高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课堂导学案新人教选修.docx

2.3.2 双曲线的简单几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程=1,由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,c=5.焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率e=;顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为y=.温馨提示 双曲线=1(a0，b0)的渐近线为y=x,双曲线=1的渐近线为x=y,即y=x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.二、双曲线的离心率【例2】双曲线=1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点（a,0）和(0,b)，且点(1,0)到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和sc.求双曲线的离心率e的取值范围.解:直线l的方程为=1，即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=.同理得到点（-1，0）到直线l的距离：d2=,s=d1+d2=.由sc,得c,即5a2c2.于是得52e2,即4e4-25e3+250.解不等式，得e25.由于e10,所以e的取值范围是e.温馨提示 本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想.本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=对称?若存在，请求出a的值;若不存在，请说明理由.解:(1)由消去y,得（3a2）x22ax2=0.依题意即a且.设A(1，1），（2，2）,则以AB为直径的圆过原点，OAOB.1212.但y1y2212（12）,由,x1+x2，12.（a2+1）+1.解得且满足.(2)假设存在实数a，使A、B关于对称，则直线y=ax+1与y垂直，a=-1,即-2.直线l的方程为-3.将a=-2代入得12.中点横坐标为2，纵坐标为-22-3.但AB中点(2，-3）不在直线12上,即不存在实数,使A、B关于直线12对称.各个击破类题演练 1求满足下列条件的双曲线方程.（1）以2x3y=0为渐近线，且经过点（1，2）；（2）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.解：（1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=，点（1，2）在双曲线上点的坐标代入方程可得=-32.所求双曲线方程为4x2-9y2=-32，即=1.（2）由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为（2,0)，又双曲线的一条渐近线方程为yx=0，则另一条渐近线方程为y+x=0.所求双曲线方程为3x2-y2=（0），则a2=，b2=.c2=a2+b2=4，即=3.故所求的双曲线方程为x2-=1.变式提升 1(2004天津) 设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于（ ）A.1或5 B.6 C.7 D.9答案：C类题演练 2(2006陕西高考，12) 已知双曲线=1(a)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B. C. D.答案：D变式提升 2(2004重庆) 已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为( )A. B. C.2 D.答案：B类题演练 3已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点（4，-).(1)求双曲线的标准方程；（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F1MF2M.答案：（1）解：由双曲线的离心率为，即=,则=2,a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x2-y2=(0).由于双曲线过点（4，），则42-（）2=.=6.双曲线方程为=1.(2)证明：由（1）可得F1、F2的坐标分别为（-2，0）、（2，0），M、N的坐标分别为（3，）、（3，-）.kF1M=,kF2M=.故kF1MkF2M=-1.F1MF2M.变式提升 3已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P（-2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距的取值范围.解析：由方程.消去y，整理得（1-k2）x2+2kx-2=0.由题设得解得