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第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵，且，则.说明：2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵，则的充分必要条件是（ C ）.(A) (B) (C) AB=BA (D) 2、设都是阶矩阵，则（ C ）.(A) (B) (C) (D) 3、设为阶矩阵，若，则等于（ C ）.(A) (B) (C) (D) 说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵 (D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此四、1、已知，求结果为2、已知，求结果为 3、已知，求，结果为 4、计算，结果为0 5、计算 五、设 证明：当且仅当证：必要性，已知，即，则，得充分性，已知，则，因此2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，说明：，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 说明：3、设为矩阵，则是可逆的 充分必要 条件4、已知，且可逆，则=说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A） （B） （C） （D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题说明：由于，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中， 将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此四、已知，求矩阵解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得 （1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此五、已知，其中，求矩阵解：由得：，即因此，由，则，六、设，为三阶可逆矩阵,求解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、 在秩是的矩阵中，所有的阶子式都 为0 2、设是矩阵，则 3 说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为4、设, 秩，则 -3 说明： 将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子 将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，但时显然，因此5、设, 秩，则 1 说明：二、求