高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积课件.ppt

5 3平面向量的数量积 第五章平面向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的夹角已知两个非零向量a和b 作 b 则就是向量a与b的夹角 向量夹角的范围是 知识梳理 aob 0 2 平面向量的数量积 a b cos a cos b cos b cos 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或 a 4 cos 5 a b a b 0 a b a 2 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 1 若a x y 则 a 2 或 a 2 设a x1 y1 b x2 y2 则a b两点间的距离 ab 3 设两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b 4 若a b都是非零向量 是a与b的夹角 则cos x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 1 两个向量a b的夹角为锐角 a b 0且a b不共线 两个向量a b的夹角为钝角 a b 0且a b不共线 2 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 a b c a b c 5 两个向量的夹角的范围是 6 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p105例4 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则k 答案 解析 1 2 3 4 5 6 12 解析 2a b 4 2 1 k 5 2 k 由a 2a b 0 得 2 1 5 2 k 0 10 2 k 0 解得k 12 3 p106t3 已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 则向量b在向量a方向上的投影为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由数量积的定义知 b在a方向上的投影为 b cos 4 cos120 2 2 题组三易错自纠4 设向量a 1 2 b m 1 如果向量a 2b与2a b平行 那么a与b的数量积等于 答案 1 2 3 4 5 6 解析 解析a 2b 1 2m 4 2a b 2 m 3 5 已知点a 1 1 b 1 2 c 2 1 d 3 4 则向量方向上的投影为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 已知 abc的三边长均为1 且 则a b b c a c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析 a b b c a c 120 a b c 1 题型分类深度剖析 1 设四边形abcd为平行四边形 4 若点m n满足等于a 20b 15c 9d 6 解析 答案 题型一平面向量数量积的运算 自主演练 2 如图 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则的值为 解析 答案 平面向量数量积的三种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义求解 命题点1求向量的模典例 1 2017 湘中名校联考 平面向量a与b的夹角为45 a 1 1 b 2 则 3a b 等于 题型二平面向量数量积的应用 多维探究 答案 解析 2 2017 衡水调研 已知在直角梯形abcd中 ad bc adc 90 ad 2 bc 1 p是腰dc上的动点 则的最小值为 答案 解析 5 解析建立平面直角坐标系如图所示 则a 2 0 设p 0 y c 0 b 命题点2求向量的夹角典例 1 2017 山西四校联考 已知向量a b满足 2a b a b 6 且 a 2 b 1 则a与b的夹角为 答案 解析 解析 2a b a b 6 2a2 a b b2 6 又 a 2 b 1 a b 1 2 平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m r 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m等于a 2b 1c 1d 2 答案 解析 1 求解平面向量模的方法 写出有关向量的坐标 利用公式 a 即可 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解 a 2 求平面向量的夹角的方法 定义法 cos 注意 的取值范围为 0 坐标法 若a x1 y1 b x2 y2 则cos 解三角形法 可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 跟踪训练 1 2017 全国 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b 答案 解析 解析方法一 方法二 数形结合法 2 2017 山东 已知e1 e2是互相垂直的单位向量 若 e2与e1 e2的夹角为60 则实数 的值是 答案 解析 典例 2017 广州海珠区摸底 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 向量m cos a b sin a b n cosb sinb 且m n 1 求sina的值 题型三平面向量与三角函数 师生共研 解答 2 若a b 5 求角b的大小及向量方向上的投影 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 跟踪训练在平面直角坐标系xoy中 已知向量m n sinx cosx x 1 若m n 求tanx的值 解答 2 若m与n的夹角为 求x的值 解答 典例已知直线y 2x上一点p的横坐标为a 直线外有两个点a 1 1 b 3 3 求使向量夹角为钝角的充要条件 利用数量积求向量夹角 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 现场纠错 解错解中 cos 0包含了 纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时 不要忽视两向量共线的情况 课时作业 1 2017 全国 设非零向量a b满足 a b a b 则a a bb a b c a bd a b 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析方法一 a b a b a b 2 a b 2 a2 b2 2a b a2 b2 2a b a b 0 a b 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二利用向量加法的平行四边形法则 2 2017 河北唐山一模 已知向量a b满足a a b 2 且 a 1 b 2 则a与b的夹角为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由a a b 2 得a2 a b 2 即 a 2 a b cos a b 1 2cos a b 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 豫南九校联考 已知向量a m 2 b 2 1 且a b 则等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a b 2m 2 0 m 1 则2a b 0 5 a b 3 1 a a b 1 3 2 1 5 解析 答案 4 2018 乐山质检 在 abc中 ab 3 ac 2 bc 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2017 沈阳质检 在 abc中 ab 2 ac 1 e f为bc的三等分点 则等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 0 又因为ab和ac为三角形的两条边 它们的长不可能为0 所以ab与ac垂直 所以 abc为直角三角形 以a为原点 以ac所在直线为x轴 以ab所在直线为y轴建立平面直角坐标系 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2017 驻马店质检 若o为 abc所在平面内任一点 且满足 0 则 abc的形状为a 正三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 全国 已知向量a 1 2 b m 1 若向量a b与a垂直 则m 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 解析 a 1 2 b m 1 a b 1 m 2 1 m 1 3 又a b与a垂直 a b a 0 即 m 1 1 3 2 0 解得m 7 8 2018 银川质检 已知向量a b的夹角为 b 2 则a a 2b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 9 2017 河南百校联盟联考 已知非零向量a b满足 2a 2a b b b 2a a 3 a 则a与b的夹角为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 解析由2a 2a b b b 2a 得4a2 b2 10 2017 巢湖质检 已知a 2 b 3 2 如果a与b的夹角为锐角 则 的取值范围是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析a与b的夹角为锐角 则a b 0且a与b不共线 11 2018 贵阳质检 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解因为 2a 3b 2a b 61 所以4 a 2 4a b 3 b 2 61 又 a 4 b 3 所以64 4a b 27 61 所以a b 6 2 求 a b 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 3 若 求 abc的面积 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 江苏 已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若cosx 0 则sinx 0 与sin2x cos2x 1矛盾 故cosx 0 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 2018 长沙质检 已知 def的外接圆的圆心为o 半径r 4 如果方向上的投影为 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 2017 广东七校联考 在等腰直角 abc中 abc 90 ab bc 2 m n为ac边上的两个动点 m n不与a c重合 且满足的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析不妨设点m靠近点a 点n靠近点c 以等腰直角三角形abc的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 如图所示 则b 0 0 a 0 2 c 2 0 线段ac的方程为x y 2 0 0 x 2 设m a 2 a n a 1 1 a 由题意可知0 a 1 15 2018 湖北黄冈二模 已知平面向量a b c满足 a b 1 a a 2b c 2a c b 0 则 c 的最大值与最小值的和为 拓展冲刺练