数列解答题的解法

数列解答题的解法 数列是高中代数的重要内容之一 也是与大学衔接的内容 由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平 以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用 所以在历年高考中占有重要地位 近几年更是有所加强 数列解答题大多以数列 数学归纳法内容为工具 综合运用函数 方程 不等式等知识 通过运用递推思想 函数与方程 归纳与猜想 等价转化 分类整合等各种数学思想方法 考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力 其难度属于中档难度 试题特点 数列解答题的解法 试题特点 1 考查数列 等差数列 等比数列 以及数学归纳法等基本知识 基本技能 2 常与函数 方程 不等式 解析几何等知识相结合 考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移 组合 融会 进而考查学生的学习潜能和数学素养 3 常以应用题或探索题的形式出现 为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间 数列解答题的解法 1 熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础 1 等差 等比数列的判定 利用定义判定 an an 2 2an 1 an 是等差数列 anan 2 a2n 1 an 0 an 是等比数列 an an b a b为常数 an 是等差数列 Sn an2 bn a b为常数 Sn是数列 an 的前n项和 an 是等差数列 2 等差 等比数列的性质的应用 注意下标 奇 偶项的特点等 应试策略 数列解答题的解法 5 2 求通项公式的常见类型 1 已知an与Sn的关系或Sn与n的关系 利用公式 2 等差数列 等比数列求通项或转化为等差 比 数列求通项 3 由递推关系式求数列的通项公式 形如an 1 an f n 利用累加法求通项 形如an 1 anf n 利用累乘法求通项 6 3 数列求和的常用方法 1 公式法 利用等差数列 等比数列的求和公式 2 错位相减法 适合求数列 an bn 的前n项和Sn 其中 an bn 一个是等差数列 另一个是等比数列 3 裂项相消法 即将数列的通项分成两个式子的代数和 通过累加抵消中间若干项的方法 4 拆项分组法 先把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 5 并项求和法 把数列的两项 或多项 组合在一起 重新构成一个数列再求和 适用于正负相间排列的数列求和 7 4 数列单调性的常见题型及方法 1 求最大 小 项时 可利用 数列的单调性 函数的单调性 导数 2 求参数范围时 可利用 作差法 同号递推法 先猜后证法 4 数列不等式问题的解决方法 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后裂项相消再求和 等差 等比数列的问题 例1已知 an 是公差为3的等差数列 数列 bn 满足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前n项和 解 1 由已知 a1b2 b2 b1 b1 1 b2 得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公差为3的等差数列 通项公式为an 3n 1 9 解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 通过变形 整理后 能够把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 10 例2已知数列 an 满足an 1 2an n 1 且a1 1 1 求证 数列 an n 为等比数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 所以数列 an n 是首项为2 公比为2的等比数列 2 解由 1 得 an n 2 2n 1 2n 所以an 2n n 11 解题心得1 判断和证明数列是等差 比 数列的三种方法 1 定义法 对于n 1的任意自然数 验证an 1 an为同一常数 2 通项公式法 若an kn b n N 则 an 为等差数列 若an pqkn b n N 则 an 为等比数列 3 中项公式法 若2an an 1 an 1 n N n 2 则 an 为等差数列 若 an 1 an 1 n N n 2 则 an 为等比数列 2 对已知数列an与Sn的关系 证明 an 为等差或等比数列的问题 解题思路是 由an与Sn的关系递推出n 1时的关系式 两个关系式相减后 进行化简 整理 最终化归为用定义法证明 12 对点训练1 2017全国 文17 设Sn为等比数列 an 的前n项和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并判断Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 解得q 2 a1 2 故 an 的通项公式为an 2 n 故Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 13 求数列的通项及错位相减求和例2 2017天津 文18 已知 an 为等差数列 前n项和为Sn n N bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n N 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通项公式为an 3n 2 bn 的通项公式为bn 2n 14 2 设数列 a2nbn 的前n项和为Tn 由a2n 6n 2 有Tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2Tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 Tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 3n 4 2n 2 16 得Tn 3n 4 2n 2 16 所以 数列 a2nbn 的前n项和为 3n 4 2n 2 16 15 解题心得求数列通项的基本方法是利用等差 等比数列通项公式 或通过变形转换成等差 等比数列求通项 如果数列 an 与数列 bn 分别是等差数列和等比数列 那么数列 an bn 的前n项和采用错位相减法来求 16 对点训练3 2017山西太原二模 文17 已知数列 an 的前n项和Sn 数列 bn 满足bn an an 1 n N 1 求数列 bn 的通项公式 当n 1时也成立 an n bn an an 1 n n 1 2n 1 17 数列 cn 的前n项和Tn 22 2 23 3 24 n 2n 1 2Tn 23 2 24 n 1 2n 1 n 2n 2 Tn n 1 2n 2 4 18 求数列的通项及裂项求和 例3 2017全国 文17 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 解 1 因为a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2 19 解题心得对于已知等式中含有an Sn的求数列通项的题目 一般有两种解题思路 一是消去Sn得到f an 0 求出an 二是消去an得到g Sn 0 求出Sn 再求an 把数列的通项拆成两项之差 求和时中间的项能够抵消 从而求得其和 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 20 对点训练4 2017陕西渭南二模 文17 已知 an 为公差不为零的等差数列 其中a1 a2 a5成等比数列 a3 a4 12 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设等差数列 an 的公差为d a1 a2 a5成等比数列 a3 a4 12 an 2n 1 n N 21 故所求的n 1009 22 涉及奇偶数讨论的数列求和例4已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2 S5 30 数列 bn 的前n项和为Tn 且Tn 2n 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 1 n anbn lnSn 求数列 cn 的前n项和 d 2 an 2n 对数列 bn 当n 1时 b1 T1 21 1 1 当n 2时 bn Tn Tn 1 2n 2n 1 2n 1 当n 1时也满足上式 bn 2n 1 23 2 cn 1 n anbn lnSn 1 nanbn 1 nlnSn lnSn lnn n 1 lnn ln n 1 而 1 nanbn 1 n 2n 2n 1 n 2 n 设数列 1 nanbn 的前n项和为An 数列 1 nlnSn 的前n项和为Bn 则An 1 2 1 2 2 2 3 2 3 n 2 n 则 2An 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 n 1 得3An 1 2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 24 当n为偶数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 当n为奇数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 Bn 1 nln n 1 25 对点训练5已知函数f x 4x 4 f a1 f a2 f an 2n 3 n N 成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解 1 4 f a1 f a2 f an 2n 3成等比数列 其公比设为q 2n 3 4 qn 2 1 解得q 2 26 当n为偶数时 Sn c1 c3 c5 cn 1 c2 c4 cn 数列求和的常见类型及方法 1 通项公式形如an kn b或an p qkn b 其中k b p q为常数 用公式法求和 2 通项公式形如an k1n b1 qk2n b2 其中k1 b1 k2 b2 q为常数 用错位相减法 z z 数列与不等式 函数问题 z 考题剖析 例2 2007 莆田四中 已知 为锐角 且tan 1 函数f x x2tan2 x sin 2 数列 an 的首项a1 an 1 f an 1 求函数f x 的表达式 2 求证 an 1 an 3 求证 解析 1 tan2 1又 为锐角 sin 2 1f x x2 x 数列解答题的解法 2 a1 a2 a3 an都大于0 0 an 1 an 考题剖析 3 由 2 知 数列解答题的解法 又 n 2时 an 1 an an 1 a3 1 1 2 2 1 2 考题剖析 点评 在高考题中 数列一般与函数 不等式 三角综合 本题中 表面上有三角函数 但可以通过对三角函数求值 将三角函数去掉 从而转化为一个递推数列的问题 数列解答题的解法 1 2007 东北四市长春 哈尔滨 沈阳 大连 数列 an 的首项a1 1 前n项和Sn与an之间满足an n 2 1 求证 数列 的通项公式 2 设存在正数k 使 1 S1 1 S2 1 Sn k对一切n N 都成立 求k的最大值 课堂练习 解析 1 证明 n 2 an Sn Sn 1 Sn Sn 1 Sn Sn 1 2Sn 1 2S Sn 1 Sn 2SnSn 1 2 n 2 数列为首项 以2为公差的等差数列 考题剖析 数列解答题的解法 2 由 1 知 1 n 1 2 2n 1 F n 在n N 上递增 要使F n k恒成立 只需 F n min k F n min F 1 考题剖析 点评 本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题 数列解答题的解法 2 2007 浙江省五校模拟题 已知函数f x x ln 1 x 数列 an 满足0an n 考题剖析 数列解答题的解法 2 假设当n k时 结论成立 即00 所以f x 在 0 1 上是增函数 又f x 在 0 1 上连续 所以f 0 f ak f 1 即0 ak 1 1 ln2 1 故当n k 1时 结论也成立 即0 an 1对于一切正整数都成立 又由0 an 1 得an 1 an an ln 1 an an ln 1 an 0 从而an 1 an 综上可知0 an 1 an 1 考题剖析 解析 先用数学归纳法证明0 an 1 n N 1 当n 1时 由已知得结论成立 数列解答题的解法 考题剖析 构造函数g x 00 知g x 在 0 1 上增函数 又g x 在 0 1 上连续 所以g x g 0 0 因为00 即 数列解答题的解法 因为b1 所以bn 0 所以由 所以因为a1 n 2 0an n 考题剖析 点评 本题考查函数 数列 不等式 数学归纳法 导数等知识 考查综合运用知识 综合解题能力 是一道较难题 数列解答题的解法 41 数列中的存在性问题例1已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 an 0 anan 1 Sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 1 证明由题设 anan 1 Sn 1 an 1an 2 Sn 1 1 两式相减 得an 1 an 2 an an 1 因为an 1 0 所以an 2 an 42 2 解由题设 a1 1 a1a2 S1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在