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第二章 行 列 式 习题精解1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为: 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为: 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为: 所以此排列为偶排列. 2.选择与使1) 1274569成偶排列;2) 1254897成奇排列.解: 1) 当时, 所求排列的逆序数为: 故当时的排列为偶排列. 2)当时, 所求排列的逆序数为: 故当时的排列为奇排列. 3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换.解: 12345. 4.决定排列的逆序数,并讨论它的奇偶性.(行列式第 1页 ) 解: 因为1与其它数构成个逆序,2与其它数构成个逆序, 构成1个逆序,所以排列的逆序数为 5.如果排列的逆序数为,排列的逆序数是多 少? 解: 因为比大的数有个,所以在 与这两个排列中,由与比它的 各数构成的逆序数的和为.因而,由构成的逆序总数 恰为 而排列的逆序数为,故排列的逆序数为.6.在6阶行列式中, 这两项应带有 什么符号? 解: 在6阶行列式中,项前面的符号为 . 同理项前面的符号为 . 所以这两项都带有正号. 7写出4阶行列式中所有带有负号并且因子的项。 解: 所求的各项应是 , , . (行列式第2页) 8按定义计算行列式: 1) 2) 3) . 解:1)所给行列式的展开式中只含有一个非零项, 它前面的符号应为 . 所以原行列式= . 2)所给行列式的展开式中只含有一个非零项, 它前面的符号应为 . 所以原行列式=!. 3)所给行列式的展开式中只含有一个非零项 , 它前面的符号应为 . 所以原行列式=!. 9由行列式定义证明: . (行列式第3页) 解:行列式展开的一般项可表示为,列标 只可以在1,2,3,4,5中取不同的值,故三个下标中至 少有一个要取3,4,5列中之一数,从而任何一个展开式中至少 要包含一个0元素,故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0, 因此原行列式值为0. 10 由行列式定义计算 . 中与的系数,并说明理由。 解:含有的展开项只能是,所以的系数为2; 同理,含有的展开项只能是,所以的系 数为-1. 11.由 证明:奇偶排列各半. 证:由题设,所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1. 而行列式的值为0,这说明带正号与带负号的项的项数相 等.根据行列式的定义,其展开式中的每一项的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的,即当该乘积中各 因子的第一个下标排成自然顺序,且第二个下标所成排列 为偶排列时, 该项前面所带的符号为正,否则为负号.所以,由带正号的项与带 负号的项数相等即说明奇偶排列各半. 12设 (行列式第4页) 其中是互不相同的数.1) 由行列式定义,说明是一个次多项式;2) 由行列式性质,求的根.解:1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有,所以若该行列式的第一行展开时,含有的对应项的系数恰为乘一个范德蒙行列式 于是,由为互不相同的的数即知含有的对应项的系数不为0,因而为一个次的多项式.3) 若用分代替时,则由行列式的性质知所给行列式的值为0,即.故至少有个根.又因为是一个次的多项式,所以必是的全部根. 13计算下面的行列式: 1) 2) 3) 4) (行列式第5页) 5) 6) 解:1) 原式= = . 2)原式= = .3)原式= . 4) 原式= =20 .5) 原式= (行列式第6页)6) 原式= =0 . 14.证明 证明:由行列式的性质,有 左边=2 =2 =2右边 . 即证. 15算出下列行列式的全部代数余子式: 1) 2) 解:1) (行列式第7页) , , , , , . 2) . 16计算下面的行列式: 1) 2) 3) 4) 解:1)原式= (行列式第8页) = . 2)原式= =- =- .3) 原式= =- =3 .4) 原式=(行列式第9页) = =- =- . 17计算下列阶行列式: 1) 2) 3) 4) 5) 解:1)按第一列展开,原式=. 2)从第2列起各列减去第1列 (行列式第10页) 原式= 当时,原式=0; 当时,原式=; 当时,原式=.3)原式= .4)原式= =!5) 各列加到第1列得到(行列式第11页) 原式= = .18.证明: 1) . 2). 3) . (行列式第12页) 4) . 5) . 证明:4)分别将第行乘以-加到第1行,得 左边= = = 右边. 4)从最后一行起,分别将每一行都乘以后加到其前一行,得 左边= (行列式第13页) =右边. 4)将所给行列式记为,按第1列展开得 即 此式对一切都成立.故递推得 在中的地位是一样的,故同理可得 所以 从而 =右边.4)对2阶行列式,有 (行列式第14页) 此时结论成立. 假设对阶数小于的行列式结论皆成立,则对阶行列式按 最后一行展开,得 因为 代入可得 故对一切结论成立,即证.4)左边= = (行列式第15页) =右边. 19用克拉默法则解下列方程: 1) 2) 3)4) 解:1) . 所以方程组有唯一解: . 2) . 所以方程组有唯一解: . 3) . 所以方程组有唯一解: . (行列式第16页) 4) . 所以方程组有唯一解: . 20设是数域中互不相同的数,是数域 中任一组给定的数,用克拉默法则证明:有唯一的数域上 的多项式 使 证明:由得 这是一个关于的线性方程组,且它的系数行列式 为一个范得蒙行列式.由已知该行列式不为0,故线性方程组 只有唯一解,即所求多项式是唯一的. 21设水银密度与温度的关系为 由实验测定得以下数据:(行列
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