函数的基本性质复习

函数的基本性质 1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在区间D上是增函数 若 则f x 在区间D上是减函数 基础知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 基础知识梳理 增函数 减函数 区间D 基础知识梳理 思考 1 单调区间与函数定义域有何关系 思考 提示 单调区间是定义域的子区间 2 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最大值 基础知识梳理 f x M f x0 M 2 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最小值 基础知识梳理 f x M f x0 M 基础知识梳理 思考 2 函数的最值与函数值域有何关系 思考 提示 函数的最值与函数的值域是关联的 求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值 但只有了函数的最大 小 值 未必能求出函数的值域 3 函数的奇偶性 基础知识梳理 y轴 原点 基础知识梳理 思考 3 奇偶函数的定义域有何特点 思考 提示 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 4 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 基础知识梳理 相同 相反 1 在 0 上是减函数的是 答案 D 三基能力强化 2 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 三基能力强化 答案 B 三基能力强化 A 0 1 B 1 C 0 1 D 0 2 3 已知函数 若 答案 C 三基能力强化 变式训练 已知函数 若 A 0 1 B 1 C 0 1 D 0 2 答案 B 4 函数f x x2 2x x a2 1 4 的最大值为 答案 8 三基能力强化 若f x 是偶函数 则f x f x 反之亦真 若f x 为奇函数 且0在定义域内 则f 0 0 若f x 0且f x 的定义域关于原点对称 则f x 既是奇函数又是偶函数 规律方法总结 答案 2x 3 三基能力强化 函数的单调性用以揭示随着自变量的增大 函数值的增大与减小的规律 在定义区间上任取x1 x2 且x1f x2 这一过程就是实施不等式的变换过程 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 利用定义进行判断 主要判定f x2 f x1 的正负 规律小结 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 任取 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 3 变形 通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 课堂互动讲练 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 下结论 根据定义得出结论 课堂互动讲练 判断函数的奇偶性 应该首先分析函数的定义域 在分析时 不要把函数化简 而要根据原来的结构去求解定义域 如果定义域不关于原点对称 则一定是非奇非偶函数 课堂互动讲练 课堂互动讲练 判断下列各函数的奇偶性 f 2 3 4 f x 1 x 2 x 2 2 课堂互动讲练 互动探究 若例 2 第 4 小题改为 f x 1 x 2 x 2 判断奇偶性 因为奇函数的图象关于原点对称 所以结合图象可得奇函数在 a b 与 b a 上的单调性相同 因为偶函数的图象关于y轴对称 所以偶函数在 a b 与 b a 上的单调性相反 课堂互动讲练 课堂互动讲练 定义在R上的增函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 且f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 课堂互动讲练 思路点拨 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值 函数f x 满足f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 课堂互动讲练 检阅 课堂互动讲练 1 令x1 x2 1 得f 1 1 f 1 f 1 得f 1 0 2 依题设有f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 f 3x 1 f 2x 6 3 即f 3x 1 2x 6 f 64 9分 f x 在 0 上是增函数 等价于不等式组