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浅谈高中数学思维能力培养之重要性（清浦中学 王晓丽）爱因斯坦说：“创造性原则寓于数学之中。”在人类历史上， 数学的探索精神帮助许多杰出人才成就了自己的事业， 为人类作出了较大的贡献。数学发展到了今天， 数学文化已成为现代科技文化的核心， 它的形式化语言， 理性主义观念， 抽象的、逻辑的思维方式， 已成为现代社会成员必备的素质。这种素质的高低直接关系到社会成员对事物的洞察、理解与判断能力。中学正是培养学生的数学思维能力的最佳阶段。数学思维能力就是作为数学科学的独特思维方式所具有的功能、本领。数学思维最大、最突出、最有效的功能就是抽象模拟。数学思维的抽象模拟功能同其它科学思维的抽象模拟功能相比，其独具有一种“连续性”的特点即抽象连续性（也可以叫做抽象层次性）。例1从三只苹果、三台拖拉机、三支笔等客观具体存在中，获得了自然数3的概念，3是数学思维首次抽象所得的理想存在;苹果、拖拉机、笔等是具体存在，因而不是数学研究的对象，而从它们当中抽象得到的3，则是数学研究的对象。对于首次抽象得到的所有自然数的集合而言，“数集”这个理想存在的抽象程度，就比“自然数集”高一个层次。因为后者不是首次抽象的产物，而是从已经是理想存在(包括自然数集在内)的各种数的集合中“二次”抽象得到的。在数集及其同层次抽象所得到的有关概念的基础上，还可通过高层次的抽象而获得更高层次的数学概念。例1是数学思维抽象的连续性的外延拓宽的一种表现，但其不仅仅在概念的外延阔宽(如数学原始概念)方面的抽象，而且其还在外延收缩的过程中鲜明地表现出来。例2函数连续函数可微函数解析函数。数学思维能力的培养正是要培养学生的这种数学所独有的抽象的连续性思维方法，培养学生的逻辑思维能力、直觉思维能力和创造性思维能力。下面对如何培养学生的数学思维能力进行的一些思考：1. 以现实生活激发数学思维兴趣心理学家认为，兴趣是力求认识和接触某种事物的意识倾向。事实证明，兴趣是提高学生学习积极性的内在动力，也是思维发展的前提条件，只有学生对某一事物发生了兴趣，才会积极地动脑筋想办法去探讨和研究它。根据这一心理特点，教师在教学中应尽量提出一些与现实生活有关并使学生感兴趣的具有逻辑思维性的问题，让学生自己动手、动脑，从而达到培养他们数学思维能力的目的。例3 当讲过“用二项式定理证明能被8整除”的例题后，又让学生做一题“今天是星期三，经过天后的那一天是星期几”。由于依据前面的推证与具体思维过程，学生就能进一步抽象思维，所以都能积极地去用同种方法去研究使他们感兴趣的“那一天是星期几”(答案是星期四)。例3当讲过空集的概念之后，让学生举一些在现实生活中是空集的例子。比如说：“所有会下蛋的公鸡构成的集合就是空集。”虽然这有点俏皮话的味道，但可以充分地调动学生的兴趣，也可以使学生对空集概念有形象而深刻的理解，并使学生开始进行积极思维活动。2、通过形象思维和抽象思维开拓数学思维能力所谓形象思维是指从具体感知的形象目标出发，通过思考去把握认识对象的思维方式。而抽象思维是从定义概念出发，在思考过程中主要依靠理性演绎，尽量舍弃形象感性直观的东西去把握认识对象的思维方式。二者既对立又互补，并在一定程度上互相转化。在人们认识问题的过程中，这两种思维方式总是交替出现，而在认识的不同阶段其主次地位又非常分明。在认识的初始阶段，前者往往给人启发，通过直觉感到豁然开朗;而在认识进行中却离不开推理演绎。高等数学正是认识和把握这种规律性最好的途径，它可以引导学生在认识问题过程中更有效地进行二者的结合运用。例4 Lagrange定理：定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在点,使得 成立对于这个定理，首先应该引导学生发挥形象思维能力，将定理的抽象文学叙述直观形象化。条件部分：在上连续，在内可导，表明函数在平面直角坐标系中是一条“不间断的，有界的，光滑的曲线”。(如图A所示)结论部分:是该曲线上对应于处切线的斜率，恰好是连接曲线两端点M,N的直线的斜率。综合上述分析，要在内找点，使曲线上处的切线平行于直线MN。从直观图形上看，在定理条件下，这样的点是存在的，而且可能不止一个。(如图B所示)。通过此引导，使学生了解和掌握定理内容的核心和实质，化难为易，并在直观理解过程中达到记忆的效果。正如美国数学家斯蒂恩所说“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整个地把握了问题。在形象思维的基础上，再进一步引导学生去解决问题:根据条件用连续，导数等纯数学概念去推证结论。在这一阶段舍弃了具体形象，思维完全转换到抽象思维之中。 “数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。”(恩格斯自然辩证法)它源于现实，却又舍弃具体的物质属性，建立起自己的“数与形”的独立王国。它把“抽象与形象”有机地结合起来。特别是在数学分析中充满辨证思想。这就为培养学生形象思维与抽象思维的能力，提供了丰厚的土壤。3、从收敛思维和发散思维拓展数学思维能力收敛思维是指利用已有的知识和经验及传统的方法解决问题的一种有方向，有范围，有组织的思维方式，发散思维与此相反，是无一定方向、范围，超出常规、脱离传统方法，由已知探求未知的思维方式。传统的高等数学教学，往往偏重于训练收敛思维而淡化训练发散思维。这恰恰与培养学生创造性思维能力相悖。容易造成学生循规蹈矩的思维习惯。一旦遇到纷繁复杂无矩可循的问题时，便会束手无策。因此，在大力提倡素质教育的今天，传统的教学方法必须改革，教学中必须强化对学生发散思维的训练。这是培养学生创造性思维的有效途径。这也是推进素质教育在教学中的具体体现。训练发散思维的方法我认为主要应该提倡研究型学习。改变传统学习模式。每遇到一个问题时，首先应该以这个问题为中心，展开思路去寻求不同的解决方法。例6 计算积分。传统的方法是按例题，将被积函数分项为: 即：求出它的解: 确定常数A,B,C,D 代入式得：这种解法运算量很大也容易出现错误。能否找出一个“非常规”的解决方法呢?在引导和启发下，学生经过思考、试探、可以得出如下解法:显然，这种解法要比前者简便得多。要在问题的不同解法的比较中，引导学生体会思维方法的多样性，广开思路，活化已经掌握的知识和经验。这样就会激发起学生求知的欲望，创造性的精神活力和思维方法，营造出使学生努力进行发散思维的教学环境。这并非轻视收敛性思维，因为收敛性思维是培养发散性思维的基础，二者应该同步发展，不能顾此失彼。特别在思维的后期，为了选取最合理的思路，最有效的假设，这时收敛思维是不可缺少的。4、由正向思维和逆向思维提高数学思维能力人们常规的思维习惯是“由因导果”，即正向思维。而从反面思考问题的过程，即“由果导因”为逆向思维的过程。实践证明，尤其是在科技工作中对问题的研究逆向思维是不可缺少的。因此，在高等数学的学习中，要有意识地进行双向思维能力的训练和培养。这种训练主要应该在概念，公式，定理的讲授上多下功夫。4.1数学中基本概念大都以定义的方式来揭示它的本质属性定义中所列的各种属性，既是事物成立的充分条件也是必要条件。例6 极限的概念。当函数具有“对,使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式”的特性时，就说在处的极限是A。反过来说，当函数在处的极限是A时，函数必有上述特性。这样正反两方面思考问题，不仅会加深对概念的理解，同时会增强记忆的效果。4.2数学公式是双向的，有时表达式也是多种形式的要培养对公式既能“正用”又能“反用”的能力，还要善于变形使用。这都可以拓展解题思路，培养双向思维能力，如柯西收敛准则等。4.3数学定理有的可逆，有的不可逆在过去的数学学习中，我们都知道数学定理有的是可逆，有的是不可逆的。在引导学生学习中，对有逆命题的要写出它的逆命题，没有逆命题的，要举出逆命题不成立的例子。例7 “如果，则”逆命题是否成立?为什么?答 逆命题不一定成立因为如果设,，但不存在。此外，反证法是数学中常用的一种逆推理方法，它也是进行逆向思维训练的良好方法。综上所述，在高等数学教学中培养发展学生思维能力的问题，值得突出强调的是要有意识地，自觉地把这种思想融会在传授知识的过程中。知识是思维发展的基础，而科学的思维又是认知、纳知不可缺少的手段。因此，传授知识和发展思维同等重要。在大学学习中，我认为后者比前者显得更为重要。现代思维、科学思维正是形象思维和抽象思维并存、相互渗透、紧密结合，和合二为一的高级抽象形态，即抽象形象思维。所以说，数学思维是现代科学思维的标准模式。我认为，培养学生的数学思维能力就首先要让学生走进充满创造性活跃思维的境界，点燃青年学生心中的火把，激发起他们强烈的求知欲望，发挥出他们无限的想象力和创造力，才能真正培养出新世纪，新时代社会所需要的高新标准的人才。参考文献：1 华东师范大学教研室. 数学分析（上册）