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)ax3(a1)x227(a2)xb的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间4，5上的单调性，并求出f(x)在区间4，5上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且ACABBC2，PA平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AEPD；(2)若H为PD上一点，且AHPD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.必考试卷一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2ab)b0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.来源:学|科|网5.(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，xR.(1)若直线ykx1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线y与直线ym(m0)公共点的个数；(3)设函数h满足x2h(x)2xh(x)，h(2)，试比较h(e)与的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷又函数f(x)在4,5上连续.f(x)在(3,3)上是单调递减函数，在(4，3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是54.(11分)15.解：(1)a1，a2，a3，.猜测an2(5分)(2)由(1)已得当n1时，命题成立；(7分)假设nk时，命题成立，即ak2，(8分)当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak2k1ak2ak12(k1)12k3，2ak122，ak12，即当nk1时，命题成立.(11分)根据得nN时，an2都成立.(12分)16.(1)证明：由ACABBC，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC.又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.(5分)(2)解：因为AHPD，由(1)知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE，此时tanEHA，在RtAOE中，EOAEsin 30，AOAEcos 30，又F是PC的中点，在RtASO中，SOAOsin 45，又SE，在RtESO中，cosESO，即所求二面角的余弦值为.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F，所以(，0,0)，.所以cosm，.因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)必考试卷一、选择题1.D【解析】由图像可知f(x)在(，0)递减，在(0，)递增，所以f(2ab)1即2ab4，原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得.二、填空题2.1【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.f(x)(xk)(x2k)(x3k)x(x2k)(x3k)x(xk)(x3k)x(xk)(x2k)故f(0)6k3，又f(0)6，故k1.三、解答题3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10x)万元，农民得到的总补贴f(x)(10x)mln(x1)mln(x1)1，(1x9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)(2)f(x)，令y0，得x10m1(8分)1若10m11即0m，则f(x)在1,9为减函数，当x1时，f(x)有最大值；新课 标第 一 网2若110m19即m1，则f(x)在1,10m1)是增函数，在(10m1,9是减函数，当x10m1时，f(x)有最大值；3若10m19即m1，则f(x)在1,9是增函数，当x9时，f(x)有最大值.因此，当0m时，投放B型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当m0.由于点M在椭圆C上，所以y1.(*)(4分)由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x13方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，不妨设sin 0，由已知T(2,0)，则(2cos 2，sin )(2cos 2，sin )(2cos 2)2sin25cos28cos 352.(6分)故当cos 时，取得最小值为，此时M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2.故圆T的方程为：(x2)2y2.(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：yy0(xx0)，令y0，得xR，同理：xS，(10分)故xRxS(*)(11分)又点M与点P在椭圆上，故x4(1y)，x4(1y)，(12分)代入(*)式，得：xRxS4.所以4为定值.(13分)方法二：设M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，不妨设sin 0，P(2cos ，sin )，其中sin sin .则直线MP的方程为：ysin (x2cos )，令y0，得xR，同理：xS，(12分)故xRxS4.所以4为定值.(13分)5.解：(1)f的反函数g(x)ln x.设直线ykx1与g(x)ln x相切于点P(x0，y0)，则x0e2，ke2.所以ke2.(3分)(2)当x0，m0时，曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)的公共点个数即方程f(x)mx2根的个数.由f(x)mx2m，令v(x)v(x)，则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)(v(2)，)；v(x)在(2，)上单调递增，这时v(x)(v(2)，).v(2).v(2)是yv(x)的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数，讨论如下：当m时，有0个公共点；当m时，有1个公共点；当m时有2个公共点；(8分)(3)令F(