用气垫转动惯量测定仪验证刚体转动定律.doc

实验一 用气垫转动惯量测定仪验证刚体转动定律一、 目的和要求1 了解仪器的性能、结构特点、使用方法及维护知识；2 观察刚体的定轴转动，学会一种角加速度的测定方法；3 验证刚体转动定律；4 用对立影响法消除零转引起的系统误差。二、 引言 在很多情况下，物体的形状和大小对物体的运动规律起着重要作用，例如宏观物体的转动，以及微观粒子如分子、原子的转动甚至电子的自转等等。在这种情况下，物体就不能再被当作质点看待，而必须考虑物体的大小和形状，即把物体视为刚体。在研究刚体的转动问题时，首先遇到的困难就是磨擦力矩的存在；本仪器正是适应这种需要，利用气垫技术制成的一种新型转动装置。由于采用了气垫悬浮与气垫滑轮相结合及气流定轴等独特设计，故，该装置所有转动件间的磨擦均达到可以忽略的程度。用它可以测量多种物体的转动惯量，能够完成转动定律、角动量守恒定律及平行轴定理等许多实验。本实验就是利用气垫转动惯量测定仪测定刚体在力矩作用下转动的角加速度，来验证刚体转动定律。三、 原理转动定律指出：绕固定轴转动的刚体，其所受外力矩N与该力矩作用下产生的角加速度成正比，即： （1-1）式(1.1)中，比例系数I为刚体绕定轴转动的转动惯量，单位：。当刚体的转轴被确定后，其转动惯量为一常数。如图（1-1）所示（参见附录），由于砝码m的重力作用，使绕在动盘圆柱上的软细线产生张力T， 在张力作用下，动盘将产生一转 动力矩N。假定动盘圆柱直径为 （如图1-2），则当气动阻力可 忽略时，外力矩： （1-2） 图1-1 气垫转动惯量测定仪 图1-2 动盘在力矩N的作用下，动盘将作匀角加速运动，砝码m随之下落，由牛顿第二定律可知，张力T与砝码下落的角加速度之间满足如下关系：（1） （1-3）将式（1-2）及（1-3）代入式（1-1），有： （1-4）若式（1-4）得证，则刚体转动定律得以验证。当m及与动盘质量及半径相比均很小时，有，于是式（1-4）变为： （1-5）设动盘转动的初角速度为，其继续转过及角度所用的时间分别为及，则由刚体运动学公式可得 （1-6） （1-6*）由式（1-6）和（1-6*）中消去，即可求出动盘在力矩N的作用下，绕固定轴转动的角加速度： （1-7） 改变砝码质量，测出动盘在不同外力矩=下绕定轴转动的角加速度 ，作N-曲线，若该曲线为一直线，则证明刚体转动定律成立，且直线的斜率即为刚体绕固定轴的转动惯量I 。四、 仪器用品气垫转动惯量测定仪，专用CHJ型数字毫秒计，DC型微音气泵，砝码组（21g，42g，及25g），镊子及细线等。五、 实验内容 1接通气源、取下动盘、放上水平校准盘再调节地脚螺丝使定盘及气室上表面处于水平状态。2将仪器各部分均调到正常状态。主要包括：气垫滑轮运转自如且无附加力矩，细线自然缠 绕于动盘圆柱时，应与动盘平面平行，且细线应分别与气垫滑轮轴向垂直；两端砝码桶基 本等高；聚光灯泡对准光敏二极管，且光控计时正常等。3依次向两个砝码桶（其质量相等5g）内放入等量砝码，分别在不同力矩作用下以数字毫 秒计测定动盘旋转一周（即）及两周（）所需的时间及各3次；给 动盘施加转动力矩的方向是逆时针在动盘圆柱上绕线3周以上。采用数字毫秒计测动盘 旋转一周及两周的时间，其方法原理参见J0201CHJ专用数字毫秒计说明书。4 为采用对立影响法消除动盘可能产生的零转引起的系统误差，使动盘按相反方向旋转，并重复3中所述的测量；但测量前，应重新调整气垫滑轮轴线与细线垂直。（2）六、 注意事项 严格遵守本仪器的操作规则（见气垫转动惯量测定仪简介）。七、 考查题1 试述气垫转动惯量测定仪的调节步骤及操作规则。2 如何改变转盘所受力矩？为什么必须在两个砝码桶内加等量砝码？3 向动盘圆柱绕线时应怎样操作？每次重复实验时绕线圈数为什么定为3圈以上？多些或少些可以吗？为什么？4 如何测定动盘的角加速度？八、 思考题1 能否用本仪器验证刚体运动学公式：若能，应怎样进行实验？2 假定动盘（图1-1）的有关几何尺寸为：。且铝材料的密度。试计算动盘绕其几何中心旋转的转动惯量，并求本实验的定值误差。3 试分析本实验产生误差的主要原因。九、 参考题1 试分析气垫转动惯量测定仪的零转力矩是如何产生的。用什么方法可以发现零转力矩？如何测定零转力矩？2 采用气垫技术后，动盘转动是否还存在磨擦力矩？若存在，能否用实验的方法测定？怎样测定？十、 数据处理1 在不同力矩作用下，测定动盘转动的角加速度（见下表）。2 据下表中的数据，在直角坐标纸上，以N为横坐标，为纵坐标，作N-曲线，验证刚体转动定律，并由直线斜率求动盘的转动惯量I 。3 用最小二乘原理验证刚体转动定律。 顺时针旋转时 单位制：SI：测量次数i123456j123123123123123123物理量m （3） 逆时针旋转时测量次数i123456j123123123123123123物理量m附录 气垫转动惯量测定仪（即气垫转盘）简介 气垫转动惯量测定仪是用于研究刚体运动学及刚体动力学规律的一种新型仪器。由于采用气垫悬浮与气垫滑轮相结合及气流定轴等多种独特设计，故，它提供了一个较好的近乎“无磨擦”转动的理想模型，使对刚体转动问题的研究更接近于理想状态。它包括本仪器主体及附件组。现分述于下。一、 主体结构 仪器主体结构如图1-3所示。当由微音气泵输出的气流通入进气口（10）时，沿立柱 （H）进入气室（1）及定盘（2），气室（1）上表面均匀分布很多气孔可将动盘（3）托起， 其间由一层很薄的气膜润滑，定盘（2）内侧径向均匀分布一周小孔，从它喷出的气体可使动盘自动定轴（气流定轴）；另一部分气体导入气垫滑轮（5），使滑轮与轴套间构成气膜。轴上气孔并非均匀分布，而是在某一方位上气孔较多，调节时应使气孔密集处位于外侧斜上方45左右，以支撑砝码桶（6）中的负重；动盘中央的小圆柱上有一水平窄槽，软细线（4）从中穿过，并绕过气垫滑轮与质量已知的砝码桶（6）相连；为适应验证平行轴定理的要求，在动盘的直径方向上布有对称插孔，每个插孔到中心轴的距离为2.5cm6.5cm，插孔间距为0.5cm；动盘边缘固定一挡光片（7），它与矩形框架（E）一侧的光电门（8）及另一侧的定位发放开关（9）配合，可由数字毫秒计准确地测定动盘转动的角速度或角加速度；地脚螺丝（11）用以调节定盘及气室上表面的水平。二、 附件及配套仪器（4）1附件（1） 砝码组：（21g，42g，25g）砝码桶25g（2） 水平校准盘，（100mm、）用于调节气垫转动 惯量测定仪水平。（3） 等质量黄铜圆柱及铝块各一对，用于验证平行 轴定理。（4） 大金属球，“U”形挡光框，转动惯量接插座， 圆柱式定位器，凹盘，固定螺丝，定位板及 固定板等。用于测定转动惯量、验证角动量 守恒定律等。2 配套仪器：专用CHJ型数字毫秒计、DC型微 音气泵。三、 本仪器的使用及调节方法1 气垫转盘承重、故当负载2kg待 测样品（包括动盘）时，所提供的气压应不小于 2kPa。气源压力应视负载大小而定，一般可选 23kPa。2 气垫转动惯量测定仪使用前应调节水平。方法是： 取下动盘，接通气源，将水平校准盘置于气室上 表面中央，调节地脚螺丝（11），使校准盘稳定地 飘浮于气室中央，或其各质点绕定盘内侧空腔四 图1-3气垫转盘主体结构 壁均匀而缓慢地作滚轮线运动，且改变旋轮方向时其运动方式不变。3 气垫滑轮的调节。气垫滑轮的调节包括两项内容：其一，使气垫滑轮在空载情况下运动自 如，且无附加力矩。方法是：先调节滑轮两端定位圈，使与滑轮间隙约为0.5mm；再调节 滑轮高度及轴向水平，使细线与动盘平面水平；取下细线，在高度及水平程度不变的前提 下，旋转滑轮的方向，使其气孔密集处位于外侧上方45左右，直至滑轮在负载情况下能 正、反两个方向保持惯性运动状态或相对静止。其二，动盘顺时针或逆时针运动时，都应 首先旋动滑轮支架，使细线与滑轮轴向垂直。四、 仪器的使用规则1 特别注意：未开气源时，动盘不得人为地在气室表面磨擦转动，气室、气垫滑轮及诸连接管道均不得漏气。2 每次使用前，应在接通气源的情况下，以蘸有酒精的软细布轻拭气室及动盘的上、下表面，以防气孔堵塞或被尘粒划伤表面。3 实验前，应调节气室上表面水平，使处于正常状态，且调好后不得随意挪动。4 整个实验过程中要求气压稳定不变。5 安装、调节及使用该装置时，操作应细心谨慎，严禁磕碰动盘、定盘、气垫滑轮、水平校准盘、金属球、圆柱式定位器、转动惯量接插座、铜圆柱、铝块及凹盘等，更不得使其坠落地面。（5）实验二 用气垫转动惯量测定仪验证平行轴定理一、 目的和要求1 熟练使用测定仪装置及专用数字毫秒计；2 熟练掌握角加速度的测定方法；3 验证刚体转动惯量的平行轴定理；4 测定刚体绕固定轴的转动惯量。二、 引言 刚体的转动惯量，反映刚体本身在一定条件下的属性，它是刚体转动时惯性的量度。同一刚体，转轴不同，其转动惯量亦不同。当转轴被确定后，刚体的转动惯量被定义为： (2-1)其中，为质量元与转轴的垂直距离。由式（2-1）可见，只有几何形状规则、密度分布均匀的刚体，其绕特定转轴转动时的转动惯量才可能以较简单的数学形式表达，以进行理论计算。除此之外，任意刚体，绕任一给定轴的转动惯量的理论计算是相当困难的。因此，通常采用实验的方法确定这类刚体的转动惯量，而且往往只测定刚体通过质心且平行于给定轴的转动惯量，再利用平行轴定理求出刚体绕固定轴的转动惯量。因此，平行轴定理是求刚体绕任一给定轴转动惯量的理论依据。本实验就是要利用气垫转动惯量测定仪，对刚体转动惯量的平行轴定理给予实验验证。三、 原理 可以证明：刚体对任一转动轴的转动惯量I等于刚体对通过其质心且平行于该轴的转动惯量加上刚体的质量M乘以两平行轴间距离D的平方。即： （2-2）这就是刚体转动惯量的平行轴定理。式（2-2）表明，刚体的转动惯量I与其质心到转轴距离的平方成线性关系。当D不变时I亦不变。1 改变D，考察I与D的关系将质量均为M的两个铜圆柱对称地置于动盘圆柱两侧的插孔上，如图2-1所示。设圆柱绕自身对称轴的转动惯量为 ，动盘绕自身对称轴的转动 图2-1 动盘及圆铜柱惯量为 ，两轴间距离为D，整体系统的转动惯量为I ，则据平行轴定理有：（6） （2-3） 又由式（1-4）可知，整体系统的转动惯量为： （2-4） 式（2-4）中，D表示动盘圆柱直径；表示砝码桶及砝码质量为m时系统转动的 角加速度，且由式（1-7）可知： （2-5） 式（2-5）中，及分别表示系统旋转一周及两周所用的时间。将式（2-4）代入式 （2-3），整理后得： （2-6） 若在直角坐标系内关系为一条直线，则式（2-6）亦即式（2-3）成立，刚 体转动惯量的平行轴定理得以验证。且直线的截距A和斜率B分别为： （2-7） 及 B= （2-8） 2 D不变，只改变刚体的方位 将质量均为的两个长方体 铝块对称地置于动盘圆柱两侧的 插孔上，在保持铝块质心与动盘 中心轴的距离恒定的情况下， 改变铝块方位，如图（2-2）所示， 分别使两铝块长轴（1）平行、（2） 垂直及（3）重合等。若在上述情 况下，测得系统转动一周及两周所 需要的时间对应相等，亦即角加速 度相等，则说明：当转轴确定后，刚体的转动惯量 图2-2 动盘及铝块 （2-9） 只与其通过质心且平行于固定轴的转动惯量及平行轴间距有关，而与刚体相对于 自身转轴转过的角度无关。它又从另一个侧面证实了平行轴定理。式（2-9）中，若测 定了动盘及整体系统的转动惯量及，则可求出铝块的转动惯量。四、 仪器用品 气垫转动惯量测定仪及附件（砝码组、水平校准盘、等质量铜圆柱及等质量铝块等）， DC型微音气泵、专用CHJ数字毫秒计及镊子等。 (7)五、 实验内容 1调节气垫转动惯量测定仪至正常工作状态 (参阅附录);2向砝码桶内各加入5g砝码,依次将两铜圆柱对称地插于距动盘中心2.5,3.5,4.5,5.5,6及 6.5(cm)的插孔上，并分别测出系统转动一周及两周所需要的时间、各三次； 3在不改变所加砝码质量的情况下，取下铜圆柱，将两个铝块对称地插于距动盘中心5.5cm 的插孔上，分别测出图2-2中（1）（3）所示位置时系统转动一周及两周所需要的时间 及各三次；取下铝块，再测时间及各三次，以求 。六、 注意事项 各次测量中，系统转动方向应保持一致。七、 考查题 1 改变铜圆柱在动盘上的位置时应注意什么？2 为验证平行轴定理，安排铜圆柱相对于动盘中心的位置时应怎样考虑？按照本实验要求选择测点有何好处？八、 思考题1 本实验操作中，如果不要求采取正、反两个方向旋转，即不要求采用对立影响法进行实验。如此操作，对实验有无影响？请具体说明之。2 本实验若采用对称测量方法，能消除或减弱哪种系统误差？相应的数据处理应如何进行？此外还存在系统误差吗？对实验有何影响？3 试由曲线的斜率，求出一个铜圆柱的质量M；以物理天平称其质量，进行比较，并说明原因。4 试由曲线的截距，求出每个铜圆柱绕其自身对称轴的转动惯量 ，并以物理天平称其质量 ，以游标卡尺测其直径d，计算其转动惯量 ，进行比较。5试由计算公式，求出一个铝块绕动盘中心轴旋转时的转动惯量 ，与实验结果进行比 较，并分析原因。已知转轴与铝块的高“c”平行，铝的密度，平行轴 间距，且铝块的长、宽、高分别为：。九、 数据处理1 验证刚体转动惯量的平行轴定理（1） 在直角坐标纸上，以为横坐标、1/为纵坐标作图，并说明结论； 单位制：SI： i物理量1234562.53.54.55.56.06.5123平均（8） 续表 i物理量123456123平均1/（2）用最小二乘原理求直线的回归方程：1/。据求出的相关系数说明结论。并由A、B之值求及M。2 不变，测定铝块与动盘系统转动的角加速度 单位制：SI；物理量 i铝块方位（J）123平均123平均（1）（2）（3）（1） 由的计算结果说明结论；（2） 由及式（2-4）求系统的转动惯量： =3测定动盘的转动惯量 单位制：SI； i物理量123平均 （9）实验三 用气垫转动惯量测定仪验证角动量守恒定律一、目的和要求1 熟练使用气垫转动惯量测定仪及专用数字毫秒计；2 熟练掌握用本仪器测定刚体转动惯量的方法；3 学习一种角速度的测定方法；4 验证角动量守恒定律；5 用对立影响法减少系统误差。二、 引言 质点绕定轴转动的角动量L定义为其矢径r与其动量P的矢乘积，即：L=rp。由此可以证明，刚体绕固定轴转动的角动量，等于刚体相对于该轴的转动惯量I乘以刚体转动的角速度，且其方向与角速度的方向相同，以数值表示时，为： L=I （3-1）当刚体在外力矩N的作用下，以角加速度转动时，即服从转动定律。显然，描述刚体转动定律的式（1-1）即为式（3-1）对时间t的微商： （3-2）而当合外力矩为零时，角动量不随时间变化，即； 恒量 （3-3）式（3-3）即角动量守恒定律。 角动量的概念及角动量守恒定律在原子物理、量子物理及基本粒子的研究中都有很重要的作用。本实验就是在气垫转动惯量测定仪上验证角动量守恒定律。三、 原理 将气垫转动惯量测定仪主体（图1-3）去掉动盘、细线及砝码桶，并与其附件（4）一起装配如图（3-1）所示。提起细尼龙绳，使金属球与凹盘脱离并被圆柱式定位器嵌住，保持角速度为零。若某时刻使金属球轻缓地对心落于正以角速度旋转的凹盘上，二者合为一体，并以另一角速度旋转，设凹盘 图3-1 气垫转盘与附件（4）装配与金属球绕其自身对称轴的转动惯量分别为及，则因合外力矩为零而满足角动量守恒定律，即： （3-4）若以、分别表示金属球与凹盘合成一体前、后转过2所用的时间，则式（3-4）变为： （10） （3-5）式（3-5），、即凹盘上的平板挡光片在两种情况下转过2弧度的时间。而及则可由下述方法测得：将气垫转动惯量测定仪恢复成图（1-3）主体结构所示的状态（见附录）。然后将转动惯量接插座扣在动盘圆柱上（插脚向上），参照实验2的方法，测出动盘与接插座系统的转动惯量 。之后，将凹盘插在转动惯量接插座的插脚上（图3-2），以同样方法测出动盘、接插座和凹盘系统的转动惯量I 。由此求得凹盘的转动惯量： （3-6）最后，将凹盘取下，翻转转动惯量接插座（将其插脚插入动盘圆柱的中心孔内），再把金属球置于转动惯量接插座的凹面上，即可以相同方法测出动盘、接插座和金属球整个系统的转动惯。于是，金属球的转动惯量： （3-7）将式（3-7）代入（3-6）代入式（3-5），得 （3-8）若式（2-8）成立，则式（2-3）成立，即角动量守恒定律得证。五、仪器用品气垫转动惯量测定仪及附件（1）、（2）和（4），专用数字毫秒计，DC型微音气泵及镊子等。六、 实验内容1 调节气垫转动惯量测定仪使其达到正常工 作状态（参阅附录）；2参照图3-2（不包括凹盘），向砝码桶内各 图3-2 测凹盘的转动惯量加入5g砝码，分别在顺时针和逆时针两个方向测出其旋转一周及两周所用的时间 、及、各三次，以求转动惯量；3放上凹盘，以同样方法测出、及、各三次， 以求转动惯量I ；4取下凹盘，将转动惯量接插座翻转，置上金属球。以同样的方法测出、及、 各三次，以求转动惯量；5 取下动盘及砝码桶，换上凹盘。参照图3-1安装圆柱式定位器，调整其位置，使金属球能 相对凹盘对心下落。安装与调整方法如下：将悬挂金属球的细尼龙线自下而上穿