高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2 含有绝对值的不等式 1.2.1 含有绝对值的不等式课件 北师大版选修45.ppt

2含有绝对值的不等式 2 1绝对值不等式 1 理解含有绝对值的不等式的性质 2 掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义 3 能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题 并认识不等式证法的多样性 灵活性 1 实数的绝对值的概念 2 a 的几何意义 a 表示数轴上实数a对应的点与原点o的距离 a b a2 b2 4 x a 的几何意义 数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离 或数轴上表示x a的点到原点o的距离 5 x a 的几何意义 数轴上实数x对应的点与实数 a对应的点之间的距离 或数轴上表示x a的点到原点的o距离 2 绝对值不等式的定理 1 定理 对任意实数a和b 有 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 定理的另一种形式 对任意实数a和b 有 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 分析 利用不等式的性质证明即可 3 a b a b 的几何意义 1 如图 当a b同号时 表示它们的点位于原点的同一边 此时表示a与 b的点间的距离等于表示a与b的点到原点的距离之和 2 如图 当a b异号时 表示它们的点分别位于原点的两边 表示a与 b的点间的距离小于表示a与b的点到原点的距离之和 题型一 题型二 题型三 题型一利用绝对值不等式证明不等式 例1 设m等于 a b 和1中最大的一个 当 x m时 求证 分析 本题的关键是对题设条件的理解和运用 判断 a b 和1这三个数中哪个最大 如果两两比较大小 将十分复杂 但我们可以得到一个重要的信息 m a m b m 1 从而利用这一条件证题 题型一 题型二 题型三 反思分析题目时 题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据 而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言 翻译 转化而来 准确理解题目中的文字语言 适时准确地进行转化也就成了解题的关键 如本题题设条件中的文字语言 m等于 a b 和1中最大的一个 可转化为符号语言 m a m b m 1 这是证明本题的关键 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型二利用绝对值不等式求最值 例2 求函数y x 1 x 4 的最大值和最小值 分析 利用绝对值不等式的性质进行变形来解 题型一 题型二 题型三 反思1 形如y x a x b 或y x a x b 型函数的最值 均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解 2 一般地 函数y x a x b 有最小值 a b 无最大值 函数y x a x b 的最大值为 a b 最小值为 a b 3 求最值时 还应注意等号成立的条件 题型一 题型二 题型三 变式训练2 若关于x的不等式 x 2 x 1 a的解集为 求实数a的取值范围 解法一 x 2 x 1 x 2 x 1 3 当a 3时 原不等式的解集为 解法二 式子 x 2 x 1 可以看作数轴上一点到 2 1对应两点的距离之和 因为数轴上任一点与 2 1这两点间的距离之和不小于3 故使原不等式解集为 的a的取值范围是a 3 题型一 题型二 题型三 题型三绝对值不等式的应用 例3 已知a b c为实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1时 f x 1 试证明 当 1 x 1时 g x 2 分析 在证明中要注意合理利用绝对值不等式的定理 由于g x 是一次函数 因此可将 g x 2转化为g 1 g 1 与2的关系加以证明 证明 当a 0时 g x ax b在 1 1 上是增函数 g 1 g x g 1 当 1 x 1时 f x 1 c f 0 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g x 2 当a 0时 g x ax b在 1 1 上是减函数 g 1 g x g 1 当 1 x 1时 f x 1 c f 0 1 题型一 题型二 题型三 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g 1 a b f 1 c f 1 c 2 g x 2 当a 0时 g x b f x bx c 1 x 1 g x f 1 c f 1 c 2 综上可知 当 1 x 1时 g x 2 反思当函数f x 中x的最高次项含有字母时 要对字母进行分类讨论 题型一 题型二 题型三 变式训练3 设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 证明 f x x2 x 13 x a 1 f x f a x2 x a2 a x a x a 1 x a 1 又 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 f x f a 2 a 1 1 2 3 4 5 1若 x a m y a n 则下列不等式一定成立的是 a x y 2mb x y 2nc x y n md x y n m解析 x y x a y a x a y a m n 答案 d 1 2 3 4 5 2设ab 0 则下面四个不等式中 正确的是 a b a a b a b a 和 b 和 c 和 d 和 解析 ab 0 a b同号 a b a b 和 正确 答案 c 1 2 3 4 5 3若a b r 且满足 a 2b bc a a 2b a 2 b a 2b a 2 b a a b 综上 知 b a 3 b 答案 d 1 2 3 4